【区间DP】括号序列：如何求解最长合法子序列？(POJ 2955)

在区间动态规划的题库中，"括号匹配"类问题占据了半壁江山。

很多同学分不清"最长合法子串 "和"最长合法子序列"的区别：

• 子串 (Substring)：必须连续。

• 子序列 (Subsequence)：可以不连续，中间可以跳过某些字符。

今天我们要解决的，就是一道经典的"子序列"问题。给定一个由 (、)、[、] 组成的字符串，求出其中最长的合法括号子序列的长度。

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1. 问题背景

题目描述：

给定一个长度为n () 的字符串S。我们要在这个字符串中挑选出一些字符，保持它们在原串中的相对顺序不变，组成一个新的字符串。

要求这个新字符串必须是"合法的括号序列"。

合法定义的递归形式如下：

1. 空串是合法的。

2. 如果A是合法的，那么 (A) 和 [A] 也是合法的。

3. 如果A和B是合法的，那么AB也是合法的。

目标：求这个最长合法子序列的长度。

样例：

输入：(( )) 输出：4

输入：([)] 输出：2 （可以是 () 或者 []，但不能交叉）

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2. 算法分析

这道题是典型的区间DP模型中的"端点匹配型"。

状态定义

我们定义dp[i][j]表示：字符串S中，从下标i到j的区间内，最长合法子序列的长度。

状态转移

对于区间[i, j]，我们依然采用"最后一步"的思维来推导。想要得到[i, j]的最优解，有两种大的构成方式：

策略一：两端匹配 (包围结构)

如果区间两端的字符S[i]和S[j]恰好能配对（即 () 或 []），那么它们有资格成为一对新的括号，包裹住中间的子序列。

dp[i][j] =

(注：前提是S[i]和S[j]必须匹配)

策略二：区间拼接 (并列结构)

无论两端是否匹配，最优解都有可能由两个独立的合法子序列拼凑而成。

我们枚举分割点k()，将大区间切分为[i, k]和[k+1, j]两部分：

dp[i][j] =

提示 ：这就解释了为什么代码中会有两层逻辑。第一层 if 处理"包围"，第二层 for k 处理"拼接"。这两种策略覆盖了所有合法括号序列的生成规则。

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3. 完整代码

//括号序列
#include <iostream>
#include <cstring>//对应memset
using namespace std;
char s[510];
int dp[510][510];//dp[i][j]代表s[i]-s[j]之间最长的合法子序列长度

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化dp为0
    //读入字符串，下标从1开始
    scanf("%s",s+1);
    //枚举区间长度 len代表区间长度 从小到大计算出所有所有区间的合法子序列长度，计算大区间必须先计算出小的
    for(int len=2;len<=n;len++){
        for(int i=1;i<=n-len+1;i++){//枚举：左端点i (确保 i+len-1不越界)
            int j=i+len-1;//右端点
            //1尝试"包围结构"，判断s[i]和s[j]是否配对
            if((s[i]=='('&&s[j]==')') ||(s[i]=='['&&s[j]==']'))
                //如果配对，长度=中间部分的长度 + 2
                //这里的dp[i+1][j-1]已经在len-2的时候算过了
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-1]+2);
        //2尝试"拼接结构"，枚举分割点k，取最大值，这个循环同时也覆盖了"丢弃 s[i]"或"丢弃 s[j]"的情况
            for(int k=i;k<j;k++){//分界线k
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[1][n];
    return 0;
}

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4. 易错点与总结

1. 子序列 vs 子串：

   这道题求的是子序列 ，所以我们可以利用 dp[i][k] + dp[k+1][j] 来进行拼接。如果是求子串（必须连续），则不能简单相加，需要更复杂的逻辑判断（通常涉及栈或更严格的 DP 状态）。

2. 为什么不需要专门处理"不选s[i]"的情况？

   有同学会问，为什么方程里没有写dp[i][j]=dp[i+1][j]？

   其实，代码中的 for(int k=i;k<j;k++) 已经包含了这种情况。

   • 当k=i时，dp[i][i] + dp[i+1][j]，因为dp[i][i]（单个字符）必然为0，所以这就等价于dp[i+1][j]。

   • 这个枚举k的循环很强大，它隐式地包含扔掉头和扔掉尾的决策。

3. 循环顺序：

   一定记得先枚举长度 len， 因为计算大区间 dp[i][j] 时，必须保证其内部的小区间（如 dp[i+1][j-1]）已经被计算过了。如果按 i, j 顺序枚举，可能会用到未更新的状态。

掌握了这道题，你就掌握了"括号区间 DP"的解题模板。以后遇到"括号匹配求最小添加数"之类的变种题，只需要把 max 改成 min，逻辑是一样的。