在计算机网络中，数据链路层的主要任务是将网络层交下来的数据报封装成帧，并在两个相邻节点间的链路上进行传输。然而，物理层的传输介质（如铜线、光纤、无线电波）并非理想信道，在传输过程中必然会受到热噪声、脉冲噪声等各种干扰的影响。这些干扰可能导致信号波形发生畸变，从而使接收方判定出的比特流与发送方发送的比特流不一致，例如将 000 误判为 111 或将 111 误判为 000。
这种比特位的改变称为比特差错 。为了保证数据传输的可靠性，数据链路层必须采取措施来检测甚至纠正这些差错，这就是差错控制。
3.4.1 差错控制的基本原理
差错控制的核心思想是冗余（Redundancy） 。发送方在发送数据 DDD 之余，根据某种算法计算出一定的冗余信息 RRR（称为帧检验序列或校验码），并将 DDD 与 RRR 一并发送。接收方收到数据后，利用相同的算法对数据进行检验。
如果我们将所有可能的合法码字集合看作空间中的点，那么差错控制能力的量化指标就是海明距离（Hamming Distance）。
海明距离
两个等长码字之间，对应位不同的位数称为这两个码字的海明距离。例如，码字 101011010110101 和 100111001110011 的海明距离为 222（第3位和第4位不同）。
在一个有效的编码集中，任意两个合法码字之间的最小海明距离 dmind_{min}dmin 决定了该编码系统的检测和纠错能力：
- 检错能力 ：若要检测出 ddd 个比特的错误，则编码集的最小海明距离必须满足 dmin≥d+1d_{min} \ge d + 1dmin≥d+1。
- 纠错能力 ：若要纠正 ttt 个比特的错误，则编码集的最小海明距离必须满足 dmin≥2t+1d_{min} \ge 2t + 1dmin≥2t+1。
图 3-14 海明距离几何示意图
3.4.2 检错编码 (Error Detection Coding)
检错编码不仅要能够发现错误，而且其计算过程应尽量简单，以减少处理时延。常用的检错编码包括奇偶校验码和循环冗余检验（CRC）。
1. 奇偶校验 (Parity Check)
这是最简单的一种检错方法。它在数据末尾附加一位校验位，使得整个码字（数据位+校验位）中 111 的个数为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。
假设传输的数据为 ASCII 字符 A (010000010100000101000001)：
- 奇校验 ：原有 111 的个数为 2（偶数），校验位取 111，发送 01000001101000001\mathbf{1}010000011。
- 偶校验 ：原有 111 的个数为 2（偶数），校验位取 000，发送 01000001001000001\mathbf{0}010000010。
局限性 ：奇偶校验只能检测出奇数个比特的错误。如果传输中同时有 2 个比特发生翻转（例如 0→10 \to 10→1 且 1→01 \to 01→0），校验结果依然"正确"，导致漏检。因此，它通常仅用于低速或对可靠性要求不高的环境。
2. 循环冗余检验 (Cyclic Redundancy Check, CRC)
CRC 是目前数据链路层应用最广泛的检错技术，广泛应用于以太网、Wi-Fi 等协议中。它利用了多项式除法的数学原理。
基本原理：
- 多项式表示 ：将一个 kkk 位的比特串看作一个 k−1k-1k−1 阶的多项式。例如 110111011101 对应多项式 M(x)=1⋅x3+1⋅x2+0⋅x1+1⋅x0=x3+x2+1M(x) = 1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = x^3 + x^2 + 1M(x)=1⋅x3+1⋅x2+0⋅x1+1⋅x0=x3+x2+1。
- 生成多项式 G(x)G(x)G(x) ：收发双方预先约定一个 rrr 阶的生成多项式 G(x)G(x)G(x)（其最高位和最低位必须为 1）。
- 计算过程 ：
- 设待发送数据为 MMM，共 kkk 位。
- 在 MMM 后面添加 rrr 个 000，得到 2rM2^r M2rM。
- 使用模2除法 （即异或运算，不借位减法），计算 2rM2^r M2rM 除以 G(x)G(x)G(x) 的余数。
- 得到的 rrr 位余数即为帧检验序列 (FCS)。
- 最终发送的数据为：MMM 级联 FCSFCSFCS。
模2运算规则 ：
0⊕0=0,1⊕1=0,0⊕1=1,1⊕0=1 0 \oplus 0 = 0, \quad 1 \oplus 1 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1 0⊕0=0,1⊕1=0,0⊕1=1,1⊕0=1
