必看总结：
https://www.jianshu.com/p/83147d263ad1
参考： https://www.cnblogs.com/xianbin7/p/10720611.html
https://www.cnblogs.com/jinee/p/4419321.html
https://www.cnblogs.com/fanling999/p/6777335.html
计算一个女生10个男朋友有9个星座的概率
C(12,9)*C(9,1)*A(10,10)/A(2,2)/12^10
A:随机0到0.8 B:随机0到0.2，B>A 的概率
https://www.zhihu.com/question/65851742/answer/239938887
n个石头，甲乙两人轮流取1~2个石头，最后取石头的人输了，什么情况下甲一定赢
n是3的倍数甲就赢了（甲只要保证每轮都刚好凑满3个即可）
25匹马，5 个赛道，最少赛多少次找出前三没有计时，只有先后
7次。理由如下:
- 先分开赛5组（A-E）， 5次， 每组的最后两名肯定会被淘汰，（-10)。
- 5组第一名赛一次，假设A1 > B1 > C1 > D1＞E1，那么 A1肯定是总体第一名。则D，E全部被淘汰（-6） . 现在需要在剩下的里面取2个，那么C2，C3，B3也会被淘汰（-3) 。
- 那么就剩下A2，A3，B1，B2，C1了，再赛一次，取前两名（-3)。
最多7次比赛，前5次总共淘汰10匹，第6次淘汰9匹，第7次淘汰3匹。 总共淘汰22匹。
4只鸭子，随机在池塘中游走，请问四只鸭子能分到同一个半圆的概率是多少？
4只鸭子取一个画出连接圆心的一条直线，另外三只鸭子在一侧的概率是1/2，所以是（1/2）^3的概率这四只鸭子在同侧，四只鸭子取一个这个采样有4种，所以是4*(1/2)^3 = 1/2
n只的情况就是n*(1/2)^(n-1)
给定乱序的 1~100 ，从中挖掉两个数，给你一个存储单元和一个能加减存除的运算器，找出这两个数。
思路（我猜的）：
相加可以获得98个数的和，就能知道缺的两个数的和
相乘可以知道98个数的积，就能知道缺的两个数的积
然后列方程求解
几何分布的期望方差
几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次 伯努利试验 中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是： 前k-1次皆失败，第k次成功的概率 。
二项分布： 二项分布关心的"n次实验k次成功的概率"
x, y服从0-1均匀分布，求x+y<1的概率？x, y, z服从0-1均匀分布，求x+y+z<1的概率？
两个均匀分布的和两均匀分布随机变量之和不服从均匀分布，为什么？能举个例子吗？
抛硬币问题
- 两个人 轮流抛硬币，规定第一个抛出正面的人可以吃到苹果，请问先抛的人能吃到苹果的概率多大？（伯努利分布）
等比数列求和公式：
2.连续扔硬币，直到某一人获胜，A获胜条件是先正后反，B获胜是出现连续两次反面，问AB游戏时A获胜概率是？
A获胜的概率不好算，就算B获胜的概率就好了~
B获胜的条件只可能是最开始扔出反反，也就是硬币扔两次都是反。这是因为， 如果硬币出现过正，要不两个人都不赢，一直扔下去，肯定会出现反，那么A就获胜了。
所以B获胜的概率是1/4
那么A获胜的概率是3/4
3.小a和小b一起玩一个游戏，两个人一起抛掷一枚硬币，正面为H，反面为T。两个人把抛到的结果写成一个序列。如果出现HHT则小a获胜，游戏结束。如果HTT出现则小b获胜。小a想问一下他获胜的概率是多少？
首先，这是一个无限递归的问题，需要求极限：
1、b赢的线路更清晰一些，所以我们分析b赢的概率。
2、在一层递归里面，b确定赢的概率是1/4，但是剩下的1/4中，b可能输，也可能赢，赢的概率也是1/4
3、所以b=1/4+(1/4)^2+(1/4)^3+......=1/3 - 连续2次抛到硬币朝上 ，则游戏结束。问平均抛多少次游戏可以结束？
这类连续抛的问题，直接用E做
平均抛多少次，即是求问题的期望。
首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系：
T = 1/2(1 + T) + 1/2(1 + 1/2(1+0) + 1/2(1+T))， 得出 T = 6
抛硬币连续n次正面向上的期望次数
5.抛一个六面的色子，连续抛直到抛到6为止，问期望的抛的次数是多少?
