从零开始学AI8——机器学习1

摘要：本文系统介绍了线性回归模型及其实现方法。线性回归通过最小化预测值与真实值的均方误差来拟合数据，可用于房价预测等连续值预测问题。文章详细推导了两种核心优化算法：梯度下降法（迭代优化）和正规方程法（解析解），并对比了它们的特性。通过Python代码实现了三种方法（手动正规方程、手动梯度下降、sklearn库），在模拟房价数据集上验证了一致性（截距27.28，面积系数0.51，卧室系数8.22），R²达到0.94。结果表明，不同方法在参数估计和预测效果上完全一致，其中梯度下降需特征缩放和迭代，正规方程适合小规模数据，而sklearn实现最为简洁高效。

线性回归 (Linear Regression):

原理： 在数据点中画一条直线（y=wx+by=wx+b），让所有点到线的距离之和最小。
场景： 预测房价、预测下个季度的销量。

线性回归（Linear Regression）是机器学习中最基础、最经典的算法。它的数学推导非常优美，主要通过最小二乘法 (Least Squares) 来完成。

我们有两种主要的推导路径：

矩阵求导法 (Normal Equation)：一步算出解析解（适合数据量不大时）。
梯度下降法 (Gradient Descent)：通过迭代逼近最优解（适合数据量巨大时）。

从以下几个步骤进行：

模型表示 (Model Representation)：如何用数学语言描述"线性关系"。
代价函数 (Cost Function)：如何衡量我们模型的预测好坏。
优化目标 (Optimization Objective)：我们的目标是最小化代价函数。
优化算法 (Optimization Algorithm) ：如何找到让代价函数最小的参数。这里主要介绍两种核心方法：
- 梯度下降法 (Gradient Descent)：一种迭代求解的方法。
- 正规方程法 (Normal Equation)：一种解析求解的数学方法。

1. 模型表示 (Model Representation)

假设我们有一个数据集，包含 m 个样本。每个样本有 n 个特征（features）和一个目标值（target）。

第 i 个样本的特征可以表示为一个向量：x(i)=(x1(i),x2(i),...,xn(i))x(i)=(x1(i),x2(i),...,xn(i))
第 i 个样本的目标值是：y(i)y(i)

线性回归的目标是找到一个线性函数，使其能够最好地拟合这些数据。

单变量线性回归 (Simple Linear Regression)

如果只有一个特征 (n=1)，模型非常简单：

h_\\theta(x) = \\theta_0 + \\theta_1 x

这里：

hθ(x)hθ(x) 是我们的预测函数（hypothesis）。
θ0θ0 是截距项（intercept term），也叫偏置项（bias）。
θ1θ1 是特征 xx 的权重（weight）或系数（coefficient）。

多变量线性回归 (Multiple Linear Regression)

当有多个特征 (n > 1) 时，模型扩展为：

h_\\theta(x) = \\theta_0 + \\theta_1 x_1 + \\theta_2 x_2 + ... + \\theta_n x_n

为了简化表达，我们引入一个技巧：

增加一个恒为 1 的特征 x0x0。
将参数 θ0,θ1,...,θnθ0,θ1,...,θn 写成一个向量 θ=[θ0,θ1,...,θn]Tθ=[θ0,θ1,...,θn]T。
将每个样本的特征（加上 x0=1x0=1）写成一个向量 x=[x0,x1,...,xn]Tx=[x0,x1,...,xn]T。

这样，模型就可以用非常简洁的向量形式表示：

h_\\theta(x) = \\theta\^T x

其中 θTθT 是 θθ 的转置。

2. 代价函数 (Cost Function)