示例 ：
假设待发送数据 M=101001M = 101001M=101001，约定生成多项式 G(x)=1101G(x) = 1101G(x)=1101（即阶数 r=3r=3r=3）。
- 补零 ：MMM 后补 3 个 0，被除数为 101001000101001000101001000。
- 除法运算：
图 3-15 CRC模2除法运算过程
- 结果 ：余数为 001001001。最终发送数据为 101001001101001\mathbf{001}101001001。
接收方收到数据后，用同样的生成多项式 G(x)G(x)G(x) 进行模2除法。若余数为 000，则认为传输无差错；否则丢弃该帧。
CRC的优势 ：CRC 能够检测出所有的单比特错误、双比特错误、奇数个错误以及长度小于等于 rrr 的突发错误（Burst Error）。由于其易于通过硬件（移位寄存器）实现，处理速度极快。
3.4.3 纠错编码 (Error Correction Coding)
在某些信道质量极差（如无线链路）或传输延迟极高（如卫星通信）的场景下，发现错误后要求对方重传的代价太大。此时，需要使用前向纠错（Forward Error Correction, FEC），即不仅能发现错误，还能定位并纠正错误。
海明码 (Hamming Code)
海明码是最著名的纠错码之一，能够纠正一位比特错误。
校验位的位置与数量 ：
设数据位为 mmm 位，校验位为 rrr 位，总长度 n=m+rn = m + rn=m+r。为了能指示出 nnn 位中哪一位出错（或者无错），校验位的状态数 2r2^r2r 必须覆盖所有可能情况：
2r≥m+r+1 2^r \ge m + r + 1 2r≥m+r+1
校验位通常放置在 222 的幂次位置（第 1, 2, 4, 8... 位）。
编码规则 ：
每个校验位 PiP_iPi 负责校验部分数据位。其规则是：若某数据位的二进制位置索引中，第 iii 位为 1，则该数据位由 PiP_iPi 负责。
例如，对于 8 位数据（实际上常用的是 4 数据位 + 3 校验位的海明(7,4)码）：
- P1P_1P1 (第1位, 0012001_20012) 负责位置：1, 3, 5, 7, 9...
- P2P_2P2 (第2位, 0102010_20102) 负责位置：2, 3, 6, 7, 10...
- P4P_4P4 (第4位, 1002100_21002) 负责位置：4, 5, 6, 7, 12...
发送方计算各校验位的值（通常采用偶校验）。接收方重新计算这些校验关系，得到 rrr 位的指错字（Syndrome）。若指错字为 000000000，则无错；若为 011011011（十进制 3），则说明第 3 位发生了错误，将其取反即可纠正。
3.4.4 应用场景与发展
在实际的计算机网络中，差错控制策略的选择取决于链路特性。
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有线网络（如光纤、双绞线）：
- 特点 ：误码率极低（通常低于 10−910^{-9}10−9）。
- 策略 ：主要采用检错编码（CRC）配合反馈重传（ARQ）。如果发现错误，直接丢弃帧，依靠上层（如 TCP）或数据链路层的确认机制要求重传。因为出错概率极低，纠错带来的额外冗余开销是不划算的。
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无线网络（如 Wi-Fi, 5G, 卫星通信）：
- 特点：干扰大，信号衰减快，误码率高。
- 策略 ：必须采用纠错编码（FEC）。
- 现代发展 ：现代无线通信早已超越了简单的海明码，广泛采用了更高效的编码技术：
- Turbo 码：用于 3G/4G 通信，性能逼近香农极限。
- LDPC 码 (低密度奇偶校验码)：Wi-Fi 6 和 5G 数据信道的标准编码，具有极高的并行解码效率和纠错能力。
- Polar 码 (极化码)：华为推崇的技术，被用于 5G 控制信道，是目前唯一理论上证明可以达到香农极限的编码方案。
本节小结
- 差错性质：差错控制分为检错和纠错。
- 核心指标：海明距离决定了编码系统的检错和纠错能力。
- 主流技术：CRC 是检错的工业标准，广泛用于以太网；海明码是纠错的基础；LDPC 等现代编码支撑了高速无线通信。
- 设计权衡：在低误码率链路使用"检错+重传"以提高效率；在高误码率或高延迟链路使用"前向纠错"以保证可靠性。