bernstein vazirani 算法的仿真实现

bernstein vazirani 算法的原理？下边这个 cudaq kernel 与这个原理的match 关系：

template <int nrOfBits>
struct bernstein_vazirani {
  auto operator()(std::vector<bool> bitvector) __qpu__ {

    cudaq::qarray<nrOfBits> qs;
    cudaq::qubit aux;
    h(aux);
    z(aux);
    h(qs);

    oracle<nrOfBits>{}(bitvector, qs, aux);
    h(qs);
    mz(qs);
  }
};

1.1. Bernstein-Vazirani 算法原理

问题定义

• 有一个隐藏的位字符串：s = s₁s₂...sₙ（二进制）

• 有一个黑盒函数：f(x) = s·x = s₁x₁ ⊕ s₂x₂ ⊕ ... ⊕ sₙxₙ（点积模2）

• 经典算法需要 n 次查询 才能确定 s

• 量子算法只需要 1 次查询

量子算法步骤

1. 初始化：所有量子比特置为 |0⟩

2. 应用 Hadamard 门：创建均匀叠加态

3. 查询 Oracle：实现函数 f(x) 的相位编码

4. 再次应用 Hadamard 门：将相位信息转换为振幅信息

5. 测量：直接得到隐藏位字符串 s

---

1.2. 代码与原理的匹配关系

template <int nrOfBits>
struct bernstein_vazirani {
  auto operator()(std::vector<bool> bitvector) __qpu__ {
    // 1. 初始化量子寄存器
    cudaq::qarray<nrOfBits> qs;      // n个数据量子比特 (|0⟩...|0⟩)
    cudaq::qubit aux;                 // 辅助量子比特 (|0⟩)
    
    // 2. 准备辅助量子比特为 |−⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2
    h(aux);     // |0⟩ → (|0⟩ + |1⟩)/√2
    z(aux);     // (|0⟩ + |1⟩)/√2 → (|0⟩ - |1⟩)/√2 = |−⟩
    
    // 3. 创建数据量子比特的叠加态
    h(qs);      // |0...0⟩ → 1/√2ⁿ ∑|x⟩
    
    // 4. 查询 Oracle（关键步骤）
    // Oracle 将实现：|x⟩|−⟩ → (−1)^(f(x)) |x⟩|−⟩
    // 其中 f(x) = s·x
    oracle<nrOfBits>{}(bitvector, qs, aux);
    
    // 5. 逆变换：将相位信息转换为可测量信息
    h(qs);      // 再次应用 Hadamard 门
    
    // 6. 测量得到隐藏位字符串
    mz(qs);     // 测量结果直接就是 s
  }
};

关键匹配点

1. 叠加态创建

2. Oracle 设计：

   • 隐藏位字符串 s 编码在 bitvector 中

   • Oracle 需要实现：如果 s_i = 1，则在第 i 个量子比特上应用 CNOT

   • 相位因子：(-1)^(s·x)

3. 相位反冲技巧

   h(aux); z(aux);  // 准备 |−⟩ 态

   • 使用辅助比特的 |−⟩ 态，使得 Oracle 作用后：
     |x⟩|−⟩ → (-1)^(f(x)) |x⟩|−⟩

   • 辅助比特保持 |−⟩ 不变，与数据比特解耦

4. 信息提取

   h(qs);  // 逆 Hadamard 变换

   • 作用 H^⊗ⁿ 后，振幅变为：
     1/2ⁿ ∑(-1)^(x·y + s·x) |y⟩

   • 当 y = s 时，所有项同相，振幅为 1

   • 其他 y 的振幅为 0

   • 因此测量必然得到 s

Oracle 实现的隐藏逻辑

虽然没有显示 oracle<nrOfBits> 的实现，但它的工作原理应该是：

// 伪代码显示 Oracle 的工作原理
for (int i = 0; i < nrOfBits; i++) {
    if (bitvector[i] == 1) {
        cx(qs[i], aux);  // 对 s_i=1 的位应用 CNOT
    }
}

这样实现：|x⟩|−⟩ → (-1)^(s·x) |x⟩|−⟩

算法优势

• 一次查询 vs 经典 n 次查询

• 确定性：测量结果一定是隐藏的 s

• 完美匹配量子算法原理

这个 CUDA Quantum kernel 是 Bernstein-Vazirani 算法的直接、简洁实现！

如果s是4个qubit，那么这里的cudaq 使用gpu custatevec 模拟的时候，需要存储的状态向量的元素个数是 2^4 个，还是要算上辅助bit，从而需要存储 2^(4+1)个状态呢？

需要存储 2^(4+1) = 32 个状态向量元素（辅助比特必须算上）！

1.3. 详细解释

1. 量子系统规模

• 数据量子比特：4 个（对应隐藏位字符串 s 的长度）

• 辅助量子比特：1 个（aux）

• 总量子比特数：5 个

• 状态向量大小：2^5 = 32 个复数元素

2. 为什么需要包括辅助比特

// 系统状态是纠缠的
// 初始状态：|ψ₀⟩ = |00000⟩（4个数据 + 1个辅助）
h(qs); h(aux); z(aux);
// 变为：|ψ₁⟩ = 1/√16 ∑|x⟩ ⊗ |−⟩（x∈{0,1}⁴）

// Oracle 作用后
oracle(...);
// 状态变为：|ψ₂⟩ = 1/√16 ∑ (-1)^(s·x) |x⟩ ⊗ |−⟩

// 辅助比特始终与数据比特纠缠
// 不能简化为 2^4 维系统

3. 模拟时的内存需求

# 5-qubit 系统的内存计算
n_qubits = 5
state_vector_size = 2 ** n_qubits  # 32

# 每个元素是复数（2个float）
if using_float32:
    memory_bytes = 32 * 2 * 4  # 256 bytes
elif using_float64:
    memory_bytes = 32 * 2 * 8  # 512 bytes

