从一道递归题到卡特兰数，彻底掌握蓝桥杯中的“合法序列”类问题

合法括号序列（来源2020年蓝桥杯省模拟赛）

题目描述

本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。

由 1 对括号，可以组成一种合法括号序列：()。

由 2 对括号，可以组成两种合法括号序列：()()、(())。

由 4 对括号组成的合法括号序列一共有多少种？

题解

状态表示 ：(l, r) 表示已用左/右括号数
约束条件 ：l >= r（任意前缀合法）
目标状态 ：(n, n)
搜索方式：DFS + 剪枝（回溯）

这是所有"合法序列"问题的模板

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

int sum=0;
int n=4;
// 计算 n=4 时合法括号序列数量
void f(int l,int r)
{
  if(l<r)  //右括号不能多于左括号
    return;
  if(l>n||r>n)  //超过n对
    return;
  if(l==n&&r==n)
    sum++;

  f(l+1,r);   //加"("
  f(l,r+1);   //加")"
}

int main()
{
  f(0,0);
  printf("%d",sum);
  return 0;
}

问题变种1：输出所有合法括号序列

cpp 复制代码

void dfs(int l,int r,int n,char path[],int idx){
    if(l<r||l>n||r>n)
        return;
    if(l==n&&r==n){
        path[idx]='\0';
        puts(path);
    }
    path[idx]='(';
    dfs(l+1,r,n,path,idx+1);
    path[idx]=')';
    dfs(l,r+1,n,path,idx+1);
}

问题变种2：给定字符串，判断是否合法

只需一个计数器bal，当bal<0时说明右括号比左括号多，非法

cpp 复制代码

int isValid(char* s) {
    for (int i = 0; s[i]!='\0'; i++) {
        if (s[i] == '('
            bal++;
        else
            bal--;
        if (bal < 0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

卡特兰数

引入

第一题改变n的值，得到一下结果

n=0 → 1 n=1 → 1 n=2 → 2 n=3 → 5 n=4 → 14 n=5 → 42

有经验的人会立刻想到这不就是卡特兰数嘛？

它是组合数学中一个非常经典、优美且应用广泛的数列

公式

快速计算卡特兰数

cpp 复制代码

// 适用于 n <= 19（long long 范围内）
long long catalan(int n) {
    if (n <= 1) return 1;
    long long c = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        c = c * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2); // 先乘后除，保证整除
    }
    return c;
}

卡特兰数的五大蓝桥杯应用场景

记住：只要问题满足"不能越过对角线"或"前缀约束"，就可能是卡特兰数！

场景 1：出栈序列计数（栈混洗）

题目：1～n 按顺序入栈，问有多少种不同的出栈序列？

解法：

直接返回 Catalan(n)
若需输出所有序列 → 用 DFS 模拟入栈/出栈：

cpp 复制代码

void dfs(int push, int pop, int n, int stack[], int top, int out[], int out_idx) {
    if (out_idx == n) { /* 输出 out */ return; }
    if (push <= n) {
        stack[top] = push;
        dfs(push+1, pop, n, stack, top+1, out, out_idx); // 入栈
    }
    if (top > 0) {
        out[out_idx] = stack[top-1];
        dfs(push, pop+1, n, stack, top-1, out, out_idx+1); // 出栈
    }
}

场景 2：二叉搜索树（BST）结构数

题目：n 个不同节点，能构成多少种不同结构的 BST？

解法：

答案 = Catalan(n)
递推式：dp[i] = Σ dp[j] * dp[i-1-j] （j 为左子树节点数）

cpp 复制代码

int numTrees(int n) {
    int dp[n+1];
    dp[0] = dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = 0;
        for (int j = 0; j < i; j++)
            dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j];
    }
    return dp[n];
}

📌 蓝桥高频 DP 模板！

场景 3：不穿越对角线的网格路径

题目：n×n 网格，从 (0,0) 到 (n,n)，只向右/上走，且不能走到 y > x 区域，求路径数。

解法：

答案 = Catalan(n)
若需输出路径 → 用 (x,y) 代替 (l,r)，约束 y <= x

cpp 复制代码

void path(int x, int y, int n) {
    if (y > x || x > n || y > n) return;
    if (x == n && y == n) { /* 记录路径 */ return; }
    path(x+1, y, n); // 向右
    path(x, y+1, n); // 向上
}

场景 4：多边形三角剖分（较少见，但可能出）

题目：凸 (n+2) 边形，用不相交对角线分成三角形，有多少种分法？

解法：

答案 = Catalan(n)
通常只需输出数值，用 DP 或公式即可

场景 5：买票问题（经典变形）

题目：2n 个人排队买票，票价50元。n 人持50元，n 人持100元。初始售票处无零钱，问有多少种排队方式不会导致找不开钱？

分析：

持50元 = '('，持100元 = ')'
任意前缀中 50元人数 ≥ 100元人数 → 合法括号序列
答案 = Catalan(n)