1.1 信号分类
🌟信号分类：从"确定的"到"随机的"世界🧠📡
🧠什么是信号？------用生活类比理解
想象你正在听一首歌，耳机里传来旋律、节奏和歌词。
这些声音就是信号！
在工程中，信号是随时间变化的物理量，比如电压、电流、温度、声音等。
📌 类比：
- 歌曲 = 信号
- 音符 = 信号值
- 时间轴 = 横坐标
信号可以分为两大类：确定性信号 和 随机信号 。
就像你知道下一秒会唱什么（确定），还是不知道（随机）？
🔍确定性信号：可预测的"完美音乐"🎵
如果一个信号在任意时刻的取值都可以精确计算出来 ，那就叫确定性信号。
课本中列出几种常见类型：
✅单位阶跃信号 U(t)U(t)U(t)
U(t)={1,t≥00,t<0(1.1.1) U(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \quad\text{(1.1.1)} U(t)={1,0,t≥0t<0(1.1.1)
✅ 初学者视角：
这就像是一个开关！
当时间 ttt 到达 0 时，"啪！"灯亮了，电压从 0 跳到 1。
它常用于描述系统启动或事件触发。💡
✅符号函数 sgn(t)\mathrm{sgn}(t)sgn(t)
sgn(t)={1,t≥0−1,t<0(1.1.2) \mathrm{sgn}(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ -1, & t < 0 \end{cases} \quad\text{(1.1.2)} sgn(t)={1,−1,t≥0t<0(1.1.2)
✅ 初学者视角：
就像你在判断正负数：大于零是"+"，小于零是"-"。
在信号处理中，它用来表示方向或极性。🧭
✅矩形脉冲信号 Pa(t)P_a(t)Pa(t)
Pa(t)={1,∣t∣<a0,∣t∣≥a(1.1.3) P_a(t) = \begin{cases} 1, & |t| < a \\ 0, & |t| \ge a \end{cases} \quad\text{(1.1.3)} Pa(t)={1,0,∣t∣<a∣t∣≥a(1.1.3)
✅ 初学者视角：
像是一个"短暂闪光"的灯，只在 −a-a−a 到 aaa 之间亮着，其余时间熄灭。
它常用于测试系统的响应速度。⚡
✅正弦波（或谐波）信号 s(t)s(t)s(t)
s(t)=Acos(ωct+θ0)(1.1.4) s(t) = A\cos(\omega_c t + \theta_0) \quad\text{(1.1.4)} s(t)=Acos(ωct+θ0)(1.1.4)
其中 θ0\theta_0θ0 是初相位。
✅ 初学者视角：
这是最经典的"周期性信号"，像海浪一样来回起伏。
无线电、声波、交流电都用这种信号建模。🌊
🎯随机信号：不可预测的"天气预报"🌧️🌤️
与确定性信号不同，随机信号 在每个时刻的取值是不确定的，只能用概率描述。
例如：
- 电台的背景噪声
- 人体心电图中的干扰
- 无线通信中的信道衰落
这类信号被称为随机过程。
📊随机信号的数学表示
设 x(t)x(t)x(t) 是一个随机信号，则对任何固定时刻 ttt，x(t)x(t)x(t) 是一个随机变量。
我们定义其均值函数为：
μ(t)=E{x(t)}=∫−∞∞xf(x,t) dx(1.1.8) \mu(t) = \mathbb{E}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t)\,\mathrm{d}x \quad\text{(1.1.8)} μ(t)=E{x(t)}=∫−∞∞xf(x,t)dx(1.1.8)
✅ 初学者视角：
这个公式是在说："我虽然不知道某时刻具体是多少，但我可以算出它的平均值。"
就像你每天测体温，虽然每天不一样，但长期来看有个平均值。🌡️
🔗自相关函数：信号"自己跟自己"的关系🔗
