排序算法：冒泡排序法

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一、冒泡排序简介

冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法，它重复地遍历待排序的数列，依次比较相邻的元素，并根据需要交换它们的位置。这样较大的元素像气泡一样逐渐"冒泡"到数列的末端，最终将整个数列排好顺序。

关键点：

比较相邻元素：每次比较两个相邻元素，如果它们的顺序错误（通常是前一个比后一个大），就交换它们。

冒泡过程：每一轮遍历会将当前未排序部分的最大元素推到最右侧。

逐步缩小比较范围：每次遍历完成后，右边的部分已经是排序好的，因此可以忽略已排序的元素，逐渐缩小比较范围。

冒泡排序的步骤：

从第一个元素开始，依次比较相邻元素。

若前面的元素比后面的元素大，则交换它们的位置。

这样大的元素不断"冒泡"到数组的末尾。

重复这个过程，直到数组完全有序。

二、冒泡排序演示排序过程

示例：排序数组 [5, 3, 8, 4, 2]

初始状态：

cpp 复制代码

[5, 3, 8, 4, 2]

第一轮遍历：

比较 5 和 3，交换它们，得到 [3, 5, 8, 4, 2]

比较 5 和 8，不交换，得到 [3, 5, 8, 4, 2]

比较 8 和 4，交换它们，得到 [3, 5, 4, 8, 2]

比较 8 和 2，交换它们，得到 [3, 5, 4, 2, 8]

第二轮遍历：

比较 3 和 5，不交换，得到 [3, 5, 4, 2, 8]

比较 5 和 4，交换它们，得到 [3, 4, 5, 2, 8]

比较 5 和 2，交换它们，得到 [3, 4, 2, 5, 8]

第三轮遍历：

比较 3 和 4，不交换，得到 [3, 4, 2, 5, 8]

比较 4 和 2，交换它们，得到 [3, 2, 4, 5, 8]

第四轮遍历：

比较 3 和 2，交换它们，得到 [2, 3, 4, 5, 8]

最终排序结果：

cpp 复制代码

[2, 3, 4, 5, 8]

三、冒泡排序的时间复杂度分析

冒泡排序的时间复杂度分析主要依赖于其在最坏情况下、最好情况下和平均情况下的表现。

1. 最坏情况时间复杂度

最坏情况发生在输入数组是逆序排列的情况下。在这种情况下，冒泡排序需要进行最大次数的比较和交换操作。

排序过程：

第一轮遍历会比较 n - 1 对元素，第二轮遍历比较 n - 2 对元素，依此类推。因此，冒泡排序需要进行 n-1 轮遍历，每一轮遍历会进行最多的交换操作。

计算比较次数：

第一轮：n-1 次比较。

第二轮：n-2 次比较。

第三轮：n-3 次比较。

...

最后一轮：1 次比较。

因此，所有比较的总数为：

这就是一个等差数列的求和，即 O(n²)。
最坏情况时间复杂度：O(n²)

2.最好情况时间复杂度

最好情况发生在输入数组已经是有序的情况下。为了优化冒泡排序，我们可以加入一个标志位来检查每一轮是否发生了交换。如果没有发生交换，说明数组已经排好序，可以提前结束排序。

排序过程：

在最好情况下，冒泡排序将进行 n-1 次比较，但由于没有交换，算法会在第一次遍历后提前结束。

计算比较次数：

第一轮：n-1 次比较。

第二轮：没有交换，提前结束。

因此，最好情况下只需要 O(n) 次比较。
最好情况时间复杂度：O(n)

3.平均情况时间复杂度

平均情况指的是输入数组中的元素顺序是随机的。计算平均时间复杂度时，我们假设每一轮排序的交换和比较大致是均匀分布的。

排序过程：

平均情况下，冒泡排序会执行与最坏情况类似的操作，但有可能发生一些交换。虽然交换次数较少，但每一轮的比较次数仍然接近最坏情况的比较次数。

计算过程与最坏情况类似：

第一轮：n-1 次比较。

第二轮：n-2 次比较。

第三轮：n-3 次比较。

...

最后一轮：1 次比较。

总比较次数为：

因此，平均时间复杂度 仍然是 O(n²)。
平均情况时间复杂度：O(n²)

4. 优化后的冒泡排序

如果我们优化冒泡排序，使用一个布尔变量 swapped 来标记每一轮是否进行了交换：

如果某一轮没有交换，说明数组已经有序，可以提前终止排序，减少不必要的比较。

这种优化可以将最佳情况的时间复杂度减少到 O(n)，但最坏情况和平均情况的时间复杂度仍然是 O(n²)。

5.空间复杂度

冒泡排序是原地排序算法，不需要额外的存储空间来存放临时数据。因此，它的空间复杂度是 O(1)。

四、完整示例

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

void bubbleSort(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {  // 外循环控制轮数
        for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {  // 内循环进行相邻元素的比较
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                // 交换相邻元素
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int arr[] = {64, 25, 12, 22, 11};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    bubbleSort(arr, n);
    
    cout << "Sorted array: ";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << arr[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

优化：

标准的冒泡排序会在每一轮都进行完整的比较，但实际上，如果某一轮没有发生任何交换，那么可以认为数组已经排序好，排序可以提前终止。这样的优化会让最好的情况变成 O(n) 时间复杂度。

cpp 复制代码

void bubbleSortOptimized(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        bool swapped = false;  // 用于检查是否发生了交换
        for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
                swapped = true;
            }
        }
        if (!swapped) {
            break;  // 如果没有交换，提前退出循环
        }
    }
}