# 但实际上，GPU statevector 模拟器可能有额外开销

4. 对比：如果没有辅助比特

如果用相位 Oracle 而不是使用辅助比特，理论上可以用：

// 相位 Oracle 直接实现：
// |x⟩ → (-1)^(f(x)) |x⟩
// 这样只需要 4 个量子比特，16 个状态

但当前代码使用 标准 Bernstein-Vazirani 构造：

• 需要辅助比特来实现受控相位门

• 更通用（可以扩展到其他 oracle）

• 符合大多数教材的教学版本

5. 资源估算表

组件	比特数	状态数	备注
数据比特	4	-	存储隐藏字符串
辅助比特	1	-	相位反冲
总计	5	32	完整系统

如果只用数据比特 | 4 | 16 | 需要不同的 Oracle 实现

6. 扩展到 n 比特

对于 n 个数据比特：

• 总比特数：n + 1

• 状态向量大小：2^(n+1)

• 内存增长：指数级（但 n 较小时可管理）

n	总比特	状态数	float32 内存
4	5	32	256 B
8	9	512	4 KB
12	13	8,192	64 KB
16	17	131,072	1 MB
20	21	2,097,152	16 MB

7. cuStateVec 实际考虑

// cuStateVec（NVIDIA 的 GPU 状态向量模拟器）
// 1. 会分配完整的 2^(n+1) 状态向量
// 2. 在 GPU 上并行处理所有振幅
// 3. 对于 5 个量子比特，GPU 利用不充分（太小的电路）
// 4. 通常用于 20+ 量子比特的模拟

// 对于小的 n，CPU 模拟可能更快
// 因为 GPU 并行化的开销 > 收益

8. 优化可能性

如果内存受限，可以：

1. 使用相位 Oracle（去掉辅助比特）→ 节省一半内存

2. 使用振幅 Oracle（但 Bernstein-Vazirani 通常用相位）

3. 稀疏表示（如果状态有特殊结构）

结论 ：对于这个特定的 CUDA Quantum kernel，需要存储 32 个状态向量元素（5 个量子比特），因为辅助比特是整个量子系统不可分割的一部分！

二、cuquantum sdk中的api实现 bernstein vazirani 算法

如果使用 cuquantum sdk中的api实现 bernstein vazirani 算法的话，程序应该怎么写呢？

使用 cuQuantum SDK 实现 Bernstein-Vazirani 算法，这里提供一个完整的示例程序：

2.1. 完整实现代码

#include <cudaq.h>
#include <cudaq/algorithms/bernstein_vazirani.h>
#include <iostream>
#include <vector>

// 使用 cuQuantum 后端
#include <cudaq/backends/custatevec_backend.h>

template <int nrOfBits>
struct bernstein_vazirani_cuquantum {
  
  // Oracle 实现：根据隐藏字符串应用 CNOT
  struct bv_oracle {
    std::vector<bool> hidden_string;
    
    void operator()(cudaq::qarray<nrOfBits>& qs, cudaq::qubit& aux) __qpu__ {
      for (int i = 0; i < nrOfBits; i++) {
        if (hidden_string[i]) {
          cx(qs[i], aux);
        }
      }
    }
  };

  // 主函数
  auto operator()(std::vector<bool> hidden_string) __qpu__ {
    
    // 量子寄存器
    cudaq::qarray<nrOfBits> qs;
    cudaq::qubit aux;
    
    // 步骤1: 初始化辅助比特为 |−⟩
    h(aux);
    z(aux);  // |0⟩ → |−⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2
    
    // 步骤2: 创建数据比特的叠加态
    h(qs);
    
    // 步骤3: 应用 Oracle
    bv_oracle oracle{hidden_string};
    oracle(qs, aux);
    
    // 步骤4: 逆变换
    h(qs);
    
    // 步骤5: 测量
    auto result = mz(qs);
    return result;
  }
};

// 使用 cuStateVec 后端的具体调用
void run_bv_cuquantum() {
  
  // 设置 cuQuantum 后端
  cudaq::set_backend("custatevec");
  
  // 定义隐藏字符串 (例如: 1011)
  const int n = 4;
  std::vector<bool> hidden_string = {1, 0, 1, 1};
  
  // 创建算法实例
  bernstein_vazirani_cuquantum<n> bv;
  
  // 执行算法
  std::cout << "隐藏字符串: ";
  for (auto bit : hidden_string) std::cout << bit;
  std::cout << std::endl;
  
  // 单次执行（确定性算法）
  auto result = bv(hidden_string);
  
  std::cout << "测量结果: ";
  for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
    std::cout << result[i];
  }
  std::cout << std::endl;
  
  // 验证结果
  bool correct = true;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (result[i] != hidden_string[n-1-i]) {  // 注意量子比特顺序
      correct = false;
      break;
    }
  }
  
  if (correct) {
    std::cout << "✓ 算法成功找到隐藏字符串！" << std::endl;
  } else {
    std::cout << "✗ 结果错误！" << std::endl;
  }
}

int main() {
  run_bv_cuquantum();
  return 0;
}

2.2. 纯 cuQuantum C API 版本（底层实现）

#include <custatevec.h>
#include <cuda_runtime.h>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <complex>
#include <cassert>

class BernsteinVaziraniCuQuantum {
private:
    int n_qubits_;           // 数据量子比特数
    int total_qubits_;       // 包括辅助比特
    custatevecHandle_t handle_;
    cudaStream_t stream_;
    
    // 状态向量
    void* d_sv_;
    size_t sv_size_;
    
public:
    BernsteinVaziraniCuQuantum(int n) : n_qubits_(n), total_qubits_(n + 1) {
        // 创建 cuStateVec 句柄
        custatevecCreate(&handle_);
        
        // 创建 CUDA 流
        cudaStreamCreate(&stream_);
        custatevecSetStream(handle_, stream_);
        
        // 分配状态向量内存
        sv_size_ = 1ULL << total_qubits_;
        size_t size_bytes = sv_size_ * sizeof(std::complex<double>);
        cudaMalloc(&d_sv_, size_bytes);
        
        // 初始化状态为 |0...0⟩
        std::complex<double> initial_state = {1.0, 0.0};
        custatevecSetStateVector(
            handle_,
            d_sv_, CUDA_C_64F,
            total_qubits_,
            &initial_state, 0,
            nullptr, 0);
    }
    
    ~BernsteinVaziraniCuQuantum() {
        cudaFree(d_sv_);
        custatevecDestroy(handle_);
        cudaStreamDestroy(stream_);
    }
    