因为每次抛到6的概率相等，都是1/6，于是期望的次数就是1/(1/6)=6次。
假设期望的次数为E。考虑第一次抛，如果已经抛到6了（概率为1/6），那么就不用再抛了。如果没抛到6（概率为5/6），那么还需要继续抛，可是还要抛多少次呢？显然，现在开始知道抛到6的次数仍然是E，但是刚刚已经抛了一次了于是可以得到这个等式
1/6的概率只要抛一次，5/6的概率要抛E+1次，因为第一次抛的不是6
E = 1 * 1/6 + (1 + E) * 5/6
解得 E = 6。即期望的次数为6次。
6. 若要使骰子 (六个面)的每个数都出现至少一次 ，那么平均需要掷多少次骰子？即求掷骰子次数的期望
相同题：一个木桶里面有M个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问将桶中球全部涂红的期望时间是多少？
你有一把宝剑。每使用一个宝石，有50%的概率会成功让宝剑升一级，50%的概率会失败。如果宝剑的级数大于等于5的话，那么失败会使得宝剑降1级。如果宝剑的级数小于5的话，失败没有效果。问题是：期望用多少个宝石可以让一把1级的宝剑升到9级？
掷n颗骰子出现的点数之和的数学期望与方差
（1）每一个骰子点数X
期望E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6=3.5；
E(X*X)=(1+4+9+16+25+36)/6=15.167；
D(X)=E(X*X)-E(X)=15.167-3.5方=2.916666667
（2）点数之和
点数之和Y的期望EY=n*3.5；方差DY=n*DX=2.9166666667n
生孩子问题
1.某国家非常重男轻女，若一户人家生了一个女孩，便再要一个，直到生下男孩为止，假设生男生女概率相等，请问平均每户人家有____个女孩。
"如果生了男孩，就不再生了"，一个家庭可能有多个女孩，只有一个男孩。我们来计算期望值，只用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1，女孩为S2. 。根据题目条件，男孩的个数期望值S1=1这个是不用计算了。
主要计算S2：
一个家庭的孩子数量可以为:1,2,3,4,5..... 对应的的男女分布为: "男","女男","女女男","女女女男","女女女女男" ...
对应的概率分布为 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。其中女孩的个数分别为 0,1,2,3,4......
因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + .........
用 错位相减法 ：S2=1/4+2/8+3/16+4/32+... 两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..
两个式子相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...=1. 所以期望值都为1， 男女比例是一样的 。
2. 有一对夫妇，先后生了两个孩子，其中一个孩子是女孩，问另一个孩子是男孩的概率是多大？
答案是2/3.两个孩子的性别有以下四种可能：（男男）（男女）（女男）（女女），其中一个是女孩，就排除了（男男），还剩三种情况。其中另一个是男孩的占了两种，2/3. 之所以答案不是1/2是因为女孩到底是第一个生的还是第二个生的是不确定的。
开箱子总结：
问题1 ： 有一个箱子，N把钥匙，只有一把钥匙能打开箱子，现在拿钥匙去看箱子。问恰好第k次打开箱子的概率?
第k次打开的概率= 
假设一段公路上，1小时内有汽车经过的概率为96%，那么，30分钟内有汽车经过的概率为?
96% 是见到 一辆或多辆汽车的概率，而不是仅见到一辆汽车的概率。在 1 小时内，见不到任何车辆的概率为 0.04 。因此在 30 分钟内见不到任何车辆的概率是这个值的平方根，而在 30 分钟内见到一辆车的概率则为 1 减去此平方根，也就是 80%
三门问题
三个宝箱里有一个宝箱里有宝物，两个是空的，你选了一个，主持人打开剩下2个中的一个发现没有宝物，问你换不换
不换的话,中奖概率为1/3
换了以后,中奖的概率为 (1-1/3)*1*1/1=2/3
换种解释方法：
把三个盒子分成2堆,一边1个盒子,一边2个盒子,你当然选择2个盒子的,主持人帮你打开一个空的,你再打开另外一个,相当于你把2个盒子都打开了.
不换的话,你只能打开一个盒子.
换种极限的例子,如果有100个盒子,只有1个盒子有奖,你先选1个,然后主持人打开98个空盒子,剩下1个,问你换不换 .你当然换了
一个四位数abcd，满足abcd * 4 = dcba，求这个数
a*4 没有进位，说明a=1或2，但是d*4的个位是a，不可能a=1，所以a=2;
d=a4=8;而且没有进位，说明b4+它的可能进位不超过10；
如果b=0：则c*4的个位需要是7，不存在，不符；
如果b=1：则c*4的个位需要是8，存c=2不符合，c=7符合，所以为2178；
如果b=2:则c*4的个位需要是9，不符；
有一个3L、一个5L的桶，请量出4L的水
5L桶装满水，倒入3L桶；此时5L中有2L水，3L桶中有3L水；
3L桶全部倒走，将5L桶的2L水道入3L桶中，此时5L桶中没有水，3L桶中有2L水；
将5L桶倒满水，然后向3L桶中倒水，此时3L桶水已满，5L桶中还剩4L水。