nim游戏原理 - 技术栈

参考nim游戏

尼姆博弈是一个两人博弈。两名玩家轮流从若干堆物品中拿取一定数量的物品，每次操作需：

选择某一堆。
从该堆中至少拿 1 个，至多拿完全部物品（不能不拿）。

游戏可以设置"拿到最后一个物品获胜"或"拿到最后一个物品失败"。

视频规则中，游戏的等价关系不变量是 nim 和是否为 0 ，详细解释。

定义 1：nim 和

所有堆的异或和定义为 nim 和。

例子：

对状态 (3, 5, 7)，nim 和计算为：

nim(3,5,7) = 3 ⊕ 5 ⊕ 7 = 1

注：可用浏览器的 JS 计算。

约定 1：状态分类

为了简化证明，将硬币状态分成 5 类：P、Q、R 明显可判定，平衡态 S 与非平衡态 F 是主要讨论对象。

5 类状态的"标准型"指该类形式最简单的状态。

状态类	定义	标准型
平衡态 S	nim 和为 0，且不是 P、Q、R	k₀=(x,x), x>1；k₁=(1,2x,2x+1) x⊕x=0；1⊕2x⊕(2x+1)=0
非平衡态 F	nim 和不为 0，且不是 P、Q、R	(1,2)
奇堆纯 1 态 P	仅有奇数堆 1	(1)
偶堆纯 1 态 Q	仅有偶数堆 1	(1,1)
仅 1 堆态 R	仅有一堆数量 >1	(2)

约定 2：必胜态与必败态

P1：P、Q、R 的结果显然，无需讨论。
P2（必胜态）：若参与者 A 构造状态 U 后存在必胜走法，则 U 为 A 的必胜态。
P3（必败态）：若参与者 A 构造状态 U 后无必胜走法，则 U 为 A 的必败态。
P4：状态 K₀ = (x,x) | x>1 是平衡态，也是必胜态，作为 S 类标准型。
P5：参与者 A 为平衡态构造者。
P6：最高位、s 位等均指二进制位。
P7 ：
- 状态 (s) 表示只有一个 s 个硬币堆，其他堆为 0。
- 状态 (s,t) 表示只有两堆，分别有 s 和 t 个硬币，其他堆为 0。
P8（并堆）：状态间的一种运算，用 ⊕ 表示，nim((s) ⊕ (t)) = s ⊕ t。

结论：

平衡态 ⊕ 平衡态 = 平衡态
非平衡态 ⊕ 平衡态 = 非平衡态

定理 1：平衡态是必胜态，非平衡态是必败态

不论规则是"拿到最后一个赢"还是"拿到最后一个输"，都成立。

记住：拿成平衡态者获胜。

T1：K₀ 是平衡态

K₀ = (0,0,...,x,x)
因为 nim(K₀) = x ⊕ x = 0，所以 K₀ 是平衡态。

T2：K₀ 是必胜态

A构造了平衡态K0 =(X,X) |X>1, 下一步 B 拿后的状态为 (m,X)，分类讨论：

m	规则	A 拿法	结果
0	拿最后一个赢	A 把 X 堆全拿走	A 赢
0	拿最后一个输	A 把 X 堆剩 1 个	A 赢
1	拿最后一个赢	A 把 X 堆剩 1 个	A 赢
1	拿最后一个输	A 把 X 堆全拿走	A 赢
>1	拿最后一个赢	A 把 X 堆剩 m 个	回到初始态
>1	拿最后一个输	A 把 X 堆剩 m 个	回到初始态

因硬币数严格递减，总会结束于前4种情况之一。

T3：平衡态的下一个状态一定不平衡

设平衡态 nim 和为 0，从第 j 堆拿后剩 m 个：

令 t ⊕ x j x_j xj = m, t>0

则下一状态 nim 和 = t > 0，不平衡。

T4：不平衡态的下一状态可平衡也可不平衡

设 B构造了 x 1 x_1 x1⊕ x 2 x_2 x2,...⊕ x j x_j xj...⊕ x n x_n xn=t 是一个不平衡态,t>0，其最高位为 s，则存在某堆 x j x_j xj 的第 s 位为 1，可通过调整 x j x_j xj 堆的数量：

拿成平衡 ：A 拿剩 t ⊕ x j x_j xj 个，使 nim 和变 0
拿成不平衡：A 拿走该堆小于 s 位的部分，使 nim 和 s 位保持不平衡

T5：存在拿法使构造 S 的 A 最终获胜

必胜表：

规则	必胜态	必败态
拿最后一个赢	K₀, S, Q	P, F, R
拿最后一个输	K₀, S, P	Q, F, R

A 可通过拿到 K₀、P 或 Q 获胜，B 最终走向必败态 F1 或 F2。

T6：只要 A 尽可能保持平衡，B 必经 F1 或 F2

F1 = (1,1,...,1,m), m>1, nim>0
F2 = (0,0,...,x,m), x,m>1, nim>0, x≠m

硬币有限，最终状态必终结于 K₀ 或 F2。

推论 1

K₀、K₁ 是必胜态
平衡态的并堆也是必胜态

因异或运算难口算，推论可快速判定大多数状态是否必胜。

平衡态构造技巧

口诀：

从 x j x_j xj 堆拿剩 x j x_j xj ⊕ t 个，直到 P、Q、R 状态

其中 t 为 nim 和， x j x_j xj 为与 t 最高位相同的堆。

技巧总结：

技巧	说明
技巧1	K₀ = (x,x)
技巧2	K₁ = (1,2x,2x+1)
技巧3	奇数个奇堆不平衡，只看个位
技巧4	从 x j x_j xj 堆拿剩 x j x_j xj ⊕ t 个，直到 P,Q,R 状态，需要大量异或计算
技巧5	平衡状态下，随便只拿一个
技巧6	并堆定理
技巧7	a 是最大堆，将 a 堆剩下 b^c
技巧8	(`a^b^c`).toString(2)

可以通过如下脚本确定如何拿硬币

js 复制代码

/**
 * 状态s下,如何拿硬币
 * @param s {Array[number]} - 输入的数字数组
 * @return {[number,number,number]} - 返回一个包含三个数字的数组：
 *                                   状态s的nim和
 *                                   xj堆的数量
 *                                   xj堆剩下的数量
 */
function nim(s) {
    
    //计算状态s的nim和
    const t = s.reduce((acc, cur) => acc ^ cur, 0);
    let xj = Math.max(...s);
    //必败态,就从最大堆拿一个
    if(t===0){
        return [t, xj, xj-1];
    }
    //找出xj堆
    for (let it of s) {
        if ((it >> (t.toString(2).length - 1)) & 1 === 1) {
            xj = it;
            break;
        }
    }
    //xj堆剩下的数量
    return [t, xj, xj ^ t];
}

/**
 * 状态s的下一个最佳状态
 * @param s {Array[number]}  当前状态
 * @return {Array[number]}   下一状态
 */
function m(s){
    s=Array.isArray(s)?s:[...arguments];
    const [t, xj, nextXj] =nim(s);
    let flag=0;
    let nextS = s.map((it) => {
        if (flag === 0 && it === xj) {
            flag = 1;
            return nextXj;
        } else {
            return it;
        }
    });
    if(t===0){
        throw new Error("可能会输:"+nextS.toString());
    }
    return nextS;
}

m(3,5,7)