背包问题——01背包、完全背包、多重背包、分组背包（Python）

背包问题

背包问题是经典的动态规划 问题之一

这里只讨论01背包、完全背包问题，其余的暂不讨论

动态规划五部曲：

01背包指的是给定n个物品，每个物品有两个属性：

再给一个背包容量W（能承受的最大总重量），问我们：

从这n个物品中选择若干个（每个物品最多只能选择一次 ），使得在不超过总容量W的前提下，获得的最大价值是多少？

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

我们初始化了如下的dp数组，其中行代表背包的可用容量，列代表可用的物品。dp[i][j]代表容量为j的背包装入前i个物品的最大价值

2.dp数组初始化

对于容量为0的背包，面对所有的物品选择都只能不装入，因此所有的价值都是0，对于任意容量的背包，不选择物品的价值都是0

3.确定递推公式

在我们选择第i个物品时有两种选择方案：

1.不将当前物品装入背包

2.将当前物品装入背包

将当前第i物品装入背包时，我们的价值为：

1.不将物品装入背包，因此价值为相同容量下选择i-1个物品的价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j]

2.将物品装入背包，因此价值为容量j-w[i]下的价值加上当前物品的价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j - w[i]] + v[i]

综合来说，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i])

4.确定遍历顺序

先按行遍历，再按列遍历，从1开始

完全背包指的是给定n个物品，每个物品有两个属性：

再给一个背包容量W（能承受的最大总重量），问我们：

从这n个物品中选择若干个（每个物品可以选择多次 ），使得在不超过总容量W的前提下，获得的最大价值是多少？