1 已知信息和要求解的问题
小明要到外地去参加一个庆典活动，他出行有3种方式------坐飞机、高铁和客运大巴。采用这3种交通方式的概率分别为30%、60%、10%。现已知乘坐这3种交通方式晚点的概率分别为20%、5%、30%。要求：
（1）小明晚点的概率。
（2）现在已知他晚点了，分别求他乘坐3种交通方式的概率。进一步分析，此时小明最有可能乘坐哪种交通方式。
2 求解第1问
设"坐飞机"为事件 A 1 A_{1} A1，"坐高铁"为事件 A 2 A_{2} A2,"坐客运大巴"为事件 A 3 A_{3} A3,则"乘坐交通工具"为事件A。再设"晚点"为事件B。
先来求解第1问。小明"晚点"的概率即为 P ( B ) P(B) P(B)。根据全概率公式，可得：
P ( B ) = ∑ i = 1 3 P ( B ∣ A i ) P ( A i ) = 0.3 × 0.2 + 0.6 × 0.05 + 0.1 × 0.3 \ \ \ \ P(B) = \sum_{i = 1}^{3}\left\lbrack P\left( B|A_{i} \right)P\left( A_{i} \right) \right\rbrack = 0.3 \times 0.2 + 0.6 \times 0.05 + 0.1 \times 0.3 P(B)=i=1∑3P(B∣Ai)P(Ai)=0.3×0.2+0.6×0.05+0.1×0.3
= 0.06 + 0.03 + 0.03 = 0.12 = 0.06 + 0.03 + 0.03 = 0.12 =0.06+0.03+0.03=0.12
要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。
答疑解惑：
**学生问：**老师，小明"晚点"不就是小明"乘坐交通工具晚点"？如果这样理解正确的话，那先要乘坐交通工具之后，才有可能晚点。因此这里的第1问应该理解为求 P ( B ∣ A ) P\left( B|A \right) P(B∣A)，对吗？
**老师答：**问得好。这种理解是对的，我欣赏这位同学的积极思考。我们一起来分析。题目其实隐藏着已知条件，即事件A"乘坐交通工具"的概率为 P ( A ) = 1 \ P(A) = 1 P(A)=1。这是什么意思呢？就是说小明必然"乘坐交通工具"，故事件A是必然事件。根据条件概率公式，有：
P ( B ∣ A ) = P ( B A ) P ( A ) P\left( B|A \right) = \frac{P(BA)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(BA)
前面我们已经学习过，必然事件和任意事件都独立，故 P ( B A ) = P ( B ) P ( A ) = P ( B ) P(BA) = P(B)P(A) = P(B) P(BA)=P(B)P(A)=P(B)。将 P ( B A ) = P ( B ) P(BA) = P(B) P(BA)=P(B)、 P ( A ) = 1 \ P(A) = 1 P(A)=1代入上面的条件概率公式，可得：
P ( B ∣ A ) = P ( B A ) P ( A ) = P ( B ) 1 = P ( B ) P\left( B|A \right) = \frac{P(BA)}{P(A)} = \frac{P(B)}{1} = P(B) P(B∣A)=P(A)P(BA)=1P(B)=P(B)
据此，我们可知 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P\left( B|A \right) = P(B) P(B∣A)=P(B)。这也进一步证实了小明"晚点"就是小明"乘坐交通工具晚点"。其实，大家做题分析习惯了，根本没有必要像我这样来解释，一看语义就明白了：必然事件前提下的事件就是事件本身。要想打好概率统计基础，大家可以参见清华大学出版社的《人人可懂的概率统计》。
2 求解第2问
再来求解第2问。先求"晚点"前提下，"坐飞机"的概率，即为 P ( A 1 ∣ B ) P\left( A_{1}|B \right) P(A1∣B)。根据贝叶斯公式，可得：
P ( A 1 ∣ B ) = P ( A 1 B ) P ( B ) = P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P ( B ) = 0.2 × 0.3 0.12 = 0.5 P\left( A_{1}|B \right) = \frac{P\left( A_{1}B \right)}{P(B)} = \frac{P\left( B|A_{1} \right)P\left( A_{1} \right)}{P(B)} = \frac{0.2 \times 0.3}{0.12} = 0.5 P(A1∣B)=P(B)P(A1B)=P(B)P(B∣A1)P(A1)=0.120.2×0.3=0.5
再来求"晚点"前提下，"坐高铁"的概率，即为 P ( A 2 ∣ B ) P\left( A_{2}|B \right) P(A2∣B)。根据贝叶斯公式，可得：
P ( A 2 ∣ B ) = P ( A 2 B ) P ( B ) = P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) P ( B ) = 0.05 × 0.6 0.12 = 0.25 P\left( A_{2}|B \right) = \frac{P\left( A_{2}B \right)}{P(B)} = \frac{P\left( B|A_{2} \right)P\left( A_{2} \right)}{P(B)} = \frac{0.05 \times 0.6}{0.12} = 0.25 P(A2∣B)=P(B)P(A2B)=P(B)P(B∣A2)P(A2)=0.120.05×0.6=0.25
最后求"晚点"前提下，"坐客运大巴"的概率，即为 P ( A 3 ∣ B ) P\left( A_{3}|B \right) P(A3∣B)。根据贝叶斯公式，可得：
