一、来源
Q 格式的 "Q" 最早源于 TI 的定点数表示法，ARM 在 CMSIS 中标准化，成为嵌入式定点运算的通用规范。
Q 格式是嵌入式领域的定点数表示方法 ，本质是用整数来模拟小数运算 ------ 通过预先约定小数点在二进制数中的固定位置，让普通整数具备表示小数的能力。
对比易理解的浮点数（如 float/double），Q 格式的核心是 "定点"：小数点位置一旦约定就不再改变，而浮点数是"浮点"：小数点位置随指数位动态变化。
浮点数的二进制存储科普：
一、先从十进制科学计数法入手：指数和尾数的通俗类比
我们平时用的十进制科学计数法，就是把任意数拆成「尾数 + 指数」的形式，这是浮点数指数 / 尾数的原型：
通用形式：
数值尾数基数指数
- 十进制基数是10 ，二进制浮点数基数是2；
- 尾数 ：表示数的有效数字，通常归一化为「1.xxxxx」的形式（保证精度最高）；
- 指数 ：表示小数点的移动位数 / 缩放倍数，正指数右移小数点，负指数左移小数点。
直观例子：
- 123.45=1.2345×102 → 尾数 = 1.2345，指数 = 2（小数点右移 2 位）；
- 0.00105=1.05×10−3 → 尾数 = 1.05，指数 =-3（小数点左移 3 位）；
- 5=1.0×101 → 尾数 = 1.0，指数 = 1（整数也归一化）。
核心 ：尾数决定数的精度，指数决定数的大小 / 小数点位置，浮点数的二进制存储，就是把这个逻辑搬到二进制中，并做了硬件适配的优化。
二、二进制浮点数的指数和尾数（以嵌入式最常用的32 位单精度 float为例）
32 位 float 是 IEEE 754 标准的核心类型，嵌入式 MCU（STM32/N32 等）的浮点数均遵循此标准，它将 32 位二进制严格划分为 3 部分，其中后两部分就是指数和尾数，整体结构：
plaintext
32位float：[符号位(S)·1位] + [指数位(E)·8位] + [尾数位(M)·23位]各部分作用（结合二进制科学计数法）：
二进制浮点数的通用表示公式：数值逐个拆解符号位、指数位、尾数位 的实际含义，重点讲指数 和尾数：
1. 符号位（S）：仅表示正负，和指数 / 尾数无关
- S=0 → 正数，S=1 → 负数；
- 作用：通过(−1)S实现正负表示，无需给指数 / 尾数单独加符号位，简化硬件设计。
2. 指数位（E）：8 位无符号数，代表二进制的指数偏移量
浮点数的实际指数 并非直接存指数位的二进制值，而是做了 **+127 的偏移 **（也叫偏置值 ，8 位指数的偏置值固定为 127），原因是为了用无符号数表示正负指数（硬件处理无符号数更高效）。
- 实际指数 真实存储的指数位二进制值；
- 指数位范围：0~255 → 实际指数范围：−127 +128；
- 作用：决定二进制小数点的浮动位置，对应十进制科学计数法中「10 的几次方」，是浮点数 "浮点" 的核心。
3. 尾数位（M）：23 位无符号数，代表二进制尾数的小数部分
这是最容易理解偏差的点：浮点数的尾数采用 **「隐藏最高位 1」的归一化设计（也叫 隐含位 **），目的是用 23 位存储 24 位有效精度，提升硬件利用率。
- 二进制尾数的完整形式是 1.M（1 是隐藏位，M 是尾数位的 23 位小数）；
- 尾数位 M 的范围：000...000 ~ 111...111 → 完整尾数范围：1.000...000 1.111...111（二进制）；
- 作用：表示数的有效二进制数字 ，尾数位的位数决定浮点数的精度（23 位 + 1 位隐藏位 = 24 位有效精度）。
二、为什么需要Q格式？
Q 格式的诞生完全是为了适配嵌入式 MCU 的硬件特性，解决浮点数在嵌入式场景中的致命问题，这也是 ARM 官方为 Cortex-M 系列专门定义 Q 格式的原因，核心解决的问题有 3 个：
痛点 1：多数低端 MCU 无硬件浮点单元（FPU），浮点数运算效率极低
Cortex-M0/M0+/M3等低端 MCU无硬件 FPU ，浮点数（float/double）运算完全依靠软件模拟 ------ 编译器将浮点数运算拆解为数十条整数运算指令，耗时是整数运算的几十倍甚至上百倍。
而 Q 格式本质是整数运算 ：所有 Q 格式的小数计算，最终都能转换为普通的整数加减乘除，仅需在运算后根据 Q 格式规则做简单的移位 / 归一化，运算效率和整数完全一致，无需任何硬件 FPU 支持。
痛点 2：浮点数占用更多内存，不符合嵌入式 "资源紧缺" 的特点
- 浮点数（float）占4 字节 ，double 占8 字节；
- Q15 仅占2 字节，Q31（32 位定点数，31 位小数）也仅占 4 字节，和 float 相同但运算效率更高。
嵌入式 MCU 的 RAM/Flash 通常以 KB 为单位（如 STM32F103 仅 20KB RAM、64KB Flash），Q 格式能大幅节省内存占用，尤其适合批量存储数据（如 Q15 正弦表 256 点仅 512 字节）。
痛点 3：浮点数的 "非确定性"，不适合嵌入式实时控制系统
浮点数运算存在精度漂移、舍入误差不可控 的问题，且软件模拟的浮点数运算耗时不固定（不同数值的运算指令数不同）。
而嵌入式实时系统（如电机 FOC、工业控制、信号调制）对运算耗时的确定性 和精度的可预测性要求极高：
- Q 格式的误差是量化误差（由小数位位数决定，如 Q15 的量化步长1/32767≈3.05×10−5），固定且可预测；
- Q 格式运算的耗时完全固定，和运算数值无关，能保证实时系统的时序稳定性。
三、ARM CMSIS-DSP Q格式定义
Q 完整格式表示为：Qm.n，表示数据用 m 比特表示整数部分，n 比特表示小数部分，共需要 m+n+1 位来表示这个数据，多余的一位用作符合位。
ARM CMSIS-DSP中，一般整数部分m都是0，因此，一般简记为Qn。
所有 Q 格式均为有符号数 ，最高位固定为符号位（0 正 1 负），剩余位数按 Qn 表示n 位小数的定点数格式，如 Q7=7 位小数，Q15=15 位小数，Q31=31 位小数；
Qn 格式的实际物理值 = 整数存储值 / 2^n；
Q15 的实际值 = 存储值 / 2^15 = 存储值 / 32768（注：因有符号数补码特性，实际用 32767 近似，误差可忽略）；
Q7 的实际值 = 存储值 / 2^7 = 存储值 / 128。
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