C++图论：从基础到实战应用

一、图论基础概念

图的定义

一个图 GGG 由两个集合组成：
- 顶点集合 VVV (Vertices)：代表图中的节点或实体。
- 边集合 EEE (Edges)：代表顶点之间的连接或关系。每条边连接两个顶点（或自身，形成自环）。
图的分类
- 无向图 (Undirected Graph) ：边没有方向。如果顶点 uuu 和 vvv 之间有边，则 uuu 和 vvv 是相邻的，边表示为 (u,v)(u, v)(u,v) 或 (v,u)(v, u)(v,u)。
- 有向图 (Directed Graph / Digraph) ：边有方向。从顶点 uuu 指向顶点 vvv 的边表示为 <u,v><u, v><u,v> 或 u→vu \to vu→v。uuu 是尾 (tail)，vvv 是头 (head)。
- 加权图 (Weighted Graph)：边（有时也包括顶点）被赋予一个数值（权重），表示距离、成本、容量等属性。
- 无权图 (Unweighted Graph)：边没有权重，通常认为权重为 1。
基本术语
- 邻接 (Adjacency)：如果两个顶点之间有边直接相连，则它们是邻接的。
- 度 (Degree) ：
  - 无向图中，一个顶点的度是其邻接边的数量。
  - 有向图中：
    - 出度 (Out-degree)：从该顶点出发的边的数量。
    - 入度 (In-degree)：指向该顶点的边的数量。
- 路径 (Path) ：顶点序列 v0,v1,v2,...,vkv_0, v_1, v_2, \dots, v_kv0,v1,v2,...,vk，其中每条边 (vi,vi+1)(v_i, v_{i+1})(vi,vi+1)（无向图）或 <vi,vi+1><v_i, v_{i+1}><vi,vi+1>（有向图）都存在。
- 环/圈 (Cycle)：起点和终点相同的路径（且路径长度至少为 1）。
- 连通性 (Connectivity) ：
  - 无向图：如果任意两个顶点之间都存在路径，则该图是连通的 (Connected)。一个图可能有多个连通分量 (Connected Components)。
  - 有向图：强连通 (Strongly Connected) 指任意两个顶点 uuu 和 vvv 之间都存在从 uuu 到 vvv 和从 vvv 到 uuu 的路径。弱连通 (Weakly Connected) 指忽略边方向后对应的无向图是连通的。

二、图的表示方法 (C++ 实现)

在 C++ 中，常用的图表示方法有：

邻接矩阵 (Adjacency Matrix)

原理：使用一个二维数组 matrix[V][V] 表示图。对于无权图：
- matrix[u][v] = 1 表示存在边 (u,v)(u, v)(u,v) (无向图) 或 <u,v><u, v><u,v> (有向图)。
- matrix[u][v] = 0 表示无边。
加权图 ：matrix[u][v] 存储边的权重。若无边，可用特定值（如 INT_MAX）或 0（需注意区分）表示。

C++ 代码示例：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Graph {
private:
    int V; // 顶点数
    vector<vector<int>> adjMatrix; // 邻接矩阵

public:
    Graph(int vertices) : V(vertices) {
        adjMatrix.resize(V, vector<int>(V, 0)); // 初始化全0
    }

    // 添加无向图边 (无权)
    void addEdgeUndirected(int u, int v) {
        adjMatrix[u][v] = 1;
        adjMatrix[v][u] = 1; // 无向图是对称的
    }

    // 添加有向图边 (无权)
    void addEdgeDirected(int u, int v) {
        adjMatrix[u][v] = 1;
    }

    // 添加带权有向边
    void addWeightedEdge(int u, int v, int weight) {
        adjMatrix[u][v] = weight;
    }

    // 打印邻接矩阵
    void print() {
        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            for (int j = 0; j < V; ++j) {
                cout << adjMatrix[i][j] << " ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
};

优缺点：
- 优点：查询边是否存在很快 O(1)O(1)O(1)。
- 缺点：空间复杂度高 O(V2)O(V^2)O(V2)，不适用于稀疏图。添加/删除顶点开销大。

邻接表 (Adjacency List)

原理：为每个顶点维护一个列表（链表、动态数组等），存储与该顶点直接相邻的所有顶点（对于加权图，还需存储权重）。

C++ 代码示例 (使用 vector 存储列表)：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 加权图的边结构体
struct Edge {
    int dest; // 目标顶点
    int weight; // 权重
    Edge(int d, int w) : dest(d), weight(w) {}
};

class Graph {
private:
    int V; // 顶点数
    vector<vector<Edge>> adjList; // 邻接表 (存储边)

public:
    Graph(int vertices) : V(vertices) {
        adjList.resize(V);
    }

    // 添加无向图边 (无权)
    void addEdgeUndirected(int u, int v) {
        adjList[u].push_back(Edge(v, 1)); // 权重设为1
        adjList[v].push_back(Edge(u, 1));
    }

