【算法题】多源BFS

多源BFS将所有满足条件的起点同时入队 （视为"第0层"），再按层扩散，能高效解决"多个源点到网格中各点的最短距离""全局最短/最长距离""边界连通域标记"等问题。其核心优势是：仅需一次遍历即可完成所有源点的扩散，时间复杂度与单源BFS一致（O(mn)O(mn)O(mn)），远优于"对每个点做单源BFS"的暴力解法（O((mn)2)O((mn)^2)O((mn)2)）。本文通过4道经典多源BFS题目，拆解多源BFS的核心框架与场景化适配技巧。

一、01矩阵（更新矩阵）

题目描述 ：给定一个由 0 和 1 组成的矩阵 mat，将每个 1 替换为到最近 0 的最短距离，0 保持不变，返回更新后的矩阵。

核心思路：多源BFS求最短距离

普通单源BFS只能求"一个0"到各点的距离，而本题需要"所有0"到各1的最短距离------将所有 0 作为同时出发的起点 （距离为0），入队后按层扩散，每个 1 第一次被访问时的距离，就是到最近 0 的最短距离（多源扩散保证了"最短"）。

代码解析：

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class Solution {
    int m, n;
    int dx[4] = {0, 0, 1, -1}; // 上下左右方向数组
    int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
public:
    vector<vector<int>> updateMatrix(vector<vector<int>>& mat) {
        m = mat.size(), n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dist(m, vector(n, -1)); // 距离数组：-1表示未访问
        queue<pair<int, int>> q;

        // 步骤1：所有0作为起点入队，距离设为0
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                if(mat[i][j] == 0)  
                {
                    dist[i][j] = 0;
                    q.push({i, j});
                }

        // 步骤2：多源BFS扩散
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front();
            q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; i++)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                // 边界检查 + 未访问（保证第一次访问是最短距离）
                if(x >= 0 && y >= 0 && x < m && y < n && dist[x][y] == -1)
                {
                    dist[x][y] = dist[a][b] + 1; // 邻接节点距离=当前+1
                    q.push({x, y});
                }
            }
        }
        return dist;
    }
};

关键细节：

dist 数组既记录距离，又充当"访问标记"（-1=未访问），无需额外开vis数组；
多源同时扩散，确保每个1被"最近的0"先访问，距离即为最短。

二、飞地数量（numEnclaves）

题目描述 ：给定01矩阵，"飞地"是指无法从边界的 1 到达的内部 1，求飞地的数量。

核心思路：反向多源BFS标记连通域

飞地的本质是"不与边界1连通的内部1"------反向思考：将所有边界的1 作为多源起点，标记所有可达的1，最后统计未被标记的1的数量即为飞地数。

代码解析：

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class Solution {
    int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
    int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
public:
    int numEnclaves(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();                                                       
        vector<vector<bool>> vis(m, vector<bool>(n)); // 访问标记：是否与边界1连通
        queue<pair<int, int>> q;

        // 步骤1：所有边界的1作为起点入队并标记
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                if(i == 0 || j == 0 || i == m - 1 || j == n - 1) // 边界坐标
                {
                    if(grid[i][j] == 1)
                    {
                        q.push({i, j});
                        vis[i][j] = true;
                    }
                }

        // 步骤2：多源BFS标记所有可达的1
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front();
            q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; i++)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                // 边界检查 + 未标记 + 是1
                if(x >= 0 && y >= 0 && x < m && y < n && !vis[x][y] && grid[x][y] == 1)
                {
                    vis[x][y] = true;
                    q.push({x, y});
                }
            }
        }

        // 步骤3：统计未被标记的1（飞地）
        int ret = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                if(!vis[i][j] && grid[i][j] == 1)
                    ret++;
        return ret;
    }
};