定义两个时刻 t1t_1t1 和 t2t_2t2 的自相关函数：
Rx(t1,t2)=E{x(t1)x∗(t2)}(1.1.9) R_x(t_1,t_2) = \mathbb{E}\{x(t_1)x^*(t_2)\} \quad\text{(1.1.9)} Rx(t1,t2)=E{x(t1)x∗(t2)}(1.1.9)
✅ 初学者视角：
这就像是问："今天气温和昨天气温有没有关系？"
如果有很强的相关性，说明天气变化缓慢；如果无关，说明波动剧烈。🌤️❄️
对于实信号，x∗(t2)=x(t2)x^*(t_2) = x(t_2)x∗(t2)=x(t2)，所以：
Rx(t1,t2)=Rx(t2,t1) R_x(t_1,t_2) = R_x(t_2,t_1) Rx(t1,t2)=Rx(t2,t1)
即自相关函数是对称的。
🧮协方差与统计性质
定义协方差函数：
Cx(t1,t2)=Rx(t1,t2)−μ(t1)μ(t2) C_x(t_1,t_2) = R_x(t_1,t_2) - \mu(t_1)\mu(t_2) Cx(t1,t2)=Rx(t1,t2)−μ(t1)μ(t2)
这表示去除均值后的"纯波动"部分。
🧩Schwartz 不等式：随机信号的"能量守恒"⚖️
考虑一个线性组合：
Y=∑k=1nαkx(tk) Y = \sum_{k=1}^n \alpha_k x(t_k) Y=k=1∑nαkx(tk)
则其期望平方为：
E{∣Y∣2}=∑i=1n∑k=1nαiαk∗Rx(ti,tk)≥0 \mathbb{E}\{|Y|^2\} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n \alpha_i \alpha_k^* R_x(t_i,t_k) \ge 0 E{∣Y∣2}=i=1∑nk=1∑nαiαk∗Rx(ti,tk)≥0
因此矩阵：
R=[Rx(t1,t1)Rx(t1,t2)⋯Rx(t1,tn)Rx(t2,t1)Rx(t2,t2)⋯Rx(t2,tn)⋮⋮⋱⋮Rx(tn,t1)Rx(tn,t2)⋯Rx(tn,tn)]≥0 \mathbf{R} = \begin{bmatrix} R_x(t_1,t_1) & R_x(t_1,t_2) & \cdots & R_x(t_1,t_n) \\ R_x(t_2,t_1) & R_x(t_2,t_2) & \cdots & R_x(t_2,t_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_x(t_n,t_1) & R_x(t_n,t_2) & \cdots & R_x(t_n,t_n) \end{bmatrix} \ge 0 R= Rx(t1,t1)Rx(t2,t1)⋮Rx(tn,t1)Rx(t1,t2)Rx(t2,t2)⋮Rx(tn,t2)⋯⋯⋱⋯Rx(t1,tn)Rx(t2,tn)⋮Rx(tn,tn) ≥0
这个矩阵称为协方差矩阵 ，它是半正定的（所有特征值非负）。
✅ 初学者视角：
这就像你在做拼图，每一块都要能放进去才成立。
半正定意味着"能量不能为负"，符合物理现实。🧩
当 n=2n=2n=2 时，得到著名的 Schwartz 不等式：
∣Rx(t1,t2)∣2≤Rx(t1,t1)Rx(t2,t2)(1.1.12) |R_x(t_1,t_2)|^2 \le R_x(t_1,t_1) R_x(t_2,t_2) \quad\text{(1.1.12)} ∣Rx(t1,t2)∣2≤Rx(t1,t1)Rx(t2,t2)(1.1.12)
✅ 初学者视角：
这就像说："两个人之间的相似度不可能超过他们各自的'强度'乘积。"
比如你和朋友的关系再好，也不能超过你们各自的能力上限。🤝
🚀平稳性：信号是否"稳定"？📈📉
✅广义平稳信号（Wide-Sense Stationary, WSS）
定义：若随机信号满足以下条件，则称为广义平稳信号：
