【例 2】数星星 Stars（信息学奥赛一本通- P1536）

【题目描述】

原题来自：Ural 1028

天空中有一些星星，这些星星都在不同的位置，每个星星有个坐标。如果一个星星的左下方（包含正左和正下）有 k 颗星星，就说这颗星星是 k 级的。

例如，上图中星星 5 是 3 级的（1,2,4 在它左下），星星 2,4 是 1 级的。例图中有 1 个 0 级，2 个 1 级，1 个 2 级，1 个 3 级的星星。

给定星星的位置，输出各级星星的数目。

一句话题意：给定 n 个点，定义每个点的等级是在该点左下方（含正左、正下）的点的数目，试统计每个等级有多少个点。

【输入】

第一行一个整数 N，表示星星的数目；

接下来 N 行给出每颗星星的坐标，坐标用两个整数 x,y表示；

不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。

【输出】

N 行，每行一个整数，分别是 0 级，1 级，2 级，......，N−1 级的星星的数目。

【输入样例】

5
1 1
5 1
7 1
3 3
5 5

【输出样例】

1
2
1
1
0

【提示】

数据范围与提示：

对于全部数据，1≤N≤1.5×10^4,0≤x,y≤3.2×10^4 。

在信息学奥赛的数据结构模块中，树状数组往往以"单点修改、区间查询"的差分形态登场。但今天我们要解析的这道经典名题------数星星 ，将向大家展示树状数组的另一层高端形态：权值树状数组（频次桶的前缀和）。

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一、 题目分析

【题目模型】 给定平面直角坐标系上的N颗星星的坐标。规定一颗星星的"等级"为：在它左边及下边（包含正左和正下）的星星总数。求等级为0到N-1的星星分别有多少颗。

【隐藏的条件】 题目中通常会带有一句极其关键的输入说明：星星的坐标按 Y 坐标升序给出，Y 坐标相同时按 X 坐标升序给出。 这个输入顺序，是我们解题的关键

二、 思考过程（从暴力到降维）

1. 萌新的做法（暴力枚举）： 开个双重for循环，对于每一颗星星，都去和前面所有的星星比对一遍X和Y坐标。 结局： 时间复杂度高达O(N^2)，在 N≤32000 的数据量下，运算量破亿，注定超时。

2. 大神的凝视（利用单调性）： 既然输入数据已经按 Y 坐标排好序了 ，这就意味着：当我们读入第i颗星星时，前面读入的i-1颗星星的Y坐标必定全都小于等于当前星星， 既然Y坐标的条件天然满足，我们还需要管Y吗？完全不需要！问题瞬间被降维成了一维问题：在我们已经读入的星星中，有多少颗星星的X坐标小于等于当前星星的X坐标？

三、 解题思路

既然是求"小于等于某个 X 的数量"，这不就是求频次数组的前缀和吗？

1. 建立频次桶（权值树状数组）： 我们不再用树状数组的下标表示"第几个元素"，而是用下标表示真实的X坐标。 树状数组c底层维护的数组a[i](实际并没有开这个数组），记录的是"横坐标为i的位置上有几颗星星"。

2. 操作流转（边读边算）：

   • 每读入一颗星星的横坐标x。

   • 先查询： 统计目前横坐标在x及x以内的星星总数，即前缀和。因为当前这颗星星准备加进去但还没加，这个前缀和就是它的"等级"。（如果先更新再查询，查出来的结果减去 1 也是一样的逻辑）。

   • 后更新： 把当前星星的横坐标加入树状数组，即该位置的频次+1。

   • 记答案： 将对应等级的星星总数数组cnt[level]增加1。

四、 时空复杂度分析

• 时间复杂度： 每读入一颗星星，只需执行一次查询和一次更新。树状数组单次操作复杂度为

  O(logW)（W为坐标最大值 32000）。总计N颗星星，总时间复杂度为O(NlogW)，很快。

• 空间复杂度： 仅需开辟大小为坐标上限的树状数组c和答案数组cnt，空间复杂度为O(W+N)，极其节省内存。

五、 易错点总结

这段代码看似简单，但实际做题中很多同学容易写错。以下三个易错点必须避开：

1. 死循环（原点）： 题目中X坐标是可以为0的，但树状数组的下标绝对不能为0 （因为 lowbit(0)=0 会导致update陷入死循环）。 破解法： 读入所有X坐标后，强制执行 x++，把整个坐标系向右平移1个单位。

2. 越界： 既然我们将所有的X坐标加了1，那么原本最大为32000的坐标就会变成 32001。此时如果树状数组更新循环的边界还是写<=32000，这颗极限边缘的星星就会被吞掉，导致由于访问负数下标而引发的RE或WA。 解决方法**：** 循环边界多开一点余量，写成 i<=32005。

3. 概念混淆： 请注意，这里的树状数组底层维护的是频次桶，而不再是前一道模板题里的"差分数组"。切勿将两者的物理意义搞混。

六、 完整代码

//单点修改 区间查询
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
//树状数组本体，下标代表X坐标，存储的是该坐标区间内的星星频次
int c[32100];//树状数组（每个横坐标）
int cnt[32010];//记录每个等级星星数目

//返回x的最右边的最低位的1所代表的整数
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

//单点修改 在横坐标为x的位置增加val颗星星
void update(int x,int val){
    //注意边界：因为平移了坐标，上限必须大于32000，这里取32005
    for(int i=x;i<=32005;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=val;
    }
}

//区间查询 把截至目前所有横坐标小于等于x的点的总数加出来
int query(int x){
    int ret=0;//记录前缀和
    while(x>0){
        ret+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        //x不能为0，不然会死循环 整体向右平移一个单位
        //横坐标为x的点加一
        update(x+1,1);
        //查询当前星星的等级
        //因为前面已经把自己update进去了，所以当前的前缀和包含了自己
        // 减去1才是真正的"左下角星星数量"
        //query(x+1)-1 代表当前这个坐标的等级
        //-1是因为要剪掉自己
        cnt[query(x+1)-1]++;
    }
    // 输出从 0 级到 n-1 级各有多少颗星星
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<cnt[i]<<"\n";
    return 0;
}

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