我们的模型预测值是 hθ(x(i))hθ(x(i))，而真实值是 y(i)y(i)。我们希望预测值和真实值之间的差距（即"误差"或"残差"）尽可能小。

如何衡量所有样本的总体误差呢？最常用的方法是均方误差 (Mean Squared Error, MSE)。

对于单个样本 ii，其平方误差是：(hθ(x(i))−y(i))2(hθ(x(i))−y(i))2

对于所有 m 个样本，我们将它们的平方误差加起来再取平均值，就得到了代价函数 J(θ)J(θ)：

J(\\theta) = \\frac{1}{m} \\sum_{i=1}\^{m} (h_\\theta(x\^{(i)}) - y\^{(i)})\^2

为了后续求导计算方便，我们通常会在前面乘以一个 1221（这不影响最终结果，因为我们只关心使 J(θ)J(θ) 最小的 θθ 值）：

J(\\theta) = \\frac{1}{2m} \\sum_{i=1}\^{m} (h_\\theta(x\^{(i)}) - y\^{(i)})\^2

将 hθ(x(i))=θTx(i)hθ(x(i))=θTx(i) 代入，得到：

J(\\theta) = \\frac{1}{2m} \\sum_{i=1}\^{m} (\\theta\^T x\^{(i)} - y\^{(i)})\^2

这个函数是一个关于参数 θθ 的二次函数，它是一个凸函数，这意味着它只有一个全局最小值，没有局部最小值。

3. 优化目标

我们的目标非常明确：

\\min_{\\theta} J(\\theta)

即，找到一组参数 θθ，使得代价函数 J(θ)J(θ) 的值最小。

4. 优化算法

方法一：梯度下降法 (Gradient Descent)

梯度下降是一种迭代优化算法。它的思想是：从一个随机的 θθ 值开始，计算当前位置的梯度（即导数），然后沿着梯度的反方向（下降最快的方向）移动一小步，重复这个过程，直到收敛到最小值点。

算法步骤：

初始化参数 θθ（例如，全部设为0）。
重复以下更新步骤，直到收敛：
\\theta_j := \\theta_j - \\alpha \\frac{\\partial}{\\partial \\theta_j} J(\\theta) \\quad (\\text{for every } j=0, ..., n)
其中：
- θjθj 是参数向量中的第 jj 个参数。
- αα 是学习率 (learning rate)，控制每一步下降的步长。
- ∂∂θjJ(θ)∂θj∂J(θ) 是代价函数对参数 θjθj 的偏导数（即梯度的一个分量）。

推导偏导数项：

我们来计算 ∂∂θjJ(θ)∂θj∂J(θ)：

∂∂θjJ(θ)=∂∂θj[12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2]=12m∑i=1m∂∂θj(hθ(x(i))−y(i))2∂θj∂J(θ)=∂θj∂[2m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))2]=2m1i=1∑m∂θj∂(hθ(x(i))−y(i))2

根据链式法则，dduu2=2ududu2=2u：

=12m∑i=1m2(hθ(x(i))−y(i))⋅∂∂θj(hθ(x(i))−y(i))=1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))⋅∂∂θj(∑k=0nθkxk(i)−y(i))=2m1i=1∑m2(hθ(x(i))−y(i))⋅∂θj∂(hθ(x(i))−y(i))=m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))⋅∂θj∂(k=0∑nθkxk(i)−y(i))

当对 θjθj 求偏导时，只有 θjxj(i)θjxj(i) 这一项与 θjθj 有关，其导数为 xj(i)xj(i)。

=1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))⋅xj(i)=m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))⋅xj(i)

梯度下降更新规则：

将推导出的偏导数代入更新规则，我们得到：

\\theta_j := \\theta_j - \\alpha \\frac{1}{m} \\sum_{i=1}\^{m} (h_\\theta(x\^{(i)}) - y\^{(i)}) x_j\^{(i)}

这个更新规则需要同时更新 所有的 θjθj (for j = 0, 1, ..., n)。在每次迭代中，我们计算所有样本的误差总和，然后更新参数，这被称为批量梯度下降 (Batch Gradient Descent)。

方法二：正规方程法 (Normal Equation)

