文章目录
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- 一、什么是二分搜索
- 二、二分搜索的适用条件
- 三、二分搜索的工作流程
- 四、二分搜索常见错误
- 五、二分搜索的代码模板（升序）
- [六、查找第一个 >= target](#六、查找第一个 >= target)
- [七、查找最后一个 <= target](#七、查找最后一个 <= target)
一、什么是二分搜索
二分搜索（Binary Search）是一种在有序数组/区间中查找目标值的位置的算法。
核心思想：每次把搜索范围缩小一半，从而快速定位数据。范围从 n 缩小到 n/2 → n/4 → n/8...
时间复杂度就是：
cpp
O(log n)二、二分搜索的适用条件
必须满足两个条件：
- 数据有序（升序或降序）
- 可以通过下标随机访问（数组、vector 等）
不适用于链表（随机访问 O(n)）
三、二分搜索的工作流程
示例：在数组中查找 target = 9
数组（升序）：
cpp
索引: 0 1 2 3 4 5 6
数据: 1 3 5 7 9 11 15初始区间：
cpp
l = 0
r = 6第 1 次查找
cpp
区间: [0........................................6]
数据: 1 3 5 7 9 11 15
^ mid = 3 (值 = 7)判断：
cpp
nums[mid] = 7 < 9
→ 目标在右侧
→ l = mid + 1 = 4第 2 次查找
cpp
区间: [4....................6]
数据: 1 3 5 7 9 11 15
^ mid = 5 (值 = 11)判断：
cpp
nums[mid] = 11 > 9
→ 目标在左侧
→ r = mid - 1 = 4第 3 次查找
cpp
区间: [4]
数据: 1 3 5 7 9 11 15
^ mid = 4 (值 = 9)判断：
cpp
nums[mid] == target → 找到目标整个过程的如下展示：
cpp
Step 1:
[1 3 5 7 9 11 15]
l m r
0 3 6
Step 2:
[1 3 5 7 9 11 15]
l m r
4 5 6
Step 3:
[1 3 5 7 9 11 15]
l/m/r
4更形象的"半区排除图"
cpp
开始：
[ 1 3 5 7 | 9 11 15 ]
↑7<9 → 左半区丢弃
继续：
[ 9 | 11 15 ]
↑11>9 → 右侧丢弃
最终：
[ 9 ]
↑ 找到！四、二分搜索常见错误
中间点写成 (l + r) / 2 可能溢出
建议：
cpp
mid = l + (r - l) / 2;while 条件写成 < 或 <= 搞混
闭区间写法必须：
cpp
while (l <= r)开区间写法：
cpp
while (l < r)不要死循环
如：
cpp
mid = (l + r) / 2;
// 然后没有改变 l 或 r一定要注意每次都要缩小范围。
五、二分搜索的代码模板（升序）
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 标准二分：查找 target
int binarySearch(const vector<int>& nums, int target) {
int l = 0, r = nums.size() - 1;
while (l <= r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
l = mid + 1;
else
r = mid - 1;
}
return -1;
}
int main() {
vector<int> nums = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
cout << binarySearch(nums, 7) << endl; // 输出 3
return 0;
}为什么不能用 mid = (l+r)/2？
因为会发生「整数溢出」（overflow）
假设：
cpp
int l = 1_000_000_000;
int r = 2_000_000_000;两者都在 int 可表示范围内，但你求 mid 时：
cpp
int mid = (l + r) / 2; // 可能溢出l + r = 3_000_000_000，已经超过 int 最大值（2_147_483_647）
产生溢出 → mid 变成负数或奇怪值，程序会直接二分错位甚至死循环。
所以才有了 官方推荐写法：
cpp
int mid = l + (r - l) / 2;这样 r - l 永远不会超出范围（最大约 2e9），避免溢出。
图示解释（直观）
假设区间 [l, r] = [10, 20]
错误写法：
cpp
mid = (10 + 20) / 2 = 15 // ✔ 正常但当边界巨大：
cpp
l → 非常大
r → 非常大
l + r → 超过 int 上限 → ❌ 溢出正确写法：
cpp
mid = l + (r - l) / 2
因为 (r - l) 很小，所以不会超出范围结论：不能使用 (l + r) / 2 的主要原因是：当 l 和 r 足够大时，l + r 可能产生整数溢出，导致 mid 计算错误。而 l + (r - l) / 2 不会溢出，因此是安全写法。
六、查找第一个 >= target
在有序数组中查找：
cpp
第一个 >= target 的位置假设：
cpp
数组： [1, 3, 5, 7, 9, 11, 15]
target = 8正确答案应该是元素 9（index = 4），因为它是第一个 ≥ 8 的数字。
使用的二分区间写法（典型的 lower_bound 写法）
cpp
l = 0
r = n // r 是开区间，不可取
while (l < r)mid = (l + r) / 2
如果 nums[mid] >= target → 可能是答案 → 缩 r
否则 → mid 太小 → 缩 l
图形演示过程：
cpp
Step 1:
[1 3 5 7 9 11 15]
l m r
0 3 7
(7 < 8 → 左半废)
Step 2:
[1 3 5 7 9 11 15]
l m r
4 5 7
(11 >= 8 → 右半废)
Step 3:
[1 3 5 7 9 11 15]
l/m r
4 5
(9 >= 8 → 右半废)
Step 4:
[1 3 5 7 9 11 15]
l=r=4C++ 版本（对应这个图示）
cpp
int lowerBound(const vector<int>& nums, int target) {
int l = 0, r = nums.size(); // 开区间
while (l < r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] >= target)
r = mid; // mid 可能是答案
else
l = mid + 1; // mid 太小
}
return l; // 第一个 >= target 的位置
}七、查找最后一个 <= target
使用的二分模板（闭区间版本）
要找 "最后一个 ≤ target"，一般用 闭区间 [l, r] 写法：
cpp
while (l <= r):
mid = ...
if nums[mid] <= target:
ans = mid // 可能是答案
l = mid + 1 // 尝试往右找更大的
else:
r = mid - 1图形演示过程：
cpp
Step 1:
[1 3 5 7 9 11 15]
l m r
0 3 6
(7 <= 8 → 候选，往右找)
Step 2:
[1 3 5 7 9 11 15]
l m r
4 5 6
(11 > 8 → 往左)
Step 3:
[1 3 5 7 9 11 15]
l/m r
4 4
(9 > 8 → 往左)
Step 4:
[1 3 5 7 9 11 15]
r l
3 4
结束 → r=3完整 C++ 代码（对应图示）
cpp
int lastLessEqual(const vector<int>& nums, int target) {
int l = 0, r = nums.size() - 1;
int ans = -1;
while (l <= r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if (nums[mid] <= target) {
ans = mid; // 记录候选
l = mid + 1; // 去右边找更大的
} else {
r = mid - 1;
}
}
return ans; // 返回最后一次记录的位置
}