    // 应用 Hadamard 门
    void apply_hadamard(int qubit) {
        custatevecApplyPauliRotation(
            handle_,
            d_sv_, CUDA_C_64F,
            total_qubits_,
            M_PI / 2.0,  // θ = π/2
            "X", qubit,
            0, nullptr, 0);
    }
    
    // 应用 Z 门
    void apply_z(int qubit) {
        custatevecApplyPauliRotation(
            handle_,
            d_sv_, CUDA_C_64F,
            total_qubits_,
            M_PI,  // θ = π
            "Z", qubit,
            0, nullptr, 0);
    }
    
    // 应用 CNOT 门
    void apply_cnot(int control, int target) {
        int ctrls[] = {control};
        int targets[] = {target};
        
        custatevecApplyControlledGate(
            handle_,
            d_sv_, CUDA_C_64F,
            total_qubits_,
            custatevecGate_t::CUSTATEVEC_GATE_X,
            ctrls, 1,
            CUSTATEVEC_GENERAL_PATTERN, 0,
            targets, 1,
            nullptr, 0,
            0, nullptr, 0);
    }
    
    // Bernstein-Vazirani Oracle
    void apply_oracle(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        int aux_qubit = n_qubits_;  // 辅助比特是最后一个
        
        // 对每个 s_i = 1 的位应用 CNOT
        for (int i = 0; i < n_qubits_; i++) {
            if (hidden_string[i]) {
                apply_cnot(i, aux_qubit);
            }
        }
    }
    
    // 运行算法
    std::vector<bool> run(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        // 确保字符串长度匹配
        assert(hidden_string.size() == n_qubits_);
        
        int aux_qubit = n_qubits_;
        
        // 步骤 1: 准备辅助比特 |−⟩
        apply_hadamard(aux_qubit);
        apply_z(aux_qubit);
        
        // 步骤 2: 数据比特叠加态
        for (int i = 0; i < n_qubits_; i++) {
            apply_hadamard(i);
        }
        
        // 步骤 3: 应用 Oracle
        apply_oracle(hidden_string);
        
        // 步骤 4: 逆 Hadamard
        for (int i = 0; i < n_qubits_; i++) {
            apply_hadamard(i);
        }
        
        // 步骤 5: 测量数据比特
        std::vector<bool> result(n_qubits_);
        std::vector<double> probabilities(n_qubits_);
        
        // 测量每个量子比特
        for (int i = 0; i < n_qubits_; i++) {
            double prob0, prob1;
            custatevecGetStateVector(
                handle_,
                d_sv_, CUDA_C_64F,
                total_qubits_,
                &prob0, i, 0,
                CUSTATEVEC_COLLAPSE_NORMALIZE_AND_ZERO);
            
            prob1 = 1.0 - prob0;
            result[i] = (prob1 > 0.5);  // 如果 |1⟩ 的概率 > 0.5
            
            // 重置测量（实际实现中需要更严谨的处理）
        }
        
        return result;
    }
};

// 主程序
int main() {
    const int n = 4;
    std::vector<bool> hidden_string = {1, 0, 1, 1};
    
    std::cout << "隐藏字符串: ";
    for (bool bit : hidden_string) std::cout << bit;
    std::cout << std::endl;
    
    // 使用 cuQuantum 运行算法
    BernsteinVaziraniCuQuantum bv(n);
    auto result = bv.run(hidden_string);
    
    std::cout << "测量结果: ";
    for (bool bit : result) std::cout << bit;
    std::cout << std::endl;
    
    // 检查结果
    bool success = true;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (result[i] != hidden_string[i]) {
            success = false;
            break;
        }
    }
    
    if (success) {
        std::cout << "✓ Bernstein-Vazirani 算法成功！" << std::endl;
    } else {
        std::cout << "✗ 算法失败！" << std::endl;
    }
    
    return 0;
}

2.3. 使用 cuQuantum Python API

import cuquantum
from cuquantum import custatevec as cusv
import numpy as np
import ctypes

class BernsteinVazirani:
    def __init__(self, n):
        self.n = n  # 数据量子比特数
        self.total_qubits = n + 1  # 包括辅助比特
        
        # 创建 cuStateVec 句柄
        self.handle = cusv.create()
        
        # 状态向量大小
        self.state_size = 1 << self.total_qubits
        
        # 在 GPU 上分配状态向量
        self.d_sv = cusv.alloc(self.state_size, dtype=np.complex128)
        
        # 初始化状态为 |0...0⟩
        init_state = np.zeros(self.state_size, dtype=np.complex128)
        init_state[0] = 1.0 + 0.0j
        cusv.set_state_vector(self.handle, self.d_sv, init_state)
    
    def apply_hadamard(self, qubit):
        """应用 Hadamard 门到指定量子比特"""
        # H = (X + Z)/√2，可以通过旋转实现
        cusv.apply_pauli_rotation(
            self.handle,
            self.d_sv, np.complex128,
            self.total_qubits,
            np.pi/2,  # θ = π/2
            "X", qubit,
            0, None, 0)
    
    def apply_z(self, qubit):
        """应用 Z 门"""
        cusv.apply_pauli_rotation(
            self.handle,
            self.d_sv, np.complex128,
            self.total_qubits,
            np.pi,  # θ = π
            "Z", qubit,
            0, None, 0)
    
    def apply_cnot(self, control, target):
        """应用 CNOT 门"""
        cusv.apply_controlled_gate(
            self.handle,
            self.d_sv, np.complex128,
            self.total_qubits,
            cusv.Gate.X,
            [control], 1,
            cusv.GENERAL_PATTERN, 0,
            [target], 1,
            None, 0,
            0, None, 0)
    
    def apply_oracle(self, hidden_string):
        """实现 Bernstein-Vazirani Oracle"""
        aux_qubit = self.n  # 辅助比特索引
        
        for i, bit in enumerate(hidden_string):
            if bit == 1:
                self.apply_cnot(i, aux_qubit)
    
    def run(self, hidden_string):
        """运行 Bernstein-Vazirani 算法"""
        aux_qubit = self.n
        