P ( A 3 ∣ B ) = P ( A 3 B ) P ( B ) = P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) P ( B ) = 0.3 × 0.1 0.12 = 0.25 P\left( A_{3}|B \right) = \frac{P\left( A_{3}B \right)}{P(B)} = \frac{P\left( B|A_{3} \right)P\left( A_{3} \right)}{P(B)} = \frac{0.3 \times 0.1}{0.12} = 0.25 P(A3∣B)=P(B)P(A3B)=P(B)P(B∣A3)P(A3)=0.120.3×0.1=0.25
从计算机结果可知， P ( A 1 ∣ B ) P\left( A_{1}|B \right) P(A1∣B)的值最大，为0.5。可见，如果晚点，小明最有可能乘坐飞机。
答疑解惑：
**学生问：**老师，我想再追问一下，那如果没有晚点，乘坐哪种交通方式可能性更大？
**老师答：**这其实就是要分别求出 P ( A 1 ∣ B ‾ ) P\left( A_{1}|\overline{B} \right) P(A1∣B)、 P ( A 2 ∣ B ‾ ) P\left( A_{2}|\overline{B} \right) P(A2∣B)、 P ( A 3 ∣ B ‾ ) P\left( A_{3}|\overline{B} \right) P(A3∣B)。我们同样用贝叶斯公式求得：
P ( A 1 ∣ B ‾ ) = P ( A 1 B ‾ ) P ( B ‾ ) = P ( B ‾ ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P ( B ‾ ) = 1 − P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) 1 − P ( B ) = ( 1 − 0.2 ) × 0.3 1 − 0.12 ≈ 0.27 P\left( A_{1}|\overline{B} \right) = \frac{P\left( A_{1}\overline{B} \right)}{P\left( \overline{B} \right)} = \frac{P\left( \overline{B}|A_{1} \right)P\left( A_{1} \right)}{P\left( \overline{B} \right)} = \frac{\left\lbrack 1 - P\left( B|A_{1} \right) \right\rbrack P\left( A_{1} \right)}{1 - P(B)} = \frac{(1 - 0.2) \times 0.3}{1 - 0.12} \approx 0.27 P(A1∣B)=P(B)P(A1B)=P(B)P(B∣A1)P(A1)=1−P(B)1−P(B∣A1)P(A1)=1−0.12(1−0.2)×0.3≈0.27
P ( A 2 ∣ B ‾ ) = P ( A 2 B ‾ ) P ( B ‾ ) = P ( B ‾ ∣ A 2 ) P ( A 2 ) P ( B ‾ ) = 1 − P ( B ∣ A 2 ) P ( A 2 ) 1 − P ( B ) = ( 1 − 0.05 ) × 0.6 1 − 0.12 ≈ 0.65 P\left( A_{2}|\overline{B} \right) = \frac{P\left( A_{2}\overline{B} \right)}{P\left( \overline{B} \right)} = \frac{P\left( \overline{B}|A_{2} \right)P\left( A_{2} \right)}{P\left( \overline{B} \right)} = \frac{\left\lbrack 1 - P\left( B|A_{2} \right) \right\rbrack P\left( A_{2} \right)}{1 - P(B)} = \frac{(1 - 0.05) \times 0.6}{1 - 0.12} \approx 0.65 P(A2∣B)=P(B)P(A2B)=P(B)P(B∣A2)P(A2)=1−P(B)1−P(B∣A2)P(A2)=1−0.12(1−0.05)×0.6≈0.65
P ( A 3 ∣ B ‾ ) = P ( A 3 B ‾ ) P ( B ‾ ) = P ( B ‾ ∣ A 3 ) P ( A 3 ) P ( B ‾ ) = 1 − P ( B ∣ A 3 ) P ( A 3 ) 1 − P ( B ) = ( 1 − 0.3 ) × 0.1 1 − 0.12 ≈ 0.08 P\left( A_{3}|\overline{B} \right) = \frac{P\left( A_{3}\overline{B} \right)}{P\left( \overline{B} \right)} = \frac{P\left( \overline{B}|A_{3} \right)P\left( A_{3} \right)}{P\left( \overline{B} \right)} = \frac{\left\lbrack 1 - P\left( B|A_{3} \right) \right\rbrack P\left( A_{3} \right)}{1 - P(B)} = \frac{(1 - 0.3) \times 0.1}{1 - 0.12} \approx 0.08 P(A3∣B)=P(B)P(A3B)=P(B)P(B∣A3)P(A3)=1−P(B)1−P(B∣A3)P(A3)=1−0.12(1−0.3)×0.1≈0.08
显然"坐高铁"的可能性更大。贝叶斯公式都听懂了吧？不管有没有听懂，都来评论区说说你的想法、问出你的疑问吧。