hh的蓝桥杯每日一题--前缀和

2301_800895102026-01-11 15:17

我一开始用暴力的方式做，果不其然超时了；

观察这个条件：

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(S[j] - S[i-1]) % k == 0

根据模运算的性质：

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如果 (a - b) % k == 0
那么 a % k == b % k

所以

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(S[j] - S[i-1]) % k == 0
⇔ S[j] % k == S[i-1] % k

这就是最重要的转化！我们把「区间和能被K整除」转化成了「两个前缀和模K同余」。

现在问题变成：

有多少对 (i-1, j) 满足 0 ≤ i-1 < j ≤ n 且 S[i-1] % k == S[j] % k

这等价于：

统计每个余数出现了多少次，然后从同余数中任选2个

也就是说，设余数 r 出现了 cnt[r] 次，那么贡献是：C(cnt[r], 2) = cnt[r] × (cnt[r] - 1) / 2

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
int n,k;
ll s[N];
ll cnt[N];

int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		s[i]=s[i-1]+x;
	}
	cnt[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cnt[(s[i]%k+k)%k]++;
	}
	
	ll res=0;
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		res+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
	}
	cout<<res<<endl;
	return 0; 
}