        # 1. 准备辅助比特 |−⟩
        self.apply_hadamard(aux_qubit)
        self.apply_z(aux_qubit)
        
        # 2. 数据比特叠加态
        for i in range(self.n):
            self.apply_hadamard(i)
        
        # 3. 应用 Oracle
        self.apply_oracle(hidden_string)
        
        # 4. 逆 Hadamard
        for i in range(self.n):
            self.apply_hadamard(i)
        
        # 5. 测量
        measurements = []
        for i in range(self.n):
            # 测量第 i 个量子比特
            prob0 = cusv.get_state_vector_element(
                self.handle,
                self.d_sv, np.complex128,
                self.total_qubits,
                i, 0)
            
            # 实际需要更完整的测量实现
            # 这里简化为概率 > 0.5
            prob1 = 1.0 - abs(prob0)**2
            measurements.append(1 if prob1 > 0.5 else 0)
        
        return measurements
    
    def __del__(self):
        """清理资源"""
        cusv.free(self.d_sv)
        cusv.destroy(self.handle)

# 使用示例
if __name__ == "__main__":
    n = 4
    hidden_string = [1, 0, 1, 1]
    
    print(f"隐藏字符串: {hidden_string}")
    
    bv = BernsteinVazirani(n)
    result = bv.run(hidden_string)
    
    print(f"测量结果: {result}")
    
    if result == hidden_string:
        print("✓ 算法成功！")
    else:
        print("✗ 算法失败！")

2.4. 编译和运行

CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.18)
project(bernstein_vazirani_cuquantum)

set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)

# 查找 CUDA
find_package(CUDA REQUIRED)
find_package(cuQuantum REQUIRED)

# 添加可执行文件
add_executable(bv_cuquantum bernstein_vazirani.cpp)

# 链接库
target_link_libraries(bv_cuquantum
    PRIVATE
    CUDA::cudart
    cuQuantum::custatevec
)

编译和运行

# 创建构建目录
mkdir build && cd build

# 配置（确保 cuQuantum 在路径中）
cmake .. -DcuQuantum_ROOT=/path/to/cuquantum

# 编译
make -j

# 运行
./bv_cuquantum

2.5. 关键要点

1. 状态向量大小：2^(n+1)，包括辅助比特

2. cuQuantum API 层次：

   • 高层：使用 CUDA Quantum（推荐）

   • 中层：C++ API（直接调用 cuStateVec）

   • 底层：C API（最高性能控制）

3. 性能考虑：

   • GPU 内存：存储 2^(n+1) 个复数

   • 并行性：cuStateVec 自动利用 GPU 并行计算

   • 对于小规模电路（n < 20），CPU 可能更快

4. 错误处理：

   • 检查 cuQuantum API 返回值

   • 使用 CUDA 错误检查宏

   • 确保内存正确释放

这个实现展示了如何利用 cuQuantum SDK 的高性能状态向量模拟能力来运行 Bernstein-Vazirani 算法！

三、分布式实现

如果s 的 qubit 的数量比较大，这时需要多张gpu来模拟。这时候程序应该怎么写呢？

当 量子比特数量很大 ，需要多张 GPU 进行分布式模拟时，我们需要使用 cuQuantum 的多 GPU 功能。下面提供完整的实现方案：

3.1. 多 GPU Bernstein-Vazirani 实现（MPI + cuQuantum）

#include <mpi.h>
#include <custatevec.h>
#include <custatevecMP.h>  // 多 GPU 支持
#include <cuda_runtime.h>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cassert>
#include <algorithm>

class DistributedBernsteinVazirani {
private:
    int n_qubits_;              // 数据量子比特数
    int total_qubits_;          // 总量子比特数 (n+1)
    int n_gpus_per_node_;       // 每个节点的 GPU 数
    int world_size_;            // MPI 进程总数
    int world_rank_;            // MPI 进程排名
    
    // 多 GPU 句柄
    custatevecHandle_t* handles_;
    cudaStream_t* streams_;
    
    // 分布式状态向量
    void** d_sv_devices_;       // 每个 GPU 的状态向量部分
    size_t sv_size_per_gpu_;    // 每个 GPU 的状态向量大小
    
    // 通信相关
    MPI_Comm mpi_comm_;
    
public:
    DistributedBernsteinVazirani(int n, int n_gpus_per_node = 1) 
        : n_qubits_(n), total_qubits_(n + 1), n_gpus_per_node_(n_gpus_per_node) {
        
        // 初始化 MPI
        MPI_Init(NULL, NULL);
        MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &world_size_);
        MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &world_rank_);
        mpi_comm_ = MPI_COMM_WORLD;
        
        // 计算分布式量子比特分配
        // 假设我们将高位的量子比特进行分布
        int distributed_qubits = calculate_distributed_qubits();
        
        std::cout << "Rank " << world_rank_ 
                  << ": Simulating " << total_qubits_ 
                  << " qubits with " << world_size_ * n_gpus_per_node 
                  << " GPUs" << std::endl;
        
        // 初始化多 GPU 环境
        initialize_multi_gpu();
    }
    
    ~DistributedBernsteinVazirani() {
        cleanup();
        MPI_Finalize();
    }
    
private:
    int calculate_distributed_qubits() {
        // 计算需要在进程间分布的量子比特数
        int total_gpus = world_size_ * n_gpus_per_node_;
        int distributed_qubits = 0;
        
        while ((1 << distributed_qubits) < total_gpus) {
            distributed_qubits++;
        }
        
        return distributed_qubits;
    }
    
    void initialize_multi_gpu() {
        // 获取可用的 GPU 数量
        int device_count;
        cudaGetDeviceCount(&device_count);
        n_gpus_per_node_ = std::min(n_gpus_per_node_, device_count);
        
        // 为每个 GPU 创建句柄和流
        handles_ = new custatevecHandle_t[n_gpus_per_node_];
        streams_ = new cudaStream_t[n_gpus_per_node_];
        d_sv_devices_ = new void*[n_gpus_per_node_];
        
        // 计算每个 GPU 的状态向量大小
        int distributed_qubits = std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_);
        int local_qubits = total_qubits_ - distributed_qubits;
        sv_size_per_gpu_ = 1ULL << local_qubits;
        
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            // 设置当前 GPU
            cudaSetDevice(i);
            
            // 创建 cuStateVec 句柄
            custatevecCreate(&handles_[i]);
            
            // 创建 CUDA 流
            cudaStreamCreate(&streams_[i]);
            custatevecSetStream(handles_[i], streams_[i]);
            
            // 启用多 GPU 支持
            custatevecSetDeviceMemHandler(handles_[i], nullptr);
            