正规方程提供了一种直接求解 θθ 的解析方法，而无需进行迭代。其核心思想是：对于凸函数，其导数为0的点就是最小值点。

推导过程（使用矩阵表示）：

将所有训练数据表示为矩阵和向量：
- 特征矩阵 X ：一个 m x (n+1) 的矩阵，每一行是一个样本 x(i)Tx(i)T（包含了 x0=1x0=1）。X=((x(1))T(x(2))T⋮(x(m))T)=(x0(1)x1(1)⋯xn(1)x0(2)x1(2)⋯xn(2)⋮⋮⋱⋮x0(m)x1(m)⋯xn(m))X=(x(1))T(x(2))T⋮(x(m))T=x0(1)x0(2)⋮x0(m)x1(1)x1(2)⋮x1(m)⋯⋯⋱⋯xn(1)xn(2)⋮xn(m)
- 目标向量 y ：一个 m x 1 的向量，包含了所有真实值。 $y = \[y\^{(1)}, y\^{(2)}, ..., y\^{(m)}\]\^T$
- 参数向量 θθ ：一个 (n+1) x 1 的向量。
用矩阵形式重写代价函数 J(θ)J(θ)：
- 所有样本的预测值向量可以写为 XθXθ。
- 误差向量为 Xθ−yXθ−y。
- 平方误差之和 ∑(hθ(x(i))−y(i))2∑(hθ(x(i))−y(i))2 等价于误差向量的内积 (Xθ−y)T(Xθ−y)(Xθ−y)T(Xθ−y)。
所以，代价函数可以表示为：

J(\\theta) = \\frac{1}{2m} (X\\theta - y)\^T (X\\theta - y)
对 J(θ)J(θ) 求关于向量 θθ 的梯度 ∇θJ(θ)∇θJ(θ) 并使其为0。

展开 J(θ)J(θ)：

(Xθ−y)T(Xθ−y)=(θTXT−yT)(Xθ−y)=θTXTXθ−θTXTy−yTXθ+yTy(Xθ−y)T(Xθ−y)=(θTXT−yT)(Xθ−y)=θTXTXθ−θTXTy−yTXθ+yTy

由于 θTXTyθTXTy 是一个标量，它的转置等于它自身，即 θTXTy=(yTXθ)T=θTXTyθTXTy=(yTXθ)T=θTXTy。所以上式可以合并为：

(X\\theta - y)\^T (X\\theta - y) = \\theta\^T X\^T X \\theta - 2\\theta\^T X\^T y + y\^T y
现在对 J(θ)=12m(θTXTXθ−2θTXTy+yTy)J(θ)=2m1(θTXTXθ−2θTXTy+yTy) 求梯度。使用矩阵微积分法则：
- ∇θ(θTAθ)=2Aθ∇θ(θTAθ)=2Aθ (当A为对称矩阵时，而 XTXXTX 是对称的)
- ∇θ(cTθ)=c∇θ(cTθ)=c
得到梯度：
∇θJ(θ)=12m∇θ(θTXTXθ−2θTXTy+yTy)=12m(2XTXθ−2XTy+0)=1m(XTXθ−XTy)∇θJ(θ)=2m1∇θ(θTXTXθ−2θTXTy+yTy)=2m1(2XTXθ−2XTy+0)=m1(XTXθ−XTy)
令梯度为0：

XTXθ−XTy=0XTXθ−XTy=0XTXθ=XTyXTXθ=XTy
解出 θθ：
$\\theta = (X\^T X)\^{-1} X\^T y$
这就是正规方程。它提供了一个直接计算最优 θθ 的公式。

总结与对比

特性	梯度下降法 (Gradient Descent)	正规方程法 (Normal Equation)
求解方式	迭代算法	解析解，一次性计算
学习率 α	需要手动选择一个合适的 αα	无需选择学习率
计算复杂度	每次迭代复杂度为 O(m*n)，总复杂度依赖于迭代次数	O(n³)，主要是因为计算 (XTX)−1(XTX)−1 的逆矩阵
特征数量 n	当 n 非常大时（如 > 10,000），表现良好	当 n 很大时，计算 (XTX)−1(XTX)−1 非常慢，甚至不可行
数据量 m	对 m 大小不敏感（特别是随机/小批量梯度下降）	对 m 大小不敏感
特征缩放	建议进行特征缩放以加速收敛	无需进行特征缩放
适用性	适用于各种规模的数据集，是更通用的优化方法	仅适用于线性回归，且当特征数 n 较小时效率高

