系统性学习C++-第十六讲-AVL树实现

[1. AVL的概念](#1. AVL的概念)
[2. AVL 树的实现](#2. AVL 树的实现)
- [2.1 AVL 树的结构](#2.1 AVL 树的结构)
- [2.2 AVL 树的插入](#2.2 AVL 树的插入)
- - [2.2.1 AVL 树插入一个值的大概过程](#2.2.1 AVL 树插入一个值的大概过程)
  - [2.2.2 平衡因子更新](#2.2.2 平衡因子更新)
  - [2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现](#2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现)
- [2.3 旋转](#2.3 旋转)
- - [2.3.1 旋转的原则](#2.3.1 旋转的原则)
  - [2.3.2 右单旋](#2.3.2 右单旋)
  - [2.3.3 右单旋代码实现](#2.3.3 右单旋代码实现)
  - [2.3.4 左单旋](#2.3.4 左单旋)
  - [2.3.5 左单旋代码实现](#2.3.5 左单旋代码实现)
  - [2.3.6 左右双旋](#2.3.6 左右双旋)
  - [2.3.7 左右双旋代码实现](#2.3.7 左右双旋代码实现)
  - [2.3.8 右左双旋](#2.3.8 右左双旋)
  - [2.3.9 右左双旋代码实现](#2.3.9 右左双旋代码实现)
- [2.4 AVL树的查找](#2.4 AVL树的查找)
- [2.5 AVL树平衡检测](#2.5 AVL树平衡检测)
- [2.6 AVL 树的删除](#2.6 AVL 树的删除)

1. AVL的概念

AVL 树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL 是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的左右子树都是 AVL 树，且左右子树的高度差的绝对值不超过 1 。AVL 树是⼀颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。
AVL 树得名于它的发明者 G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis 是两个前苏联的科学家，他们在 1962 年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
AVL 树实现这里我们引入⼀个平衡因子 (balance factor) 的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于 0 / 1 / -1 ，AVL 树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标⼀样。
思考一下为什么 AVL 树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过 1 ，而不是高度差是 0 呢？0 不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到高度差是 0 的。比如一棵树是 2 个结点，4 个结点等情况下，高度差最好就是 1 ，⽆法做到高度差是 0 。
AVL 树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

2. AVL 树的实现

2.1 AVL 树的结构

cpp 复制代码

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
 	// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 
 	pair<K, V> _kv;
 	AVLTreeNode<K, V>* _left;
 	AVLTreeNode<K, V>* _right;
 	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
 	int _bf; // balance factor
 	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
 	:_kv(kv)
 	, _left(nullptr)
 	, _right(nullptr)
 	, _parent(nullptr)
 	,_bf(0)
 	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
 	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
 	//...
private:
 	Node* _root = nullptr;
};

2.2 AVL 树的插入

2.2.1 AVL 树插入一个值的大概过程

插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点 -> 根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则：

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
插入结点，会增加高度，所以新增结点在 parent 的右子树，parent 的平衡因子 ++ ，新增结点在 parent 的左⼦树， parent 平衡因子--
parent 所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

更新后 parent 的平衡因子等于 0 ，更新中 parent 的平衡因子变化为 -1 -> 0 或者 1 -> 0 ，说明更新前 parent 子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后 parent 所在的子树高度不变，不会影响 parent 的父亲结点的平衡因子，更新结束。
更新后 parent 的平衡因子等于 1 或 -1 ，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为 0 -> 1 或者 0->-1 ，说明更新前 parent 子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent 所在的子树⼀边高⼀边低，parent 所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了 1 ，会影响parent 的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
更新后 parent 的平衡因子等于 2 或 -2 ，更新前更新中 parent 的平衡因子变化为 1 -> 2 或者 -1 -> -2 ，说明更新前 parent 子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent 所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent 所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：
- 1. 把 parent 子树旋转平衡。
- 1. 降低 parent 子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。
不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是 1 或 -1 也停止了。

