【C++】AVL树实现

1. AVL树的概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀棵空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制高度差去控制平衡。
AVL树实现这里我们引入⼀个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标⼀样。
思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，⽽不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。比如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN ，那么增删查改的效率也可以控制在 O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

一般完全二叉树的结点数是N=2^h-1，2^h-常数=N。

2. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

cpp 复制代码

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到
	pair<K, V> _kv;  // 结点
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	int _bf;  // 平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _parent(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:

private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入⼀个值的大概过程

插入⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插入
新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则：

平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在
parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在高的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的高度，恢复到插入结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。
不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或-1也停⽌了。

如下图所示：更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停止

2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现

代码实现：

cpp 复制代码

	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		else
		{
			// 找到要插入的结点位置；
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{  
				if (cur->_kv.first < kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_kv.first > kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}

			// 插入结点
			cur = new Node(kv);
			if (kv.first > parent->_kv.first)
			{
				parent->_right = cur;
			}
			else
			{
				parent->_left = cur;
			}
			cur->_parent = parent;

			// 控制平衡因子
			// 更新平衡因子
			while (parent)
			{
				if (cur == parent._left)
				{
					parent->_bf--;
				}
				else 
				{
					parent->_bf++;
				}

				if (parent._bf == 0)
				{
					// parent所在的子树高度不变，不会再影响上一层，更新结束
					break;
				}
				else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
				{
					// parent所在的子树高度变了，会再影响上一层，继续往上更新
					cur = parent;
					parent = parent->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					// parent所在的子树已经不平衡了，需要旋转处理
					break;
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
			}
			return true;	
		}
	}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要大小关系符合搜索树的性质即可。

2.3.2 右单旋

下图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。
在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

代码实现：

cpp 复制代码

		// 右单旋
		void RotateR(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;

			// 父节点的左孩子变为subLR
			parent->_left = subLR;
			if (subLR)
			{
				subLR->_parent = parent;  // 防止出现特殊情况：subLR为空
			}

			//记录原来的父节点的父节点
			Node* parentParent = parent->_parent;

			// subL代替原来父节点的位置，原来的父节点变为左孩子
			subL->_right = parent;
			parent->_parent = subL;

			if (parent == _root)
			{
				subL->_parent = nullptr;
				_root = subL;
			}
			else
			{
				if (parentParent->_left == parent)
				{
					parentParent->_left = subL;
				}
				else(parentParent->_right = parent)
				{
					parentParent->_right = subL;
				}
				sub->_parent = parentParent;
			}
			
			// 更新平衡因子
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}

2.3.3 左单旋

下图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要
求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯右旋类似。
在a⼦树中插入⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

代码实现：

cpp 复制代码

		// 左单旋
		void RotateL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;

			// 父节点的右孩子变为subRL结点
			parent->_right = subRL;
			if (subRL)
				subRL->_parent = parent;   // 防止出现特殊情况：subRL为空
			
			// 记录父节点的父节点
			Node* parentParent = parent->_parent; 

			// 原来的父节点变为subR的左孩子
			subR->_left = parent;
			parent->_parent = subR;

			if (parent == _root)
			{	
				_root = subR;
				subR->parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parentParent->_left == parent)
				{
					parentParent->_left = subR;
				}
				else
				{
					parentParent->_right = subR;
				}
				subR->_parent = parentParent;
			}

			// 平衡因子的更新
			parent->_bf = subR->_bf = 0;

		}

2.3.4 左右双旋

通过下两张图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

双旋，不是纯粹的一边高，上面是单旋处理方式，可以看到还是不平衡

上图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL

⼦树进⾏分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为

我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置

不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

代码实现：

cpp 复制代码

	// 左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(subL);
		RotateR(parent);

		// 平衡因子的调节
		if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if(bf == 0)
		{
			parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.3.5 右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

右左双旋代码实现

cpp 复制代码

	// 右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if(bf == 0)
		{
			subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.4 AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

cpp 复制代码

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

2.5 AVL树的平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树高度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。

cpp 复制代码

	// 求高度
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int lh = _Height(root->_left);
		int rh = _Height(root->_right) + 1;
		return lh > rh ? lh + 1: rh + 1;
	}


	// 实现要写成递归，IsBalance
	// 递归计算平衡因子绝对值是否<=2

	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		// 空树也是平衡因子
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		// 计算Root结点的平衡因子：即Root左右子树的高度差 
		// 求出左右子树的高度
		int lh = _Height(root->_left);
		int rh = _Height(root->_right);

		// 如果计算出的平衡因子与Root的平衡因子不相等，或者 
		// Root平衡因子的绝对值超过2，则一定不是AVL树 
		if (lh - rh != root->_bf || abs(root->_bf) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		// 递归检测左子树和右子树
		return _IsBalanceTree(root->_left) &&  _IsBalanceTree(root->_right);

	}

测试代码，Test.cpp

cpp 复制代码

void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;

	// 常规的测试例 
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例 
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
		cout << e << "->" << t.IsBalanceTree() << endl;
	}

	cout << t.IsBalanceTree() << endl;

}


int main()
{
	TestAVLTree1();
	return 0;
}

检测性能

cpp 复制代码

// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能
void TestAVLTree2()
{
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}
	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;

	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;
	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值 
	/*for (auto e : v)
	{
	t.Find(e);
	}*/
	// 随机值 
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}


int main()
{
	//TestAVLTree1();
	TestAVLTree2();
	return 0;
}