            // 分配状态向量内存
            size_t size_bytes = sv_size_per_gpu_ * sizeof(std::complex<double>);
            cudaMalloc(&d_sv_devices_[i], size_bytes);
            
            // 初始化状态向量
            initialize_state_vector(i);
        }
    }
    
    void initialize_state_vector(int device_idx) {
        cudaSetDevice(device_idx);
        
        // 只有全局状态 |0...0⟩ 对应的本地部分需要初始化
        // 计算本地部分对应的全局索引
        uint64_t global_offset = calculate_global_offset(device_idx);
        
        if (global_offset == 0) {
            // 第一个 GPU 的第一个元素设为 1.0
            std::complex<double> init_value = {1.0, 0.0};
            cudaMemcpy(d_sv_devices_[device_idx], &init_value, 
                      sizeof(std::complex<double>), cudaMemcpyHostToDevice);
            
            // 其余元素设为 0
            size_t zero_size = (sv_size_per_gpu_ - 1) * sizeof(std::complex<double>);
            cudaMemset((char*)d_sv_devices_[device_idx] + sizeof(std::complex<double>), 
                      0, zero_size);
        } else {
            // 其他 GPU 全部初始化为 0
            size_t total_size = sv_size_per_gpu_ * sizeof(std::complex<double>);
            cudaMemset(d_sv_devices_[device_idx], 0, total_size);
        }
        
        cudaStreamSynchronize(streams_[device_idx]);
    }
    
    uint64_t calculate_global_offset(int device_idx) {
        // 计算这个 GPU 在全局状态向量中的偏移量
        int global_gpu_idx = world_rank_ * n_gpus_per_node_ + device_idx;
        return global_gpu_idx * sv_size_per_gpu_;
    }
    
    // 分布式 Hadamard 门
    void apply_distributed_hadamard(int qubit) {
        // 判断量子比特是本地还是分布式的
        int distributed_qubits = std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_);
        
        if (qubit < distributed_qubits) {
            // 分布式量子比特 - 需要通信
            apply_distributed_hadamard_communicating(qubit);
        } else {
            // 本地量子比特 - 每个 GPU 独立处理
            apply_local_hadamard(qubit - distributed_qubits);
        }
    }
    
    void apply_local_hadamard(int local_qubit) {
        #pragma omp parallel for num_threads(n_gpus_per_node_)
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            
            custatevecApplyPauliRotation(
                handles_[i],
                d_sv_devices_[i], CUDA_C_64F,
                total_qubits_ - std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_),
                M_PI / 2.0,  // θ = π/2
                "X", local_qubit,
                0, nullptr, 0);
            
            cudaStreamSynchronize(streams_[i]);
        }
    }
    
    void apply_distributed_hadamard_communicating(int distributed_qubit) {
        // 实现分布式 Hadamard 需要 All-to-All 通信
        // 这里简化为使用 cuQuantum 的多节点功能
        
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            
            // 使用 cuQuantum 多节点 API
            custatevecApplyGeneralizedPermutationMatrix(
                handles_[i],
                d_sv_devices_[i], CUDA_C_64F,
                total_qubits_,
                nullptr,  // 置换矩阵
                0, nullptr,
                CUSTATEVEC_MATRIX_TYPE_GENERAL,
                1 << distributed_qubit,  // 目标量子比特
                nullptr, 0);
        }
        
        // 需要同步所有 GPU
        synchronize_all_gpus();
    }
    
    // 分布式 CNOT 门
    void apply_distributed_cnot(int control, int target, 
                               const std::vector<bool>& hidden_string) {
        // Bernstein-Vazirani 特定的 CNOT 应用
        // 控制比特是数据比特，目标比特是辅助比特（最后一个）
        
        int aux_qubit = total_qubits_ - 1;  // 辅助比特
        
        if (control == aux_qubit || target == aux_qubit) {
            // 涉及辅助比特的操作
            apply_cnot_involving_aux(control, target, hidden_string);
        } else {
            // 两个都是数据比特
            apply_cnot_data_only(control, target);
        }
    }
    
    void apply_cnot_involving_aux(int control, int target, 
                                 const std::vector<bool>& hidden_string) {
        int distributed_qubits = std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_);
        int data_qubit = (control == total_qubits_ - 1) ? target : control;
        
        if (data_qubit < distributed_qubits) {
            // 分布式数据比特 - 需要特殊处理
            apply_distributed_cnot_with_communication(data_qubit, hidden_string[data_qubit]);
        } else {
            // 本地数据比特
            apply_local_cnot(data_qubit - distributed_qubits, hidden_string[data_qubit]);
        }
    }
    
    void apply_local_cnot(int local_qubit, bool apply_cnot) {
        if (!apply_cnot) return;
        
        int aux_local = total_qubits_ - 1 - std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_);
        
        #pragma omp parallel for num_threads(n_gpus_per_node_)
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            
            int ctrls[] = {local_qubit};
            int targets[] = {aux_local};
            
            custatevecApplyControlledGate(
                handles_[i],
                d_sv_devices_[i], CUDA_C_64F,
                total_qubits_ - std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_),
                custatevecGate_t::CUSTATEVEC_GATE_X,
                ctrls, 1,
                CUSTATEVEC_GENERAL_PATTERN, 0,
                targets, 1,
                nullptr, 0,
                0, nullptr, 0);
            
            cudaStreamSynchronize(streams_[i]);
        }
    }
    
    // Bernstein-Vazirani Oracle 的分布式实现
    void apply_distributed_oracle(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        int distributed_qubits = std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_);
        
        // 处理分布式量子比特
        for (int i = 0; i < distributed_qubits; i++) {
            if (hidden_string[i]) {
                apply_cnot_for_distributed_qubit(i);
            }
        }
        
        // 处理本地量子比特
        for (int i = distributed_qubits; i < n_qubits_; i++) {
            if (hidden_string[i]) {
                apply_local_cnot(i - distributed_qubits, true);
            }
        }
    }
    
    void synchronize_all_gpus() {
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            cudaStreamSynchronize(streams_[i]);
        }
        MPI_Barrier(mpi_comm_);
    }
    
    // 运行分布式 Bernstein-Vazirani
    std::vector<bool> run_distributed(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        assert(hidden_string.size() == n_qubits_);
        
        int aux_qubit = total_qubits_ - 1;
        int distributed_qubits = std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_);
        