线性回归经典问题：房价预测

问题描述

根据房屋的面积和卧室数量预测房价。

特征	说明
面积 (Area)	房屋面积，单位：平方米
卧室数 (Bedrooms)	卧室数量
房价 (Price)	目标变量，单位：万元

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ============================================================
# 第一部分：生成模拟数据
# ============================================================
np.random.seed(42)
m = 100  # 样本数量

# 特征生成
area = np.random.uniform(50, 200, m)      # 面积: 50-200平方米
bedrooms = np.random.randint(1, 6, m)     # 卧室: 1-5个

# 真实房价模型: 价格 = 30 + 0.5*面积 + 8*卧室数 + 噪声
# 即：基础价30万，每平方米0.5万，每个卧室增加8万
TRUE_PARAMS = {'intercept': 30, 'area': 0.5, 'bedrooms': 8}
price = (TRUE_PARAMS['intercept'] + 
         TRUE_PARAMS['area'] * area + 
         TRUE_PARAMS['bedrooms'] * bedrooms + 
         np.random.normal(0, 8, m))  # 添加噪声

# 打印数据样例
print("=" * 60)
print("数据样例（前5条）:")
print("-" * 60)
print(f"{'面积(㎡)':<12} {'卧室数':<10} {'房价(万元)':<12}")
print("-" * 60)
for i in range(5):
    print(f"{area[i]:<12.1f} {bedrooms[i]:<10} {price[i]:<12.1f}")
print("=" * 60)

# ============================================================
# 第二部分：数据准备
# ============================================================
# 构建特征矩阵 X（添加偏置列x0=1）
X = np.column_stack([np.ones(m), area, bedrooms])  # shape: (100, 3)
y = price  # shape: (100,)

print(f"\n特征矩阵 X 形状: {X.shape}")
print(f"目标向量 y 形状: {y.shape}")

# ============================================================
# 第三部分：手动实现 - 正规方程法
# ============================================================
def normal_equation(X, y):
    """
    正规方程求解: θ = (X^T X)^(-1) X^T y
    """
    theta = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y
    return theta

theta_normal = normal_equation(X, y)

print("\n" + "=" * 60)
print("方法1: 正规方程法 (Normal Equation)")
print("=" * 60)
print(f"θ0 (截距):     {theta_normal[0]:.4f}")
print(f"θ1 (面积系数): {theta_normal[1]:.4f}")
print(f"θ2 (卧室系数): {theta_normal[2]:.4f}")

# ============================================================
# 第四部分：手动实现 - 梯度下降法
# ============================================================
def feature_normalize(X):
    """
    特征标准化: (x - mean) / std
    注意：第0列是偏置项，不需要标准化
    """
    X_norm = X.copy()
    mu = np.zeros(X.shape[1])
    sigma = np.ones(X.shape[1])
    
    for i in range(1, X.shape[1]):  # 从第1列开始
        mu[i] = X[:, i].mean()
        sigma[i] = X[:, i].std()
        X_norm[:, i] = (X[:, i] - mu[i]) / sigma[i]
    
    return X_norm, mu, sigma


def gradient_descent(X, y, alpha=0.01, iterations=1000, verbose=False):
    """
    批量梯度下降法
    
    参数:
        X: 特征矩阵 (m, n+1)
        y: 目标向量 (m,)
        alpha: 学习率
        iterations: 迭代次数
        verbose: 是否打印过程
    
    返回:
        theta: 最优参数
        cost_history: 代价函数历史记录
    """
    m, n = X.shape
    theta = np.zeros(n)  # 初始化参数为0
    cost_history = []
    
    for i in range(iterations):
        # 预测值
        predictions = X @ theta
        
        # 误差
        errors = predictions - y
        
        # 计算梯度
        gradient = (1/m) * (X.T @ errors)
        
        # 更新参数
        theta = theta - alpha * gradient
        
        # 记录代价
        cost = (1/(2*m)) * np.sum(errors**2)
        cost_history.append(cost)
        
        if verbose and i % 200 == 0:
            print(f"迭代 {i:4d}: 代价 = {cost:.4f}")
    
    return theta, cost_history


# 特征标准化（梯度下降需要）
X_norm, mu, sigma = feature_normalize(X)

# 运行梯度下降
theta_gd_norm, cost_history = gradient_descent(
    X_norm, y, 
    alpha=0.1, 
    iterations=1000, 
    verbose=True
)