- 均值为常数：μ(t)=μ\mu(t) = \muμ(t)=μ
- 自相关函数只依赖于时间差：Rx(t1,t2)=Rx(τ)R_x(t_1,t_2) = R_x(\tau)Rx(t1,t2)=Rx(τ)，其中 τ=t1−t2\tau = t_1 - t_2τ=t1−t2
✅ 初学者视角：
广义平稳意味着"信号的整体行为不随时间改变"。
比如白噪声，虽然每秒都在变，但平均值和波动程度一直不变。🌀
✅严格平稳信号（Strict-Sense Stationary, SSS）
更强的条件：所有高阶统计量都不随时间变化。
例如，三阶矩：
E{x(t1)x(t2)x(t3)}=E{x(t1+τ)x(t2+τ)x(t3+τ)} \mathbb{E}\{x(t_1)x(t_2)x(t_3)\} = \mathbb{E}\{x(t_1+\tau)x(t_2+\tau)x(t_3+\tau)\} E{x(t1)x(t2)x(t3)}=E{x(t1+τ)x(t2+τ)x(t3+τ)}
✅ 初学者视角：
严格平稳就像"宇宙定律"：无论何时观测，结果都一样。
但现实中很少见，大多数系统只满足广义平稳。🌌
✅各态历经性（Ergodicity）：单次实验就能代表整体📊
有些信号具有"各态历经性"：可以从一条样本路径估计所有统计量。
例如：
μ=limT→∞12T∫−TTx(t) dt \mu = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t)\,\mathrm{d}t μ=T→∞lim2T1∫−TTx(t)dt
✅ 初学者视角：
就像你只看一个人的一生，就能推断出整个人群的寿命分布。
这在实际测量中非常重要，因为不可能重复实验无数次。👨🔬
🧪三道练习题：巩固知识！
📘题目1：判断下列信号属于哪种类型
信号 x(t)=3sin(2πt+π/4)x(t) = 3\sin(2\pi t + \pi/4)x(t)=3sin(2πt+π/4) 是否为确定性信号？是否为随机信号？
✅答案：
是确定性信号，不是随机信号。
📝讲解：
该信号由明确的数学表达式给出，任意时刻均可计算，故为确定性信号。
📘题目2：已知某信号均值为 0，自相关函数为 Rx(τ)=e−∣τ∣R_x(\tau) = e^{-|\tau|}Rx(τ)=e−∣τ∣，判断是否为广义平稳信号？
✅答案：
是
📝讲解：
均值为常数（0），自相关函数仅依赖于 τ\tauτ，满足广义平稳定义。
📘题目3：某随机信号 x(t)x(t)x(t) 的自相关函数为 Rx(t1,t2)=e−(t1−t2)2R_x(t_1,t_2) = e^{-(t_1-t_2)^2}Rx(t1,t2)=e−(t1−t2)2，求 Rx(0,1)R_x(0,1)Rx(0,1)
✅答案：
e−1e^{-1}e−1
📝讲解：
代入 t1=0t_1 = 0t1=0, t2=1t_2 = 1t2=1，得 Rx(0,1)=e−(0−1)2=e−1R_x(0,1) = e^{-(0-1)^2} = e^{-1}Rx(0,1)=e−(0−1)2=e−1
🧩总结表格：信号分类关键知识点📋📊
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 确定性信号 | 取值可精确预测 |
| 随机信号 | 取值不确定，用概率描述 |
| 单位阶跃 | 开关行为，t=0t=0t=0 时跳变 |
| 符号函数 | 表示正负极性 |
| 矩形脉冲 | 短暂存在，用于测试 |
| 正弦波 | 周期性振荡，广泛使用 |
| 均值函数 | 随机信号的平均值 |
| 自相关函数 | 信号在不同时刻的关联程度 |
| 广义平稳 | 均值和自相关不随时间变化 |
| 各态历经 | 单条样本可代表整体统计特性 |
🧠 记住一句话：**信号是信息的载体，而分类决定了我们如何分析它！**✨