关键细节：

反向多源的核心是"标记不需要的部分"，剩余未标记的即为目标；
仅遍历边界坐标作为起点，避免无效遍历。

三、最高海拔（highestPeak）

题目描述 ：给定矩阵 isWater（1=水域，0=陆地），要求为每个陆地分配海拔：

水域海拔为0；
相邻单元格海拔差≤1；
海拔尽可能大。

核心思路：多源BFS求"最远最近距离"

满足"相邻差≤1且海拔最大"的唯一解是：每个陆地的海拔 = 到最近水域的最短距离（多源BFS的天然结果）。这道题是"01矩阵"的语义变体，逻辑完全一致。

代码解析：

cpp 复制代码

class Solution {
    int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
    int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
public:
    vector<vector<int>> highestPeak(vector<vector<int>>& isWater) {
        int m = isWater.size(), n = isWater[0].size();
        vector<vector<int>> dist(m, vector(n, -1)); // dist数组存储海拔
        queue<pair<int, int>> q;

        // 步骤1：所有水域（1）作为起点，海拔设为0
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                if(isWater[i][j] == 1)
                {
                    dist[i][j] = 0;
                    q.push({i, j});
                }

        // 步骤2：多源BFS扩散，海拔=最近水域距离+1
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front(); q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; i++)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                if(x >= 0 && y >= 0 && x < m && y < n && dist[x][y] == -1)
                {
                    dist[x][y] = dist[a][b] + 1;
                    q.push({x, y});
                }
            }
        }
        return dist;
    }
};

关键细节：

语义转换："海拔"="到最近水域的最短距离"，完全复用01矩阵的多源BFS逻辑；
无需额外条件，多源扩散的结果天然满足"相邻差≤1"和"海拔最大"。

四、海洋陆地最远距离（maxDistance）

题目描述 ：给定01矩阵（1=陆地，0=海洋），求海洋到最近陆地的最远距离；若全是陆地/全是海洋，返回-1。

核心思路：多源BFS求全局最大最短距离

所有陆地作为多源起点，计算每个海洋到最近陆地的最短距离，最后取这些距离的最大值即为答案。

代码解析：

cpp 复制代码

class Solution {
    int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
    int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
public:
    int maxDistance(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dist(m, vector(n, -1));
        queue<pair<int, int>> q;

        // 步骤1：所有陆地（1）作为起点入队，距离设为0
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                if(grid[i][j] == 1)
                {
                    dist[i][j] = 0;
                    q.push({i, j});
                }

        // 步骤2：多源BFS计算最短距离，同时记录最大值
        int ret = -1;
        while(q.size())
        {
            auto [a, b] = q.front(); q.pop();
            for(int i = 0; i < 4; i++)
            {
                int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
                if(x >= 0 && y >= 0 && x < m && y < n && dist[x][y] == -1)
                {
                    dist[x][y] = dist[a][b] + 1;
                    q.push({x, y});
                    ret = max(ret, dist[x][y]); // 更新最大距离
                }
            }
        }
        return ret; // 全陆地时ret=-1，全海洋时也为-1，符合要求
    }
};

关键细节：

无需额外遍历矩阵找最大值，在BFS过程中实时更新即可；
边界条件自然满足：全陆地时没有海洋被访问，ret保持-1；全海洋时q初始为空，ret也为-1。

多源BFS通用框架总结

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// 通用框架
1. 初始化：
   - 距离/访问数组（dist/vis）：-1/False 表示未访问；
   - 队列q，将所有满足条件的多源起点入队，并初始化dist/vis；

2. 多源扩散：
   while(队列非空) {
       取出队首节点(a,b);
       遍历四个方向：
           计算邻接节点(x,y);
           if(边界合法 && 未访问) {
               更新dist/vis = 当前节点值 + 1 / True;
               入队(x,y);
               （可选）更新目标值（如最大距离、计数等）;
           }
   }

3. 结果计算：
   - 最短距离类：直接返回dist数组；
   - 连通域标记类：统计未标记的节点数；
   - 最大距离类：返回BFS中记录的最大值；