示例一：更新到 10 结点，平衡因子为 2 ，10 所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

示例二：更新到中间结点，3 为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束

示例三：最坏更新到根停止

2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现

cpp 复制代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
 	if (_root == nullptr)
 	{
 		_root = new Node(kv);
 		return true;
 	}
 	Node* parent = nullptr;
 	Node* cur = _root;
 	while (cur)
 	{
 		if (cur->_kv.first < kv.first)
 		{
 			parent = cur;
 			cur = cur->_right;
 		}
 		else if (cur->_kv.first > kv.first)
 		{
 			parent = cur;
 			cur = cur->_left;
 		}
 		else
 		{
 			return false;
 		}
 	}	
	cur = new Node(kv);
 	if (parent->_kv.first < kv.first)
 	{
 		parent->_right = cur;
 	}
 	else
 	{
 		parent->_left = cur;
 	}
 	cur->_parent = parent;
 	// 更新平衡因⼦ 
 	while (parent)
 	{
 		// 更新平衡因⼦ 
 		if (cur == parent->_left)
 			parent->_bf--;
 		else
 			parent->_bf++;
 		if (parent->_bf == 0)
 		{
 			// 更新结束 
 			break;
 		}
 		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
 		{
 			// 继续往上更新 
 			cur = parent;
 			parent = parent->_parent;
 		}
 		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
 		{
 			// 不平衡了，旋转处理 
 			break;
 		}
 		else
 		{
 			assert(false);
 		}
 	}
 	return true;
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度

旋转总共分为四种，左单旋 / 右单旋 / 左右双旋 / 右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如 10 和 5 等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什么值都可以，

只要大小关系符合搜索树的性质即可。

2.3.2 右单旋

本图1 战术的是 10 为根的树，有 a / b / c 抽象为三棵高度为 h 的子树 (h >= 0) ，a / b / c 均符合 AVL 树的要求。10 可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里 a / b / c 是高度为 h 的子树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2 / 图3 / 图4 / 图5 进行了详细描述。
在 a 子树中插入⼀个新结点，导致 a 子树的高度从 h 变成 h + 1 ，不断向上更新平衡因子，导致 10 的平衡因子从 -1 变成 -2 ，10 为根的树左右高度差超过 1 ，违反平衡规则。10 为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为 5 < b子树的值 < 10，将 b 变成 10 的左子树，10 变成 5 的右子树，5 变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h + 2 ，符合旋转原则。如果插入之前 10 整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

图1：

图2：
图3：

图4：

图5：

2.3.3 右单旋代码实现

cpp 复制代码

void RotateR(Node* parent)
{
 	Node* subL = parent->_left;
 	Node* subLR = subL->_right;
 	// 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲 
 	parent->_left = subLR;
 	if (subLR)
 		subLR->_parent = parent;
 	
 	Node* parentParent = parent->_parent;
 	subL->_right = parent;
 	parent->_parent = subL;
 
 	// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的⼦树 
 	// 如果是整棵树的根，要修改_root 
 	// 如果是局部的指针要跟上⼀层链接 
 	if (parentParent == nullptr)
 	{
 		_root = subL;
 		subL->_parent = nullptr;
 	}
 	else
 	{
 		if (parent == parentParent->_left)
 		{
 			parentParent->_left = subL;
 		}
 		else
 		{
 			parentParent->_right = subL;
 		}
 		subL->_parent = parentParent;
 	}
 	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2.3.4 左单旋

本图6 展示的是 10 为根的树，有 a / b / c 抽象为三棵高度为 h 的子树 ( h >= 0 ) ，a / b / c 均符合 AVL 树的要求。10 可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里 a / b / c 是高度为 h 的子树，是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。
在 a 子树中插入一个新结点，导致 a 子树的高度从 h 变成 h+1 ，不断向上更新平衡因子，导致 10 的平衡因子从 1 变成 2 ，10 为根的树左右高度差超过 1 ，违反平衡规则。10 为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为 10 < b 子树的值 < 15，将 b 变成 10 的右子树，10 变成 15 的左子树，15 变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的 h + 2 ，符合旋转原则。如果插入之前 10 整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

图6：

2.3.5 左单旋代码实现

cpp 复制代码

void RotateL(Node* parent)
{
 	Node* subR = parent->_right;
 	Node* subRL = subR->_left;
 	parent->_right = subRL;
 	if(subRL)
 		subRL->_parent = parent;
 
