无线通信基础-瑞利衰落信道中的检测（Fundamentals of Wireless Communication Section3.1）

作为一个刚刚进入博0的学生，发现虽然本科就是通信但是基础知识还有很多不牢固的地方，如果有任何说的不对的地方敬请大家指正，在讨论中进步。

3.1 瑞利衰落信道中的检测

3.1.1非相干检测

书中主要先讨论衰落信道中非常简单的检测问题，采用如下平坦衰落模型，信道可以用单个离散时间复滤波器抽头表示，并且简写为：

其中，同时假定为瑞利衰落，，方差被归一化为1。暂时不去规定不同时刻衰落系数的相关性，也不对接收机关于的先验知识做出任何假设。（这个假设是一个非相干通信的假设）

考虑幅度为的未编码二进制对极信号传输（即二进制相移键控BPSK），即，并且这个码元是关于时间相互独立。无论发射的是还是，由于在前序设定成了复高斯随机变量，其具有旋转不变性，那么其可s以写成，并且，和是独立的。在没有噪声的情况下，接收信号的相位在0到上是均匀分布的，这种信号的传输方案是完全失败的**（针对为什么完全失败，在这里我们可以理解成，在发射a和-a的时候，没有噪声的话我们在接收端可以看到和，由于和是完全随机的，两者的统计分布是一模一样的，并且发送-a和+a的时候都是不一样的，所以相位部分其实是没办法辨别这两个信号的，从幅度来看很明显两个都一样根本无法区分------这里如果有问题或者大家有更合适的想法真的很希望大家可以留下宝贵的评论）**。

此处，接收幅度与发射码元无关，而二进制对极信号传输是二进制调制，相位调制一般会存在如上的缺陷，所以在这里需要的信号结构应该是，不同的信号具有不同的幅度或者对码元进行编码（可以认为是让多个码元之间存在一些相对关系）。

因此开始考虑正交信号传输（可以被认为是码元编码的一种特殊的类型），考虑的正交调制是简单的正交调制，就是binary pulse-position modulation（二进制脉冲调制），对于一对时间样本A、B来说，发送的如下所示：

因此，进行信号检测的依据是接收到的信号：

这里根据最大似然比准则：

进行具体的判决，构造如下的似然比：

如果发送的是，则有，并且与相互独立。如果发送的是，择有，并且与相互独立，因此联合PDF可以写成乘积的形式：

从而分别写出发射和假设下的联合PDF：

公共常数相同，直接抵消，剩下指数项：

取了对数以后：

因此可以利用下式计算对数似然比：

最佳判决准则为：如果，则判决发射信号为，否则发射信号就是。这一准则没有利用接收信号的相位，因为信道增益的随机位置相位（还是有可能存在一些轻微的波动-这里如果有友友可以更好的解释希望可以留下你宝贵的评论呀）会导致相位对检测没有任何用处。

从几何上来看，检测器的功能可以解释为将接收矢量y投影到两个可能的发射矢量和上，冰比较两个投影的能量：

因此，这种检测器也被称为能量检测器或平方律检测器，然而最佳检测器并不依赖于与的相关性。

接下来可以分析出该检测器的差错概率：由对称性假定发射信号，在该假设条件下与是方差分别为与的相互独立的循环对称复高斯随机变量，根据附录可知，与是服从均值分别为与的指数分布。于是，可以通过直接积分来算出差错概率：

针对上述式子，证明如下：

而信噪比的一般定义为：

对于每个复数码元时间内的噪声能量我们都将其定义为（因为在此处讨论的正交调制方法仅仅采用了实码元，因此仅在同相支路（I）上传输，从直觉上来看每个实码元的噪声能量来定义信噪比会更清晰，后续章节存在同时在I和Q两个支路上传输的情况），对于正交调制方案而言，每个码元时间内的平均接收能量为，因此有，因此带入公式3.9就可以得到：