C语言经典100题---例003--- 完全平方数

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题目：

题目分析

C语言实现

输出结果

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题目：

一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

题目分析

(1) x + 100 = m^2，这里取m>=0

(2) x + 100 + 168 = n^2 即 x + 268 = n^2,这里取n>=0

将(2)减去(1)得到：(n^2 - m^2) = 168

(3) 即 (n-m)(n+m) = 168

设a = n - m, b = n + m，则n+m>0,由(3)知 (n-m)*正数 = 168，所以n-m也是正数

即，n>m.所以有b>a>0.

由于n和m都是整数，所以a和b同奇偶（因为n和m都是整数，那么n+m和n-m同奇偶）

又因为a*b = 168(偶数)。所以a和b都是偶数。

综上:

• a < b
• a * b = 168
• a和b都是偶数
• 由a和b可以解出n和m： n = (a+b)/2, m = (b-a)/2，且n和m都是正整数（由于a和b都是偶数，所以n和m都是整数）
• 然后由m或n得到x： x = m^2 - 100
• 最后验算 x + 100 + 168 = n^2

C语言实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {

    int a, b, x, m, n;

    printf("---------------------------------------\n");

    // a < b;a * b = 168 所以 a <= sqrt(168)
    for (a = 2; a <= sqrt(168);) 
    {
        b = 168 / a;

        if (a < b && (b % 2 == 0) && (a % 2 == 0))
        {
            n = (a + b) / 2;
            m = (b - a) / 2;
            x = m * m - 100;        // 求出x

            // 再到另一个式子中验算
            if (x+100+168 == n * n)
            {
                printf("%d + 100 = %d ^ 2\n", x, m);
                printf("%d + 100 + 168 = %d ^ 2\n", x, n);
                printf("---------------------------------------\n");
            }
        }
        // a是偶数 所以每次可以+2
        a += 2;
    }
}

输出结果

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1581 + 100 = 41 ^ 2
1581 + 100 + 168 = 43 ^ 2
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261 + 100 = 19 ^ 2
261 + 100 + 168 = 23 ^ 2
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21 + 100 = 11 ^ 2
21 + 100 + 168 = 17 ^ 2
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-99 + 100 = 1 ^ 2
-99 + 100 + 168 = 13 ^ 2
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