 	Node* parentParent = parent->_parent;
 	subR->_left = parent;
 	parent->_parent = subR;
 
 	if (parentParent == nullptr)
 	{
 		_root = subR;
 		subR->_parent = nullptr;
 	}
 	else
 	{
 		if (parent == parentParent->_left)
 		{
 			parentParent->_left = subR;
 		}
 		else
 		{
 			parentParent->_right = subR;
 		}
 		subR->_parent = parentParent;
 	}
 	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.3.6 左右双旋

通过图7 和图8 可以看到，左边高时，如果插入位置不是在 a 子树，而是插入在 b 子树，b 子树高度从 h 变成 h+1 ，引发旋转，

右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在 b 子树中，

10 为根的子树不再是单纯的左边高，对于 10 是左边高，但是对于 5 是右边高，需要用两次旋转才能解决，以 5 为旋转点进行⼀个左单旋，

以 10 为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

图7：

图8：

图7 和图8 分别为左右双旋中 h==0 和 h==1 具体场景分析，下⾯我们将 a / b / c 子树抽象为高度 h 的 AVL 子树进行分析，另外我们需要把 b 子树的细节进一步展开为 8 和左子树高度为 h - 1 的 e 和 f 子树，因为我们要对 b 的⽗亲 5 为旋转点进行左单旋，左单旋需要动 b 树中的左子树。b ⼦树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察 8 的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
场景 1 ：h >= 1 时，新增结点插入在e 子树，e子树高度从 h-1 并为 h 并不断更新 8 -> 5 -> 10 平衡因子，引发旋转，其中 8 的平衡因子为 -1 ，旋转后 8 和 5 平衡因子为 0 ，10 平衡因子为 1 。
场景2：h >= 1 时，新增结点插入在 f 子树，f 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 8 -> 5 -> 10 平衡因子，引发旋转，其中 8 的平衡因子为 1 ，旋转后 8 和 10 平衡因⼦为 0 ，5 平衡因子为 -1 。
场景3：h == 0 时，a / b / c 都是空树，b 自己就是⼀个新增结点，不断更新 5 -> 10 平衡因子，引发旋转，其中 8 的平衡因子为 0 ，旋转后 8 和 10 和 5 平衡因子均为 0 。

2.3.7 左右双旋代码实现

cpp 复制代码

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;
	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if(bf == 1)
	{
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.3.8 右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将 a / b / c 子树抽象为高度 h 的 AVL 子树进行分析，另外我们需要把 b 子树的细节进⼀步展开为 12 和左⼦树高度为 h-1 的 e 和 f 子树，因为我们要对 b 的父亲 15 为旋转点进行右单旋，右单旋需要动 b 树中的右子树。b 子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察 12 的平衡因子不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
场景1：h >= 1 时，新增结点插入在 e 子树，e 子树⾼度从 h-1 变为 h 并不断更新 12 -> 15 -> 10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 -1 ，旋转后 10 和 12 平衡因⼦为 0 ，15 平衡因子为 1 。
场景2：h >= 1 时，新增结点插入在 f 子树，f 子树高度从 h-1 变为 h 并不断更新 12 -> 15 -> 10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因子为 1 ，旋转后 15 和 12 平衡因⼦为 0 ，10 平衡因子为 -1
场景3：h == 0 时，a / b / c 都是空树，b 自己就是⼀个新增结点，不断更新 15 -> 10 平衡因子，引发旋转，其中 12 的平衡因⼦为 0 ，旋转后 10 和 12 和 15 平衡因子均为 0 。

2.3.9 右左双旋代码实现

cpp 复制代码

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.4 AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

cpp 复制代码

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

2.5 AVL树平衡检测

我们实现的 AVL 树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查一下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

cpp 复制代码

int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == root)
		return true;
	// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者
	// pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树
	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;
		return false;
	}
	if (root->_bf != diff)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;
		return false;
	}
	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

// 测试代码
void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;
	// 常规的测试⽤例
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}

// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等
void TestAVLTree2()
{
	const int N = 100000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand()+i);
	}
	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;
	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	/*for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}*/
	// 随机值
	
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}

2.6 AVL 树的删除

AVL 树的删除本章节不做讲解，有兴趣的同学可参考：《殷⼈昆数据结构：⽤⾯向对象⽅法与C++语⾔描述》中讲解。