数学定义用语法
eig 用来计算 矩阵的特征值 和 特征向量（Eigenvalues/Eigenvectors）。
cpp
eig 用来求特征值/特征向量，是 PCA、法向量估计、点云几何分析、ICP 的核心基础工具。
cpp
[V, D] = eig(A);
返回：
D：对角矩阵，包含特征值
V：每一列是一个特征向量
即：
A * V(:,i) ≈ D(i,i) * V(:,i)如果把矩阵 A 看成"变换"，那么：
-
特征向量 = 变换后方向不变的向量
-
特征值 = 被放大的倍数
matlab 案例
例 1：对角矩阵
cpp
A = [3 0; 0 2];
[V,D] = eig(A)
V =
0 1
1 0
// V 是特征向量
D =
2 0
0 3
>>
//D 是特征值 例 1：非对角矩阵例子（旋转效果）
cpp
A = [2 1;
1 2];
[V,D] = eig(A)
V =
-0.7071 0.7071
0.7071 0.7071
D =
1 0
0 3、
解释：
λ = 3 方向被拉伸最大 → 主方向
λ = 1 对应最"弱"方向工程中的真实用途
PCA 求主方向（用 eig）
对协方差矩阵
cpp
[V,D] = eig(C);
最大特征值 → 曲面主方向
最小特征值 → 法向量
所有点云法向量算法都用 eig点云平面拟合（法向量 = 最小特征值方向）
cpp
normal = V(:,1); % 最小特征值对应这是 PCL / Open3D / MATLAB 同一种逻辑
ICP 求解 SVD/EIG（旋转矩阵）
如果你不用 svd，你可以：
NDT、GICP 的协方差分析
特征值代表局部点云"扁平程度"：
-
λ₁ ≪ λ₂, λ₃ → 非常平（地面）
-
λ₁ ≈ λ₂ ≈ λ₃ → 球状噪声
-
λ₁ ≪ λ₂ ≈ λ₃ → 线
GICP/NDT 就是用这些性质约束优化。
eig 和 svd 在 PCA 中的区别
PCA 本质在求什么？
PCA 要求：
-
主方向（Eigenvectors）
-
主方差大小（Eigenvalues）
等价于：
-
对协方差矩阵做 特征分解（eig）
-
或者对数据矩阵直接做 奇异值分解（svd）
两者结果 完全一致（只差符号与排序）。
eig 和 svd 的区别总结表
| 项目 | eig | svd |
|---|---|---|
| 输入 | 协方差矩阵 C | 原始数据矩阵 X |
| 要求 | C 必须对称 | X 任意矩阵都行 |
| 输出 | PCA 特征值、方向 | PCA 特征值（σ²）和方向（U） |
| 稳定性 | 稳定，但需要先算 C | 最稳定（强烈推荐） |
| 数据量很大时 | C 是 d×d，小 | X 是 N×d，可能巨大 |
| 工程实际使用 | 仅在维度低时用 | 深度学习、点云、视觉都用 SVD |
数据量大时 → 用 SVD
维度小（3×3、6×6）时 → eig 足够快
数学关系
eig
svd
MATLAB 示例对比：
cpp
% 1. 构造 2D 数据（一个斜方向拉伸的高斯）
rng(0);
theta = pi/6;
R = [cos(theta) -sin(theta); sin(theta) cos(theta)];
D = [3 0; 0 1]; % 方差不同
X = randn(1000,2) * D * R'; % N×2
Xc = X - mean(X); % 去中心化
%% === 方法1：eig ===
C = cov(Xc); % 协方差矩阵
[V_eig, D_eig] = eig(C);
%% === 方法2：svd ===
[U,S,V_svd] = svd(Xc,'econ');
% SVD 得到的特征值（注意平方/N）
lambda_svd = diag(S).^2 / size(X,1);
%% 比较
V_eig
V_svd
lambda_svd
diag(D_eig)
结论：
eig 是对协方差矩阵做特征分解；
svd 是对数据矩阵做奇异值分解。
svd 更稳定且适合大规模数据，
eig 只适合小规模（如 3×3）几何问题。