四个 qubits 的index 分别是0,1,2,3, 在1和2qubits 上作用 h门，数学表达方式是怎么样的？是否可以分2次，分别将h门作用在1和2qubits？效果是否相同呢？这是量子门在多个量子比特上的作用方式问题。
1. 数学表达方式
情况A：在1号和2号量子比特上同时作用H门
这是一个双量子比特门，作用于两个不同的量子比特。
数学表达为：
其中：
-
表示在量子比特1上作用H门
-
-
⊗
作用于4量子比特系统：
完整矩阵大小：
情况B：分开作用H门
先作用在量子比特1，再作用在量子比特2：
2. 效果是否相同
是的，效果完全相同.
让我们证明这一点。
数学证明
两个H门作用于不同量子比特是可交换的：
同样：
所以：
它们是可交换的！
3. 具体示例
让我们用一个具体的4量子比特状态来看效果：
初始状态： |0000⟩
用二进制表示：|q₃q₂q₁q₀⟩
方法1：同时作用
计算：
-
量子比特0 (q₀)：保持 |0⟩
-
量子比特1 (q₁)：
H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 -
量子比特2 (q₂)：
H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 -
量子比特3 (q₃)：保持 |0⟩
结果：
方法2：分开作用
第一步： 在q₁上作用H
第二步： 在q₂上作用H
结果完全相同
4. 代码实现对比
CUDA Quantum 实现
cpp
// 方法1：同时作用
__qpu__ void simultaneous_hadamard() {
cudaq::qvector<4> q;
h(q[1], q[2]); // 同时对q1和q2作用H门
}
// 方法2：分开作用
__qpu__ void separate_hadamard() {
cudaq::qvector<4> q;
h(q[1]); // 先作用在q1
h(q[2]); // 再作用在q2
}
// 两种方法产生完全相同的量子态！Qiskit 实现
python
from qiskit import QuantumCircuit
import numpy as np
# 方法1
qc1 = QuantumCircuit(4)
qc1.h([1, 2]) # 同时对1,2作用H
# 方法2
qc2 = QuantumCircuit(4)
qc2.h(1)
qc2.h(2)
# 获取状态向量
from qiskit.quantum_info import Statevector
sv1 = Statevector(qc1)
sv2 = Statevector(qc2)
print("状态相同吗？", np.allclose(sv1.data, sv2.data)) # 输出: True5. 物理原理
为什么作用于不同量子比特的H门可以交换？
-
作用在不同的自由度上
-
量子比特1和2是不同的物理系统
-
H门作用于不同的Hilbert空间子空间
-
-
数学上的张量积结构
-
物理上的局域操作
-
每个H门只影响自己对应的量子比特
-
操作之间没有相互干扰
-
6. 特殊情况：不能交换的情况
只有当门作用于不同的、不重叠的量子比特集合 时才可交换。以下情况不可交换：
例1：作用于同一量子比特
cpp
h(q[1]);
x(q[1]); // 先H后X
// 与
x(q[1]);
h(q[1]); // 先X后H
// 效果不同！例2：两量子比特门
cpp
cx(q[1], q[2]); // CNOT: 控制q1，目标q2
h(q[1]);
// 与
h(q[1]);
cx(q[1], q[2]);
// 效果不同！例3：作用在有重叠的集合
cpp
// 如果先作用在{1,2}，再作用在{2,3}
h(q[1], q[2]);
h(q[2], q[3]);
// 与交换顺序不同！7. 电路等价性证明
我们可以用电路图来理解：
cpp
方法1（同时）：
q0: ─────
q1: ──H──
q2: ──H──
q3: ─────
方法2（分开）：
q0: ─────
q1: ──H──
q2: ─────
║
q0: ─────
q1: ─────
q2: ──H──
q3: ─────合并后就是方法1的电路！8. 实际应用中的选择
虽然数学上等价，但在实际编程中：
选择同时作用的情况：
cpp
// 更好的可读性
h(q[1], q[2]); // 明确表示同时作用
// GPU优化：可以并行执行
#pragma unroll
for (int i = 1; i <= 2; i++) {
h(q[i]);
}
// 在一些量子硬件上，同时作用可能减少门延迟选择分开作用的情况：
cpp
// 需要条件判断时
if (condition) {
h(q[1]);
}
h(q[2]); // q2总是作用H
// 在循环中
for (int i : {1, 2}) {
h(q[i]);
}9. 推广到更多量子比特
对于作用于不相交集合的门：
顺序可以任意排列
总结
-
数学上 ：
-
物理上：作用于不同量子比特的局域门是可交换的
-
编程中：两种写法等价，可根据可读性和优化需求选择
-
关键点 ：这种可交换性只适用于作用于不同且不相交量子比特集合的局域门
所以，对于您的问题：可以分2次分别将H门作用在1和2量子比特，效果完全相同！