一、向量
Bra 和 ket 由保罗·狄拉克引入，分别用于表示行向量和列向量。
假设有两个向量 v=(0,1)v=(0,1)v=(0,1), w=(1,0)w=(1,0)w=(1,0)。
www 横着写成行向量 w=[10]w=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}w=[10]，即 www 的 bra，记作 ⟨w∣\langle w |⟨w∣，也称 www 的左矢；
vvv 竖着写成列向量 v=[01]v=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}v=[01]，即 vvv 的 ket，记作 ∣v⟩|v\rangle∣v⟩，也称 vvv 的右矢；
二、Bra-ket内积
把 ⟨w∣\langle w |⟨w∣ 与 ∣v⟩|v\rangle∣v⟩ 合在一起，两条竖线简写为一条，即
⟨w∣v⟩=[10][01]=1∗0+0∗1=0\langle w |v\rangle=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=1*0+0*1=0⟨w∣v⟩=[10][01]=1∗0+0∗1=0
其实就是向量的内积。
内积为 0 的两个向量相互正交。
三、量子叠加态
假设量子上旋记作 ∣0⟩=[10]|0\rangle=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}∣0⟩=[10]，量子下旋记作 ∣1⟩=[01]|1\rangle=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}∣1⟩=[01]。
在量子状态测量坍塌前不知道是上旋还是下旋，即处于 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 和 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 的叠加态，记为 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩。
∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle=α|0\rangle+β|1\rangle∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩ 表示当前状态上旋的概率为 α2α^2α2，下旋的概率为 β2β^2β2 。
如 ∣ψ⟩=12∣01⟩=12∣0⟩+12∣1⟩|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle∣ψ⟩=2 1∣01⟩=2 1∣0⟩+2 1∣1⟩ 表示，上旋的概率为 (12)2=12(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}(2 1)2=21，下旋的概率为 (12)2=12(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}(2 1)2=21 。