光学笔记：景深（Depth of Field）与焦深（Depth of Focus）

在光学设计和摄影领域，有两个概念经常被混淆：景深 (Depth of Field, DOF) 和 焦深 (Depth of Focus)。

很多人以为它们是一回事，其实它们分别位于透镜的两端：

景深：管的是物方 (Object Space)，决定了你能把多厚的物体拍清楚。
焦深：管的是像方 (Image Space)，决定了你的探测器（CCD/CMOS）安装误差能有多大。

今天我们就从几何光学和波动光学两个层面，硬核推导它们的计算公式及内在联系。

01. 几何示意图：一切的起点

首先，必须建立几何直观。

光学系统不是理想的点对点成像，光斑总是有大小的。当光斑直径小于某个允许值（比如相机的像素尺寸，或人眼的容许弥散圆）时，我们就认为它是"清晰"的。

左边（物方） ：物体前后移动一段距离 ΔL\Delta LΔL，像面上的光斑依然足够小，这段 ΔL\Delta LΔL 就是景深。
右边（像方） ：探测器前后移动一段距离 Δz′\Delta z'Δz′，接收到的光斑依然足够小，这段 Δz′\Delta z'Δz′ 就是焦深。

02. 景深 (Depth of Field, DOF) ------ 摄影师的战场

景深主要取决于三个要素：光圈 (F/#F/\#F/#)、焦距 (fff)、拍摄距离 (LLL)。

几何推导 (Geometric Derivation)

基于相似三角形，我们可以推导出前景深和后景深。这里直接给出最常用的工程近似公式（适用于中远距离拍摄）：

DOF≈2⋅N⋅δ⋅L2f2 DOF \approx \frac{2 \cdot N \cdot \delta \cdot L^2}{f^2} DOF≈f22⋅N⋅δ⋅L2

NNN：光圈值 (FFF-number, 如 2.8, 8.0)。
δ\deltaδ：容许弥散圆直径 (Circle of Confusion, CoC)。通常全画幅相机取 0.03mm。
LLL：对焦距离。
fff：镜头焦距。

深入分析

光圈越小 (NNN 越大) →\rightarrow→ 景深越大。（F16 拍风景，F1.8 拍人像虚化）
焦距越短 (广角) →\rightarrow→ 景深越大。（这就是为什么手机很难拍出光学虚化，因为 fff 太短了）
距离越远 →\rightarrow→ 景深越大。

03. 焦深 (Depth of Focus) ------ 光学工程师的战场

焦深对 Zemax 设计师和光刻机工程师至关重要。它决定了系统的装调公差 。

焦深的定义主要有两种标准：几何标准和物理标准。

1. 几何焦深 (Geometric Depth of Focus)

受限于探测器像素大小（Pixel Size）。假设像素大小为 ppp，光圈数为 F/#F/\#F/# (即 NNN)。

Δzgeo′≈2⋅N⋅p \Delta z'_{geo} \approx 2 \cdot N \cdot p Δzgeo′≈2⋅N⋅p

含义：如果你的光圈是 F/4，像素是 3um，那么你的对焦误差不能超过 2×4×3μm=24μm2 \times 4 \times 3\mu m = 24\mu m2×4×3μm=24μm。

2. 物理焦深 (Diffraction Limited Depth of Focus)

当光学系统接近衍射极限（如光刻机、高倍显微镜）时，必须用瑞利判据 (Rayleigh Criterion) 计算。

这里引入数值孔径 NA=nsin⁡θNA = n \sin\thetaNA=nsinθ。

Δzdiff′=±λ2⋅(NA)2 \Delta z'_{diff} = \pm \frac{\lambda}{2 \cdot (NA)^2} Δzdiff′=±2⋅(NA)2λ

λ\lambdaλ：工作波长。
NANANA：像方数值孔径。

深入分析：光刻机的噩梦

在浸没式光刻中，为了追求极致的分辨率，NA 越做越大（接近 1.35）。

由公式可知，焦深与 NA 的平方成反比。

这意味着：分辨率提高一倍，焦深会缩水四倍！
结果：晶圆表面的平整度要求必须极高，稍微有一点起伏，电路就刻糊了。

04. 终极关联：纵向放大率的秘密

景深（物）和焦深（像）是孤立的吗？当然不是。

它们通过纵向放大率 (Longitudinal Magnification, α\alphaα) 联系在一起。

我们知道垂轴放大率 （倍率）是 M=y′/yM = y'/yM=y′/y。

而纵向放大率（轴向移动量的比值）是：

α=dz′dz≈M2 \alpha = \frac{dz'}{dz} \approx M^2 α=dzdz′≈M2

这个公式揭示了光学设计的深刻直觉：

场景 A：显微镜 (M≫1M \gg 1M≫1)

假设 M=100M = 100M=100 (100倍物镜)。
M2=10000M^2 = 10000M2=10000。
结论：像方（焦深）是物方（景深）的 10000 倍！
现象：你看显微镜时，稍微转动微调旋钮（物方移动微米级），图像就模糊了（景深极浅）；但你的眼睛或者相机稍微前后挪动几厘米（像方移动），图像依然清晰（焦深很大）。

场景 B：航拍/安防相机 (M≪1M \ll 1M≪1)

假设 M=1/1000M = 1/1000M=1/1000 (拍远处的车)。
M2=1/1000000M^2 = 1/1000000M2=1/1000000。
结论：像方（焦深）是物方（景深）的百万分之一！
现象：外面的车前后开几十米你都觉得清楚（景深极大）；但相机模组里的传感器如果装歪了 10 微米，画面就糊了（焦深极浅）。

05. 总结

在 Zemax 优化时，我们关注的是 Through Focus MTF 曲线，这本质上就是在检查焦深。

景深 (DOF) ：是给用户用的。如果你做安防镜头，你要保证景深够大，让用户看清远近的目标。
焦深 (Focus Depth) ：是给工厂用的。它决定了你的镜头和传感器在组装时的精度要求 (Tolerance)。

记住那个魔法公式：焦深 ≈\approx≈ 景深 ×M2\times M^2×M2 。

理解了它，你就打通了物象空间的任督二脉。

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