        // 1. 准备辅助比特 |−⟩
        if (aux_qubit < distributed_qubits) {
            apply_distributed_hadamard(aux_qubit);
            apply_distributed_z(aux_qubit);
        } else {
            apply_local_hadamard(aux_qubit - distributed_qubits);
            apply_local_z(aux_qubit - distributed_qubits);
        }
        
        // 2. 数据比特叠加态
        for (int i = 0; i < n_qubits_; i++) {
            apply_distributed_hadamard(i);
        }
        
        // 3. 应用 Oracle（分布式）
        apply_distributed_oracle(hidden_string);
        
        // 4. 逆 Hadamard
        for (int i = 0; i < n_qubits_; i++) {
            apply_distributed_hadamard(i);
        }
        
        // 5. 分布式测量
        return distributed_measurement();
    }
    
    std::vector<bool> distributed_measurement() {
        std::vector<bool> result(n_qubits_, false);
        
        // 收集所有进程的测量结果
        std::vector<double> local_probs(n_qubits_, 0.0);
        std::vector<double> global_probs(n_qubits_, 0.0);
        
        // 计算本地概率
        for (int qubit = 0; qubit < n_qubits_; qubit++) {
            local_probs[qubit] = compute_local_probability(qubit);
        }
        
        // 全局归约
        MPI_Allreduce(local_probs.data(), global_probs.data(), 
                     n_qubits_, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, mpi_comm_);
        
        // 决定测量结果
        for (int qubit = 0; qubit < n_qubits_; qubit++) {
            result[qubit] = (global_probs[qubit] > 0.5);
        }
        
        return result;
    }
    
    double compute_local_probability(int qubit) {
        double total_prob = 0.0;
        
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            
            // 计算这个 GPU 上 |1⟩ 的概率
            double* d_probs;
            cudaMalloc(&d_probs, sv_size_per_gpu_ * sizeof(double));
            
            // 实际实现需要更复杂的概率计算
            // 这里简化为采样
            
            cudaFree(d_probs);
        }
        
        return total_prob;
    }
    
    void apply_distributed_z(int qubit) {
        // 类似 apply_distributed_hadamard
        // 实现省略...
    }
    
    void apply_local_z(int local_qubit) {
        #pragma omp parallel for num_threads(n_gpus_per_node_)
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            
            custatevecApplyPauliRotation(
                handles_[i],
                d_sv_devices_[i], CUDA_C_64F,
                total_qubits_ - std::log2(world_size_ * n_gpus_per_node_),
                M_PI,  // θ = π
                "Z", local_qubit,
                0, nullptr, 0);
            
            cudaStreamSynchronize(streams_[i]);
        }
    }
    
    void cleanup() {
        for (int i = 0; i < n_gpus_per_node_; i++) {
            cudaSetDevice(i);
            custatevecDestroy(handles_[i]);
            cudaStreamDestroy(streams_[i]);
            cudaFree(d_sv_devices_[i]);
        }
        
        delete[] handles_;
        delete[] streams_;
        delete[] d_sv_devices_;
    }
};

// 主程序
int main(int argc, char** argv) {
    // MPI 初始化在类构造函数中进行
    
    int n_qubits = 30;  // 30个数据量子比特，总共31个量子比特
    int n_gpus_per_node = 4;  // 假设每个节点有4个GPU
    
    DistributedBernsteinVazirani bv(n_qubits, n_gpus_per_node);
    
    // 生成隐藏字符串
    std::vector<bool> hidden_string(n_qubits);
    std::srand(12345);
    for (int i = 0; i < n_qubits; i++) {
        hidden_string[i] = std::rand() % 2;
    }
    
    // 只有 rank 0 打印隐藏字符串
    if (bv.get_rank() == 0) {
        std::cout << "隐藏字符串 (长度=" << n_qubits << "): ";
        for (bool bit : hidden_string) std::cout << bit;
        std::cout << std::endl;
    }
    
    // 运行分布式算法
    auto result = bv.run_distributed(hidden_string);
    
    // 收集并验证结果
    if (bv.get_rank() == 0) {
        std::cout << "测量结果: ";
        for (bool bit : result) std::cout << bit;
        std::cout << std::endl;
        
        bool success = true;
        for (int i = 0; i < n_qubits; i++) {
            if (result[i] != hidden_string[i]) {
                success = false;
                break;
            }
        }
        
        if (success) {
            std::cout << "✓ 分布式 Bernstein-Vazirani 成功！" << std::endl;
        } else {
            std::cout << "✗ 算法失败！" << std::endl;
        }
    }
    
    return 0;
}

3.2. 使用 cuQuantum 多节点功能的简化版本

#include <custatevec.h>
#include <custatevecMP.h>
#include <mpi.h>
#include <vector>
#include <iostream>

// 使用 cuQuantum 的多节点 wrapper
class MultiNodeBernsteinVazirani {
public:
    MultiNodeBernsteinVazirani(int n_qubits) : n_qubits_(n_qubits) {
        MPI_Init(NULL, NULL);
        MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &mpi_rank_);
        MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &mpi_size_);
        
        // 创建多节点句柄
        custatevecCreateMultiNode(&handle_, MPI_COMM_WORLD);
        
        // 设置计算模式
        custatevecSetComputeType(handle_, CUSTATEVEC_COMPUTE_64F);
        
        // 分配状态向量
        size_t sv_size = 1ULL << n_qubits_;
        size_t sv_size_per_rank = sv_size / mpi_size_;
        
        cudaMalloc(&d_sv_, sv_size_per_rank * sizeof(std::complex<double>));
        
        // 初始化
        initialize_state();
    }
    
    void run(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        // 使用 cuQuantum 的多节点门操作
        
        // 1. Hadamard 门应用到所有量子比特
        apply_multi_node_hadamard();
        
        // 2. 应用 Oracle
        apply_multi_node_oracle(hidden_string);
        
        // 3. 再次应用 Hadamard
        apply_multi_node_hadamard();
        
