目的
1、为避免一学就会、一用就废，这里做下笔记
2、让高等数学没学好的人（如本学渣），也能彻底搞懂卷积是什么
基础要求
1、认字
2、懂加减乘除四则运算
3、知道微积分符号的基本含义
什么是卷积
定义
卷积是一种数学运算方法，描述两个函数之间如何相互作用产生第三个函数。
对于两个函数f(t)f(t)f(t)和g(t)g(t)g(t)，它们卷积后生成函数e(t)e(t)e(t)，e(t)e(t)e(t)的数学定义为：
e(t)=(f∗g)(t)=∫f(τ)⋅g(t−τ)dτ e(t) = (f*g)(t) = ∫f(τ) \cdot g(t-τ)dτ e(t)=(f∗g)(t)=∫f(τ)⋅g(t−τ)dτ
- t：函数的自变量
- *：卷积操作
- τττ：积分变量，该符号和t相似，要注意区分
- ⋅\cdot⋅：点乘，即四则运算中的乘法
疑问：
1、e(t)、f(t)、g(t)、t、τ、∫e(t)、f(t)、g(t)、t、τ、∫e(t)、f(t)、g(t)、t、τ、∫等符号有什么现实意义？
2、为什么工程中要用到这么奇怪的数学变换？
带着上述疑问，且看下一节↓
物理意义上如何理解？
想象一个能量发射的场景：
1、有一个能量发射器，它能不断对外发射能量，发射能量的强度随时间t的变化规律为f(t)f(t)f(t)
2、能量被发射后，随时间t不断耗散，耗散规律为g(t)g(t)g(t)
3、有一个能量探测器，它能探测t时刻，空间中能量的强度e(t)e(t)e(t)
场景1：最简单场景
1、能量发射器仅在0时刻，发射强度为2的能量，之后不发射，发射规律为:
f(t)={2当t=00当t>0f(t) = \begin{cases} 2 & 当t = 0 \\ 0 & 当t>0 \end{cases}f(t)={20当t=0当t>0
2、能量随时间t不断耗散为原本的一半，如1秒后耗散为原本的12\frac{1}{2}21，2秒后耗散为原本的14\frac{1}{4}41，3秒后耗散为原本的18\frac{1}{8}81。耗散规律g(t)g(t)g(t)为：
g(t)=12t g(t)=\frac{1}{2^t} g(t)=2t1
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余 ，即：
e(3)=f(0)⋅g(3−0)=2⋅123=14 e(3) = f(0) \cdot g(3-0) = 2 \cdot \frac{1}{2^3} = \frac{1}{4} e(3)=f(0)⋅g(3−0)=2⋅231=41
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
e(t)=f(0)⋅g(t−0) e(t)=f(0) \cdot g(t-0) e(t)=f(0)⋅g(t−0)
场景2：仅改变发射能量的时刻
基于场景1：
1、仅略微改变f(t)f(t)f(t)，发射时刻从0改为1
f(t)={2当t=10当t≥0且t≠1f(t) = \begin{cases} 2 & 当t = 1 \\ 0 & 当t≥0 且 t≠1 \end{cases}f(t)={20当t=1当t≥0且t=1
2、g(t)g(t)g(t)不变
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：1时刻能量的残余 ，即：
e(3)=f(1)⋅g(3−1)=2⋅122=12 e(3)=f(1) \cdot g(3-1)=2 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2} e(3)=f(1)⋅g(3−1)=2⋅221=21
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
e(t)=f(1)⋅g(t−1) e(t)=f(1) \cdot g(t-1) e(t)=f(1)⋅g(t−1)
场景3：发射2次能量
基于场景2：
1、仅略微改变f(t)f(t)f(t)，发射时刻从1改为：0和1
f(t)={2当t=0,10当t>0且t≠1f(t) = \begin{cases} 2 & 当t = 0,1 \\ 0 & 当t>0 且 t≠1 \end{cases}f(t)={20当t=0,1当t>0且t=1
2、g(t)g(t)g(t)不变
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余+1时刻能量的残余 ，即：
e(3)=f(0)⋅g(3−0)+f(1)⋅g(3−1)=2⋅123+2⋅122=34 \begin{aligned} e(3)&=f(0) \cdot g(3-0)+f(1) \cdot g(3-1) \\ &=2 \cdot \frac{1}{2^3}+2 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4} \end{aligned} e(3)=f(0)⋅g(3−0)+f(1)⋅g(3−1)=2⋅231+2⋅221=43
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
e(t)=f(0)⋅g(t−0)+f(1)⋅g(t−1) e(t)=f(0) \cdot g(t-0)+f(1) \cdot g(t-1) e(t)=f(0)⋅g(t−0)+f(1)⋅g(t−1)
场景4：定时发射能量
基于场景3：
1、仅略微改变f(t)f(t)f(t)，发射时刻改为从0开始，每秒1次
f(t)={2当t=0,1,2,3...0当t>0且t≠整数f(t) = \begin{cases} 2 & 当t = 0,1,2,3... \\ 0 & 当t>0 且 t≠整数 \end{cases}f(t)={20当t=0,1,2,3...当t>0且t=整数
2、g(t)g(t)g(t)不变
3、能量探测器，在第3秒时，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余+1时刻能量的残余+2时刻能量的残余+3时刻能量的残余 ，即：
e(3)=f(0)⋅g(3−0)+f(1)⋅g(3−1)+f(2)⋅g(3−2)+f(3)⋅g(3−3) \begin{aligned} e(3)&=f(0) \cdot g(3-0)+f(1) \cdot g(3-1) \\ &+f(2) \cdot g(3-2)+f(3) \cdot g(3-3) \end{aligned} e(3)=f(0)⋅g(3−0)+f(1)⋅g(3−1)+f(2)⋅g(3−2)+f(3)⋅g(3−3)
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
e(t)=∑τ=0tf(τ)⋅g(t−τ) τ=0,1,2,3... e(t)=\sum_{τ=0}^t f(τ)\cdot g(t-τ) \ \ \ \ \ τ=0,1,2,3... e(t)=τ=0∑tf(τ)⋅g(t−τ) τ=0,1,2,3...
