用填充表格法吃透01背包及其变形-2

2.3 步骤3：dp数组如何初始化

初始化逻辑与二维一致：容量为0时，最大价值为0，因此dp[0] = 0；其他容量的初始值也为0（因为初始无物品可放，最大价值为0），即dp = new Array(capacity + 1).fill(0)。

初始化后的单行表格：0,0,0,0,0,0,0,0,0（j从0到8）

2.4 步骤4：确定遍历顺序（表格填充顺序）

一维DP的遍历顺序有严格要求，核心是「倒序遍历容量」，对应单行表格的「从右往左填充」------明确单行表格的填充顺序是避免重复选择物品的关键：

1. 必须先遍历物品，再遍历容量：逐个处理每个物品，每次处理时更新整个单行表格（覆盖上一行结果）；

2. 容量必须倒序遍历（j从C到weightsi-1） ：从最大容量往小容量填充，确保计算dp[j]时，dp[j - weights[i-1]]仍是上一行（未处理当前物品）的旧值，避免同一物品被多次选择。

关键原因：一维DP的核心是用单行表格复用二维表格的空间，表格中每个位置的数值都依赖"上一轮未更新的旧值"（对应二维的dp[i-1][j - w[i]]）。若正序遍历容量，dp[j - w[i]]会被提前更新（相当于二维的dp[i][j - w[i]]），导致同一个物品被多次选择（变成完全背包）；倒序遍历能保证计算dp[j]时，dp[j - w[i]]仍是上一行（未选当前物品）的结果，对应单行表格从右往左填充，完美契合01背包「每个物品选一次」的规则。

反例（正序遍历容量）：若j从weightsi-1到C正序遍历，处理物品1（w=2,v=3）时，j=2会更新dp2=3，j=4时会用到dp2的新值（3），计算dp4 = dp4 + 3 = 3，相当于把物品1放入了两次，违背01背包规则。

2.5 步骤5：打印dp数组（验证）

通过打印单行表格的滚动更新过程，验证填充规则的正确性。仍用测试用例 weights = [2,3,4,5]、values = [3,4,5,6]、capacity = 8，演示一维DP数组（单行表格）的填充变化：

1. 初始状态：dp = 0,0,0,0,0,0,0,0,0

2. 处理物品1（w=2,v=3），j从8到2倒序：

   更新后：dp = 0,0,3,3,3,3,3,3,3

   • j=8：dp8 = max(0, dp8-2+3) = max(0,0+3)=3；

   • j=7：dp7 = max(0, dp5+3)=3；

   • ...（j=2到6同理）；

   • j=2：dp2 = max(0, dp0+3)=3；

3. 处理物品2（w=3,v=4），j从8到3倒序：

   更新后：dp = 0,0,3,4,4,7,7,7,7

   • j=8：max(3, dp5+4)=max(3,3+4)=7；

   • j=7：max(3, dp4+4)=max(3,3+4)=7；

   • j=6：max(3, dp3+4)=max(3,3+4)=7；

   • j=5：max(3, dp2+4)=max(3,3+4)=7；

   • j=4：max(3, dp1+4)=max(3,0+4)=4；

   • j=3：max(3, dp0+4)=max(3,0+4)=4；

4. 处理物品3（w=4,v=5），j从8到4倒序：

   更新后：dp = 0,0,3,4,5,5,8,9,9

   • j=8：max(7, dp4+5)=max(7,4+5)=9；

   • j=7：max(7, dp3+5)=max(7,4+5)=9；

   • j=6：max(7, dp2+5)=max(7,3+5)=8；

   • j=5：max(7, dp1+5)=max(7,0+5)=7；

   • j=4：max(4, dp0+5)=max(4,0+5)=5；

5. 处理物品4（w=5,v=6），j从8到5倒序：

   更新后：dp = 0,0,3,4,5,6,8,9,10

   • j=8：max(9, dp3+6)=max(9,4+6)=10；

   • j=7：max(9, dp2+6)=max(9,3+6)=9；

   • j=6：max(8, dp1+6)=max(8,0+6)=8；

   • j=5：max(5, dp0+6)=max(5,0+6)=6；

最终单行表格dp[8] = 10，与二维DP结果一致，验证了优化的正确性。

2.6 一维DP空间优化完整代码（JavaScript）

/**
 * 基础01背包（一维DP空间优化解法）
 * @param {number[]} weights - 物品重量数组
 * @param {number[]} values - 物品价值数组
 * @param {number} capacity - 背包最大容量
 * @returns {number} - 背包能容纳的最大价值
 */
function knapsack_1d(weights, values, capacity) {
  const n = weights.length;
  // 1. 初始化一维dp数组：dp[j]表示容量j的背包的最大价值，初始值0
  const dp = new Array(capacity + 1).fill(0);

  // 2. 遍历顺序：先遍历物品（i从0到n-1），再倒序遍历容量（j从capacity到weights[i]）（从右往左填充）
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    // 倒序遍历避免重复选择当前物品
    for (let j = capacity; j >= weights[i]; j--) {
      // 3. 递推公式：不选当前物品的最大价值 vs 选当前物品的最大价值
      dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
    }
    // 打印每次处理物品后的dp数组（单行表格更新过程）
    console.log(`处理完物品${i + 1}后，dp数组：`, [...dp]);
  }

  // 最终答案：容量为capacity的背包的最大价值
  return dp[capacity];
}

// 测试用例
const weights1 = [2, 3, 4, 5];
const values1 = [3, 4, 5, 6];
const capacity1 = 8;
console.log('最大价值：', knapsack_1d(weights1, values1, capacity1)); // 输出：10