        // 4. 测量
        measure_and_collect();
    }
    
private:
    void apply_multi_node_hadamard() {
        // cuQuantum 的多节点门操作
        for (int qubit = 0; qubit < n_qubits_; qubit++) {
            custatevecApplyPauliRotationMultiNode(
                handle_,
                d_sv_, CUDA_C_64F,
                n_qubits_,
                M_PI / 2.0,
                "X", qubit,
                nullptr, 0);
        }
    }
    
    void apply_multi_node_oracle(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        // 注意：实际实现需要将辅助比特考虑在内
        // 这里简化了实现
        
        for (int i = 0; i < n_qubits_ - 1; i++) {  // n_qubits_ 包括辅助比特
            if (hidden_string[i]) {
                // 应用多节点 CNOT
                int ctrls[] = {i};
                int targets[] = {n_qubits_ - 1};  // 辅助比特
                
                custatevecApplyControlledGateMultiNode(
                    handle_,
                    d_sv_, CUDA_C_64F,
                    n_qubits_,
                    CUSTATEVEC_GATE_X,
                    ctrls, 1,
                    CUSTATEVEC_BITORDER, 0,
                    targets, 1,
                    nullptr, 0,
                    0, nullptr);
            }
        }
    }
    
    // ... 其他实现细节
};

3.3. 运行脚本和配置

SLURM 作业脚本 (job.sh)

#!/bin/bash
#SBATCH --job-name=distributed_bv
#SBATCH --nodes=4                 # 4个计算节点
#SBATCH --ntasks-per-node=4       # 每个节点4个MPI进程
#SBATCH --gpus-per-node=4         # 每个节点4个GPU
#SBATCH --cpus-per-task=8
#SBATCH --time=01:00:00
#SBATCH --partition=gpu
#SBATCH --output=bv_%j.out

# 加载模块
module load cuda/12.0
module load mpi/openmpi-4.1.0
module load cuquantum/2.0.0

# 设置环境变量
export OMP_NUM_THREADS=8
export CUDA_VISIBLE_DEVICES=0,1,2,3

# 运行 MPI 程序
mpirun -np 16 --map-by ppr:4:node \
    -x LD_LIBRARY_PATH \
    -x CUDA_VISIBLE_DEVICES \
    ./distributed_bv

编译脚本 (compile.sh)

#!/bin/bash

# 设置 cuQuantum 路径
export CUQUANTUM_ROOT=/path/to/cuquantum
export CUDA_ROOT=/usr/local/cuda
export MPI_ROOT=/usr/local/openmpi

# 编译命令
nvcc -std=c++17 -O3 \
    -I${CUQUANTUM_ROOT}/include \
    -I${CUDA_ROOT}/include \
    -I${MPI_ROOT}/include \
    distributed_bv.cpp \
    -o distributed_bv \
    -L${CUQUANTUM_ROOT}/lib64 \
    -L${CUDA_ROOT}/lib64 \
    -L${MPI_ROOT}/lib \
    -lcustatevec -lcustatevecmp \
    -lcudart -lmpi -lmpi_cxx

3.4. 性能优化策略

数据分布策略

enum class DistributionStrategy {
    ROW_CYCLIC,     // 行循环分布
    COLUMN_CYCLIC,  // 列循环分布  
    BLOCK_CYCLIC,   // 块循环分布
    TENSOR_NETWORK  // 张量网络分布
};

class OptimizedDistribution {
public:
    // 根据量子电路特性选择最优分布
    DistributionStrategy select_strategy(const QuantumCircuit& circuit) {
        // 分析电路中的门操作模式
        // 选择最小化通信的模式
    }
};

通信优化

class CommunicationOptimizer {
private:
    // 双缓冲通信
    void* comm_buffer_[2];
    int current_buffer_ = 0;
    
    // 异步通信
    cudaStream_t comm_stream_;
    MPI_Request mpi_requests_[2];
    
public:
    void async_alltoall(void* send_buf, void* recv_buf, size_t size) {
        // 使用异步 MPI 和 CUDA 流重叠计算和通信
        cudaMemcpyAsync(comm_buffer_[current_buffer_], send_buf, 
                       size, cudaMemcpyDeviceToHost, comm_stream_);
        
        MPI_Ialltoall(comm_buffer_[current_buffer_], size / mpi_size_,
                     MPI_BYTE, recv_buf, size / mpi_size_, MPI_BYTE,
                     MPI_COMM_WORLD, &mpi_requests_[current_buffer_]);
        
        current_buffer_ ^= 1;  // 切换缓冲区
    }
};

3.5. 扩展到超大规模系统

对于 40+ 量子比特 的模拟：

class UltraScaleBernsteinVazirani {
public:
    // 使用张量网络收缩
    void run_with_tensor_network(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        // 1. 将量子电路表示为张量网络
        TensorNetwork network = build_tensor_network(hidden_string);
        
        // 2. 使用多 GPU 进行张量收缩
        TensorContractionPlan plan = optimize_contraction_order(network);
        
        // 3. 分布式执行
        execute_distributed_contraction(plan);
        
        // 4. 提取结果
        extract_measurement_results();
    }
    
    // 使用状态向量压缩
    void run_with_compression(const std::vector<bool>& hidden_string) {
        // 1. 分析电路结构
        // 2. 应用适当的压缩技术
        // 3. 在压缩表示上执行门操作
        // 4. 解压缩获得测量结果
    }
};

3.6. 关键注意事项

1. 内存估算：

   • 31 量子比特：2^31 × 16字节 = 32 GB（单节点）

   • 分布到 16 个 GPU：每 GPU 2 GB

   • 36 量子比特：每 GPU 32 GB（需要 A100/H100）

2. 通信开销：

   • Hadamard 门：All-to-All 通信

   • CNOT 门：点对点通信

   • 测量：全局归约

3. 负载均衡：

   • 均匀分布量子比特

   • 考虑门操作的局部性

   • 动态负载平衡

4. 容错处理：

   • GPU 故障恢复

   • 检查点/重启

   • 通信错误处理

这种分布式实现可以扩展到 40+ 量子比特，但需要仔细优化通信模式和内存使用！

四、怎么存储s+aux 的状态矢量

这样的话，存储状态向量的显存空间元素个数，既可以是 2^(n+1)，也可以是 2^n 存s的态矢量，再加上2^1 个元素来存储 辅助qubit 的状态矢量即可。可行性如何呢？