场景5：持续发射能量
基于场景4：
1、仅略微改变f(t)f(t)f(t)，发射规律改为持续发射，即：
f(t)=2 t≥0 f(t) = 2 \ \ \ \ \ t≥0 f(t)=2 t≥0
2、g(t)g(t)g(t)不变
3、能量探测器，在第3秒时，用微积分的方法，探测到的能量强度为：0时刻能量的残余+0.001时刻能量的残余+0.002时刻能量的残余+0.003时刻能量的残余...+3时刻能量的残余 ，即：
e(3)=∫03f(τ)⋅g(t−τ)dτ e(3)=\int_0^3 f(τ) \cdot g(t-τ)dτ e(3)=∫03f(τ)⋅g(t−τ)dτ
4、能量探测器，在第t秒时，探测到的能量强度为：
e(t)=∫0tf(τ)⋅g(t−τ)dτ e(t)=\int_0^t f(τ) \cdot g(t-τ)dτ e(t)=∫0tf(τ)⋅g(t−τ)dτ
总结
基于以上5个场景，成功推导出卷积公式e(t)=(f∗g)(t)=∫f(τ)⋅g(t−τ)dτ e(t) = (f*g)(t) = ∫f(τ) \cdot g(t-τ)dτ e(t)=(f∗g)(t)=∫f(τ)⋅g(t−τ)dτ
回应前面的疑问：
1、e(t)、f(t)、g(t)、t、τ、∫e(t)、f(t)、g(t)、t、τ、∫e(t)、f(t)、g(t)、t、τ、∫等符号有什么现实意义？
上述场景中:
- ttt：自变量，表示时间（当前时刻 或 不断向前的时间）
- f(t)f(t)f(t)：能量随时间t的发射规律
- g(t)g(t)g(t)：能量随时间t的耗散规律
- e(t)e(t)e(t)：ttt时刻，探测到的能量强度
- τττ：积分变量，ttt之前的某一时刻，值域为[0,t][0,t][0,t]
- f(τ)f(τ)f(τ)：τττ时刻，能量源发出的能量大小（或能量强度）
- f(τ)⋅g(t−τ)f(τ) \cdot g(t-τ)f(τ)⋅g(t−τ)：τττ时刻发出的能量f(τ)f(τ)f(τ)，到ttt时刻时，残余的能量大小
- ∫0tf(τ)⋅g(t−τ)dτ\int_0^t f(τ) \cdot g(t-τ)dτ∫0tf(τ)⋅g(t−τ)dτ：0−t0-t0−t时刻之间，能量源已发出的所有能量(不断耗散)，到ttt时刻时，残余能量的总和
2、为什么工程中要用到这么奇怪的数学变换？
因为实际工程中，会大量遇到上述案例的变种。
- 变种1-信号处理，类比如下：
| 数学 | 能量发射场景 | 信号处理场景 |
|---|---|---|
| f(t)f(t)f(t) | 能量发射 | 信号源发出信号（声音、电信号、光信号） |
| g(t)g(t)g(t) | 能量耗散规律 | 信号强度耗散规律 |
| e(t)e(t)e(t) | 探测t时刻能量强度 | 探测t时刻信号强度 |
- 变种2-图像处理，类比如下：
| 数学 | 能量发射场景 | 图像处理场景 |
|---|---|---|
| ttt | 时间t | 空间像素位置（x,y） |
| f(t)f(t)f(t) | 能量发射 | 从左到右，从上到下，遍历图像不同区域的像素 |
| g(t)g(t)g(t) | 能量耗散规律 | 像素特征规律 |
| e(t)e(t)e(t) | 探测t时刻能量强度 | 遍历完图像后，抽取到整个图像的特征 |
哲学引申
现状是主体在历史作用下的结果，万事万物，莫不卷积。
| 数学 | 能量发射场景 | 哲学场景 | 个人示例 |
|---|---|---|---|
| f(t)f(t)f(t) | 能量发射 | 历史对主体的不断作用=不断输入信号 | 人的后天经历 |
| g(t)g(t)g(t) | 能量耗散规律 | 主体的特质（江山易改、本性难移） | 人的先天禀赋 |
| e(t)e(t)e(t) | 探测t时刻能量强度 | 某一层面的现状 | 人的性情现状 |
文学引申
想起很早之前看的一段话，大意是："这不仅仅只是一幅普通的油画，我的作品里，有我所有走过的路，读过的书，看过的风景，听过的音乐，和我爱过的人"。嗯，没错，这是卷积。