这个系列好久没更了，当时停更是因为没有阅读量，但是我现在其实也不为了阅读量了，愿意写啥，写啥，所以就把这个系列又捡起来了（我之前留的所有坑，每个系列也都会填上的）
之前的文章介绍了MAE和MSE，这俩玩意都是做回归的
再复习一下
这次换一个公式写法为了好理解，我们用单样本损失
yi 就是y_true,y_i^就是预测值，对单个样本ii，有一个损失ℓ_iℓii
如果是回归 + MAE
数学特点：
线性误差：误差每增大一点，惩罚线性增加，不会像平方那样放大极端值。
导数是符号函数：
在 0 点有"尖角"，对梯度下降不如 MSE 那么平滑。
适用场景：
回归任务，但：
函数曲线这样
如果是回归 + MSE：
数学特点：
二次方：误差越大，惩罚增长得非常快。
适用场景：
回归任务的默认首选
（连续值预测：房价、温度、评分等）。
你希望模型对"大误差"反应更剧烈（因为平方会放大远离点）
缺点：
对 outlier（极端样本）特别敏感，容易被坏点拖着跑。
函数曲线
那么MAE比起MSE呢
对比 MSE：
MSE：惩罚大误差更狠，适合你希望模型尽量别出"大错"的回归；
MAE：对每个误差一视同仁，适合你想稳一点，不想被极端点绑架， 那你可以用MAE
然后上节还讲了熵
香浓信息熵：
直白讲：
随机变量 X 服从分布 p
它的熵H(p) = 用分布p自己的概率，去算"平均每次观察一个样本，带来的信息量"。
再看不懂就拆开讲
设有一个随机事件x，它发生的概率是p(x)。
定义一个量：
I(x)=−logp(x)
你现在只要记两点直觉：
如果p(x)很大（比如 0.99），那−logp(x)很小
这个结果一点不意外，"信息量"小。
如果p(x)很小（比如 0.001），那−logp(x)很大
这个结果很罕见，"信息量"大。
所以：
−logp(x)被叫做"这个具体结果的惊喜度 / 信息量"。
你可以先当成定义：事件越罕见，看到它时获得的信息越多，用
−logp(x)度量。
接下来我们要讲一个概念：熵 = "信息量的平均值"
现在不只是一个结果，而是一个随机变量X：
它可能取很多种值：x1,x2,...
每个值出现的概率是p(x)
那么：
每次我们看到一个具体结果x，它的信息量是−logp(x)
但每次看到的结果不一样，信息量也会不一样。
熵H(p)做的事情就是：
用分布 p自己的概率，去算：
"平均每看到一次结果，带来的信息量是多少？"
数学上就是把"信息量"−logp(x)按概率p(x)求加权平均（期望）
这个式子就是这么来的
讲完了信息熵的定义了
我们为什么要讲它，不是在讲损失函数吗？
对喽，讲完了MSE，MAE回归任务经常用的损失函数，就该讲分类常用的损失函数交叉熵了，也就是cross-entropy
你看它也有entropy可见叫XX熵也算实至名归，那为什么要冠以cross呢？
我们去熵公司的前面部分，就是带期望那个
熵：
交叉熵：
区别只在一件事：
熵：真分布p既负责说"样本出现的频率"（期望），又负责"我们认为它的概率"（log 里）；
交叉熵：
所以交叉熵是个假的啊（肯定假啊，毕竟你预测的不是真值，然后去收敛模型么，对吧）
交叉熵 ="真实世界按 p出现样本，但我们用 q来编码这些样本时，平均每个样本需要多少信息量（多少 bit）"。
如果模型q跟真实p很接近，交叉熵就接近熵本身（能接近理论最优的编码长度）。
如果q很烂，把高概率事件当低概率给，交叉熵就会大很多。
分类/语言模型训练时，我们的情况刚好就是：
真实标签分布 =p（one‑hot 或经验频率，可以当"真分布"），比如LLM其实就是one-hot，不是在embedding的时候而是在词表V推理（sotamax概率）的时候其实就是一个one-hot，几万十几万的词表，只有那个词被推理出来，它是1，别人是0
模型输出的概率分布 =qθ（softmax、sigmoid 的输出）。
用的损失函数就是：
还是用llm来解释，这个时候x就是你的context，y就是你要推出来的next-token，这就好理解了吧
优化目标也是让qθ 逼近p：
哎！这就把KL散度也给引入了
，然后，下次再讲吧
讲熵，交叉熵，KL散度的关系
写在最后：我为啥又把这些东西翻出来了，是因为我发现RL的东西对大多数人太抽象了（好多读者都希望我更新，但是属实有很多人留言看不懂，其实没很多人，因为纯讲算法的，几乎没什么人读
）但是抽象的核心原因，好像并不是RL本身，反而是这些最普通的基础概念，所以我决定先给读者补补基础，否则后面ppo为什么要用grpo取代
grpo的为什么有的论文把KL散度直接删了，不弄清楚这些底层概念，读者是看不懂的，不过这个东西长一长也许能长成一本深度学习数学红宝书也不一定