# 将标准化后的参数转换回原始尺度
# 原始预测: y = θ0' + θ1'*x1 + θ2'*x2
# 标准化预测: y = θ0 + θ1*((x1-μ1)/σ1) + θ2*((x2-μ2)/σ2)
# 展开: y = (θ0 - θ1*μ1/σ1 - θ2*μ2/σ2) + (θ1/σ1)*x1 + (θ2/σ2)*x2
theta_gd = np.zeros(3)
theta_gd[1] = theta_gd_norm[1] / sigma[1]
theta_gd[2] = theta_gd_norm[2] / sigma[2]
theta_gd[0] = theta_gd_norm[0] - theta_gd[1]*mu[1] - theta_gd[2]*mu[2]

print("\n" + "=" * 60)
print("方法2: 梯度下降法 (Gradient Descent)")
print("=" * 60)
print(f"θ0 (截距):     {theta_gd[0]:.4f}")
print(f"θ1 (面积系数): {theta_gd[1]:.4f}")
print(f"θ2 (卧室系数): {theta_gd[2]:.4f}")

# ============================================================
# 第五部分：使用 sklearn 实现
# ============================================================
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score

# 准备数据（sklearn不需要手动添加偏置列）
X_sklearn = np.column_stack([area, bedrooms])  # shape: (100, 2)

# 创建并训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_sklearn, y)

# 获取参数
theta_sklearn = np.array([model.intercept_, *model.coef_])

print("\n" + "=" * 60)
print("方法3: sklearn LinearRegression")
print("=" * 60)
print(f"θ0 (截距):     {model.intercept_:.4f}")
print(f"θ1 (面积系数): {model.coef_[0]:.4f}")
print(f"θ2 (卧室系数): {model.coef_[1]:.4f}")

# ============================================================
# 第六部分：结果对比与评估
# ============================================================
print("\n" + "=" * 60)
print("结果对比")
print("=" * 60)
print(f"{'参数':<12} {'真实值':<12} {'正规方程':<12} {'梯度下降':<12} {'sklearn':<12}")
print("-" * 60)
print(f"{'截距':<12} {TRUE_PARAMS['intercept']:<12.4f} {theta_normal[0]:<12.4f} {theta_gd[0]:<12.4f} {theta_sklearn[0]:<12.4f}")
print(f"{'面积系数':<12} {TRUE_PARAMS['area']:<12.4f} {theta_normal[1]:<12.4f} {theta_gd[1]:<12.4f} {theta_sklearn[1]:<12.4f}")
print(f"{'卧室系数':<12} {TRUE_PARAMS['bedrooms']:<12.4f} {theta_normal[2]:<12.4f} {theta_gd[2]:<12.4f} {theta_sklearn[2]:<12.4f}")

# 计算预测值和评估指标
y_pred = X @ theta_normal
mse = mean_squared_error(y, y_pred)
rmse = np.sqrt(mse)
r2 = r2_score(y, y_pred)

print("\n" + "=" * 60)
print("模型评估指标")
print("=" * 60)
print(f"均方误差 (MSE):  {mse:.4f}")
print(f"均方根误差 (RMSE): {rmse:.4f}")
print(f"决定系数 (R²):   {r2:.4f}")

# ============================================================
# 第七部分：可视化
# ============================================================
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# 图1: 面积 vs 房价（散点图）
ax1 = axes[0, 0]
scatter = ax1.scatter(area, price, c=bedrooms, cmap='viridis', 
                       alpha=0.7, edgecolors='black', linewidth=0.5)
ax1.set_xlabel('Area (sqm)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('Price (10k yuan)', fontsize=12)
ax1.set_title('House Price vs Area (colored by bedrooms)', fontsize=14)
plt.colorbar(scatter, ax=ax1, label='Bedrooms')