不完全是这样的！你的理解有些偏差。让我详细解释为什么 不能 这样分开存储。

4.1. 数学上的正确理解

你说的是对的：最终的状态在数学上是乘积态：

其中：

• |ψ_data⟩ 需要 2^n 个复数

• |−⟩ 需要 2^1 = 2 个复数

但是 关键问题 ：这只是在 Oracle 作用之后 的特殊情况！

4.2. 演化过程中的纠缠可能性

让我们看 Oracle 作用的过程：

CNOT 门的性质

CNOT 门的真值表：

|control, target⟩ → |control, target⊕control⟩

对于 Bernstein-Vazirani 的 Oracle 实现：

// 对每个 s_i=1 执行
cx(data[i], aux);  // CNOT: 控制比特=data[i]，目标比特=aux

作用过程分析

考虑简单情况：n=1, s=1，初始状态：

其中：

应用 CNOT(control=data[0], target=aux)：

分开计算两个基态：

1. 当 control = |0⟩：

   因为 |−⟩ 是 CNOT 的特征态（当 control=0 时）

2. 当 control = |1⟩：

所以：

确实是乘积态！ CNOT 没有产生纠缠。

4.3. 但是为什么不能分开存储？

原因一：门操作作用在整个系统上

量子门操作在 整个 Hilbert 空间 上定义：

// CNOT 门操作在完整的 2^{n+1} 维空间上
cx(data[i], aux);

这个操作不能分解为：

它是 在两个量子比特的子空间上 的酉操作。

原因二：中间状态可能纠缠

虽然 Bernstein-Vazirani 的最终状态是乘积态，但 在演化过程中，如果我们有其他门操作顺序，可能会产生纠缠。

考虑一个不同的电路：

// 错误的门顺序：先纠缠再应用 Bernstein-Vazirani
h(aux);
cx(data[0], aux);  // 这里会产生纠缠！
h(qs);
// ... 然后才运行 Bernstein-Vazirani

原因三：模拟器的通用性

量子模拟器是 通用 的，它不知道你的算法特定结构：

// 模拟器看到的
state_vector[2^{n+1}]  // 完整的 2^{n+1} 维向量

// 当执行 cx(data[i], aux) 时
for (int idx = 0; idx < 2^{n+1}; idx++) {
    // 需要访问所有元素
    // 不能只访问 "data部分" 和 "aux部分"
}

4.4. 存储方案对比

方案A：完整存储（实际做法）

• 优点：通用，简单

• 缺点：内存需求翻倍

方案B：分开存储（理论上可能）

但需要 额外的簿记：

1. 跟踪哪些门操作可以分解

2. 处理门操作的顺序

3. 处理测量时的相关性

4.5. 一个可行的优化方案

如果 知道整个电路是 Bernstein-Vazirani，可以这样优化：

class OptimizedBVSimulator {
private:
    // 只存储数据比特的状态
    std::vector<std::complex<double>> data_state;  // 2^n 个元素
    
    // 辅助比特固定为 |−⟩
    const std::complex<double> aux_state[2] = {
        {1.0/std::sqrt(2.0), 0.0},
        {-1.0/std::sqrt(2.0), 0.0}
    };
    
public:
    void apply_cnot(int control_qubit, bool s_i) {
        if (!s_i) return;  // 如果 s_i=0，不执行 CNOT
        
        // 在 Bernstein-Vazirani 的特殊情况下
        // CNOT(data[i], aux) 等效于在数据状态上应用相位
        // |x⟩ → (-1)^{x_i} |x⟩，其中 x_i 是第 i 位
        
        #pragma omp parallel for
        for (size_t idx = 0; idx < data_state.size(); idx++) {
            if ((idx >> control_qubit) & 1) {  // 如果 x_i = 1
                data_state[idx] *= -1.0;
            }
        }
    }
    
    void run(const std::vector<bool>& s) {
        // 初始化数据状态为均匀叠加
        data_state.assign(data_state.size(), 
                         {1.0/std::sqrt(data_state.size()), 0.0});
        
        // 应用 Oracle（优化版本）
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            apply_cnot(i, s[i]);
        }
        
        // 逆 Hadamard
        apply_inverse_hadamard();
        
        // 测量
        return measure();
    }
};

4.6. 实际 cuQuantum 实现

在实际的 cuQuantum 中，必须使用完整存储：

// cuQuantum 要求的状态向量大小
size_t sv_size = 1ULL << (n + 1);  // 2^{n+1}

// 分配 GPU 内存
cudaMalloc(&d_sv, sv_size * sizeof(std::complex<double>));

因为 cuQuantum 是 通用量子电路模拟器：

• 不知道 Bernstein-Vazirani 的特殊结构

• 需要处理任意量子电路

• 需要支持任意门操作顺序

4.7. 特殊情况：如果辅助比特真的解耦

如果我们可以 保证 辅助比特始终解耦，可以这样做：

// 混合表示方案
struct SeparableState {
    std::vector<std::complex<double>> data;  // 2^n
    std::complex<double> aux[2];  // 辅助比特状态
    
    // 检查是否可分离
    bool is_separable() {
        // 检查状态是否真的是乘积态
        return check_tensor_product_structure();
    }
    
    // 应用 CNOT 的简化版本
    void apply_cnot_separable(int control, int target) {
        if (target == n) {  // 目标比特是辅助比特
            // 只更新数据部分的相位
            update_data_phase(control);
        } else {
            // 需要完整模拟
            fallback_to_full_simulation();
        }
    }
};

4.8. 总结：为什么需要 2^{n+1} 存储

方案	存储大小	是否可行	为什么
完整存储	2^{n+1}	✓ 实际使用	通用，简单，cuQuantum 要求
分开存储	2^n + 2	✗ 理论上可能，但不实用	需要特殊电路分析，通用性差
优化存储	2^n	✓ 仅对特定算法	需要重写模拟器，只适用于 Bernstein-Vazirani

结论 ：

虽然 Bernstein-Vazirani 算法中辅助比特和数据比特 数学上是乘积态，但：

1. 通用量子模拟器 必须使用完整存储

2. cuQuantum 等 GPU 加速库需要 2^{n+1} 存储

3. 只有 专门优化的模拟器 才能利用乘积态结构节省内存

所以，对于 cuQuantum 实现，必须分配 2^{n+1} 个状态向量元素！