    // 添加有向图边 (无权)
    void addEdgeDirected(int u, int v) {
        adjList[u].push_back(Edge(v, 1));
    }

    // 添加带权有向边
    void addWeightedEdge(int u, int v, int weight) {
        adjList[u].push_back(Edge(v, weight));
    }

    // 打印邻接表
    void print() {
        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            cout << "Vertex " << i << ": ";
            for (const Edge& edge : adjList[i]) {
                cout << "-> (" << edge.dest << ", " << edge.weight << ") ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
};

优缺点：
- 优点：空间复杂度低 O(V+E)O(V + E)O(V+E)，适用于稀疏图。易于遍历一个顶点的所有邻居。
- 缺点：查询任意两点间是否有边稍慢 O(deg(u))O(\text{deg}(u))O(deg(u))（平均）。

选择哪种表示方法？ 取决于图的稀疏程度和需要频繁执行的操作。稀疏图优先考虑邻接表。

三、图遍历算法

遍历是图算法的基础，用于访问图中所有顶点（或连通分量）。

广度优先搜索 (BFS - Breadth-First Search)

原理：从源点开始，逐层向外探索，先访问所有距离为 1 的邻居，再访问距离为 2 的邻居，以此类推。使用队列 (Queue) 管理待访问顶点。
应用：无权图的最短路径（最少边数）、连通分量、社交网络中的好友层级。

C++ 实现 (邻接表，无权图) ：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

void BFS(const vector<vector<int>>& graph, int start) {
    int V = graph.size();
    vector<bool> visited(V, false); // 标记是否访问过
    queue<int> q;

    visited[start] = true;
    q.push(start);

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        cout << u << " "; // 访问当前顶点

        // 遍历 u 的所有邻居
        for (int v : graph[u]) {
            if (!visited[v]) {
                visited[v] = true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}

深度优先搜索 (DFS - Depth-First Search)

原理：沿着一条路径尽可能深入地探索，直到尽头，然后回溯。使用递归或栈 (Stack) 实现。
应用：查找连通分量、拓扑排序、查找环、路径探索（迷宫求解）。

C++ 递归实现 (邻接表) ：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void DFSRecursive(const vector<vector<int>>& graph, int u, vector<bool>& visited) {
    visited[u] = true;
    cout << u << " "; // 访问当前顶点

    for (int v : graph[u]) {
        if (!visited[v]) {
            DFSRecursive(graph, v, visited);
        }
    }
}

void DFS(const vector<vector<int>>& graph, int start) {
    int V = graph.size();
    vector<bool> visited(V, false);
    DFSRecursive(graph, start, visited);
}

四、实际应用与算法

最短路径问题
- 问题描述：找到图中两个顶点之间权重总和最小的路径。
- 算法：
  - 无权图：BFS 即可。
  - 带权图 (无负权边) ：Dijkstra 算法。使用优先队列（最小堆）选择当前距离最小的未访问顶点。
  - 带权图 (允许负权边) ：Bellman-Ford 算法 。进行 V−1V-1V−1 轮松弛操作。
  - 所有点对间最短路径 ：Floyd-Warshall 算法。动态规划。
最小生成树 (MST - Minimum Spanning Tree)
- 问题描述：在连通的无向加权图中，找到一棵树，连接所有顶点，且边的权重总和最小。
- 算法：
  - Prim 算法：从任意顶点开始，每次选择连接当前树与树外顶点且权重最小的边。使用优先队列。
  - Kruskal 算法：将所有边按权重排序，从小到大依次选择，若加入该边不会形成环（使用并查集判断）则加入 MST。
拓扑排序 (Topological Sorting)
- 问题描述 ：对有向无环图 (DAG) 的所有顶点进行线性排序，使得对于每条有向边 <u,v><u, v><u,v>，uuu 在排序中都出现在 vvv 之前。
- 应用：任务调度、课程安排、编译依赖。
- 算法：基于 DFS 或 BFS (Kahn's 算法 - 基于入度)。
网络流问题
- 问题描述：建模网络中的流量传输（如水管、交通、数据传输），计算最大流量或最小割。
- 核心算法 ：Ford-Fulkerson 方法 ，其核心是 Edmonds-Karp 算法（使用 BFS 寻找增广路径）。

五、总结

图论提供了强大的工具来建模复杂关系和解决优化问题。在 C++ 中，邻接矩阵和邻接表是两种核心的存储结构。BFS 和 DFS 是遍历的基础。Dijkstra、Bellman-Ford、Prim、Kruskal、拓扑排序和网络流算法等则解决了图论中的经典问题。理解这些基础理论和掌握它们的 C++ 实现，对于解决涉及网络、关系、路径和优化的实际问题至关重要。