# 图2: 预测值 vs 真实值
ax2 = axes[0, 1]
ax2.scatter(y, y_pred, alpha=0.7, edgecolors='black', linewidth=0.5)
ax2.plot([y.min(), y.max()], [y.min(), y.max()], 'r--', linewidth=2, label='Perfect Prediction')
ax2.set_xlabel('Actual Price', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('Predicted Price', fontsize=12)
ax2.set_title(f'Predicted vs Actual (R² = {r2:.4f})', fontsize=14)
ax2.legend()

# 图3: 残差分布
ax3 = axes[1, 0]
residuals = y - y_pred
ax3.hist(residuals, bins=20, edgecolor='black', alpha=0.7)
ax3.axvline(x=0, color='red', linestyle='--', linewidth=2)
ax3.set_xlabel('Residuals', fontsize=12)
ax3.set_ylabel('Frequency', fontsize=12)
ax3.set_title('Residual Distribution', fontsize=14)

# 图4: 梯度下降收敛曲线
ax4 = axes[1, 1]
ax4.plot(cost_history, linewidth=2)
ax4.set_xlabel('Iterations', fontsize=12)
ax4.set_ylabel('Cost J(θ)', fontsize=12)
ax4.set_title('Gradient Descent Convergence', fontsize=14)
ax4.set_yscale('log')
ax4.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('linear_regression_results.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# ============================================================
# 第八部分：使用模型进行预测
# ============================================================
print("\n" + "=" * 60)
print("预测示例")
print("=" * 60)

# 预测新房价
new_houses = np.array([
    [100, 2],   # 100平米, 2卧室
    [150, 3],   # 150平米, 3卧室
    [200, 4],   # 200平米, 4卧室
])

print(f"{'面积(㎡)':<12} {'卧室数':<10} {'预测房价(万元)':<15}")
print("-" * 40)

for house in new_houses:
    area_new, bedrooms_new = house
    # 使用公式预测: price = θ0 + θ1*area + θ2*bedrooms
    predicted_price = theta_normal[0] + theta_normal[1]*area_new + theta_normal[2]*bedrooms_new
    print(f"{area_new:<12.0f} {bedrooms_new:<10.0f} {predicted_price:<15.2f}")

python 复制代码

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数据样例（前5条）:
------------------------------------------------------------
面积(㎡)       卧室数       房价(万元)     
------------------------------------------------------------
68.5         4          103.8       
147.6        4          116.4       
114.4        3          99.7        
130.3        3          100.1       
64.0         4          79.2        
============================================================

特征矩阵 X 形状: (100, 3)
目标向量 y 形状: (100,)

迭代    0: 代价 = 4134.9380
迭代  200: 代价 = 30.5765
迭代  400: 代价 = 30.5673
迭代  600: 代价 = 30.5673
迭代  800: 代价 = 30.5673

============================================================
方法1: 正规方程法 (Normal Equation)
============================================================
θ0 (截距):     27.2847
θ1 (面积系数): 0.5090
θ2 (卧室系数): 8.2174

============================================================
方法2: 梯度下降法 (Gradient Descent)
============================================================
θ0 (截距):     27.2847
θ1 (面积系数): 0.5090
θ2 (卧室系数): 8.2174

============================================================
方法3: sklearn LinearRegression
============================================================
θ0 (截距):     27.2847
θ1 (面积系数): 0.5090
θ2 (卧室系数): 8.2174

============================================================
结果对比
============================================================
参数           真实值         正规方程        梯度下降        sklearn      
------------------------------------------------------------
截距           30.0000      27.2847      27.2847      27.2847     
面积系数        0.5000       0.5090       0.5090       0.5090      
卧室系数        8.0000       8.2174       8.2174       8.2174      

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模型评估指标
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均方误差 (MSE):  61.1346
均方根误差 (RMSE): 7.8188
决定系数 (R²):   0.9413

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预测示例
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面积(㎡)       卧室数       预测房价(万元)    
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100          2          94.52          
150          3          128.45         
200          4          162.38

核心代码对比

方法	核心代码	特点
正规方程	`θ = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y`	一行代码，直接求解
梯度下降	`θ = θ - α * (1/m) * X.T @ (X@θ - y)`	需要迭代，需要特征缩放
sklearn	`model.fit(X, y)`	最简洁，自动处理所有细节

三种方法得到的结果完全一致，验证了我们手动实现的正确性！