【读论文】引力是熵力（2）

文章目录

- 四、结论
- 附录A：阿贝尔规范场的纳入
- 附录B：度规$G_{(1)}$和一般度规$G_{(n)}$的本征值与熵
- - [B.1 度规矩阵$G_{(n)}$的本征值](#B.1 度规矩阵 $G_{(n)}$ 的本征值)
  - [B.2 度规张量$G_{(n)}$的扁平化与矩阵本征值问题的约化](#B.2 度规张量 $G_{(n)}$ 的扁平化与矩阵本征值问题的约化)
  - [B.3 度规张量$G_{(n)}$的迹](#B.3 度规张量 $G_{(n)}$ 的迹)
  - [B.4 度规张量$G_{(n)}$的熵](#B.4 度规张量 $G_{(n)}$ 的熵)
- 附录C：作为量子算符的拓扑度规
- 参考文献

四、结论

本文提出了一种基于统计力学和信息论作用量的修正引力理论。该理论的核心思想是将度规与量子算符相关联------该量子算符充当可重整化的有效密度矩阵。具体而言，本文讨论了两类度规：

完全定义时空几何的时空度规；
有效使时空弯曲的物质场诱导度规。

时空几何与物质场的相互作用，通过时空度规与物质场诱导度规之间的量子相对熵所定义的作用量，得到了明确刻画。

本文构建了与引力这一基本物理诠释相一致的洛伦兹不变理论 。为实现这一目标，我们建立了必要的数学框架，以洛伦兹不变的方式定义了度规张量的熵和互熵。当物质场被描述为0-形式、1-形式和2-形式直和构成的拓扑狄拉克-凯勒玻色子，且诱导度规同时依赖于时空曲率时，该框架会涌现出一种修正引力理论。在低耦合条件下，修正爱因斯坦方程退化为爱因斯坦方程。

通过引入G-场，我们得到了修正爱因斯坦方程以及物质场和G-场的运动方程。该理论表明，所提出的熵作用量表现为修正爱因斯坦-希尔伯特作用量与物质作用量之和。值得注意的是，修正爱因斯坦-希尔伯特作用量中涌现出一个仅依赖于G-场的正宇宙学常数 。此外，得益于G-场的引入，修正引力方程在度规、物质场和G-场中均保持二阶形式。

将拓扑度规张量解释为量子算符（或有效密度矩阵）的做法被证明是非常有效的------在这一诠释中，我们放宽了密度矩阵迹为1的约束，但要求其具有可逆性。这些选择的动机是为了构建洛伦兹不变理论。本文建立了所采用的量子相对熵作用量与荒木量子相对熵的关联 [ 37 ] ^{[37]} [37]，为利用量子冯·诺依曼代数理论和纠缠理论 [ 17 ] ^{[17]} [17]进一步研究该理论的性质开辟了新的视角。

总之，我们希望这一方法能够帮助揭示引力、量子力学和统计物理之间的深层联系。鉴于度规被解释为量子算符，我们期望该方法也能为构建二次量子化的量子引力理论提供有益的启示。最后，后续研究可探索G-场在暗物质中可能扮演的角色，其他研究方向还包括在重整化群下研究所提出的熵作用量，以及探索该理论与唯象学和实验结果的可能关联。

本研究部分得到了西蒙斯基金会（Simons Foundation）的资助。作者感谢剑桥大学艾萨克·牛顿数学科学研究所（Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences）在"超图：理论与应用"项目期间提供的支持和款待，本研究的部分工作正是在该项目期间完成的。本研究还得到了英国工程与物理科学研究委员会（EPSRC）资助（项目编号：EP/V521929/1）。

附录A：阿贝尔规范场的纳入

阿贝尔规范场(A_{\mu})可轻松纳入本文提出的一般框架。我们定义算符(\tilde{F})为：
F ~ = 0 ⊕ 0 μ d x μ ⊕ F μ ν F ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (A1) \tilde{F}=0\oplus 0^{\mu }dx_{\mu }\oplus F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\left(dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}\right)\otimes \left(dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}\right) \tag{A1} F~=0⊕0μdxμ⊕FμνFρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(A1)

其中(F_{\mu \nu}=\nabla_{\mu} A_{\nu}-\nabla_{\nu} A_{\mu})（场强张量）。物质场诱导度规的表达式修正为：
G ~ = g ~ + α ( M ~ + F ~ ) − β R ~ (A2) \tilde{G}=\tilde{g}+\alpha(\tilde{M}+\tilde{F})-\beta \tilde{\mathcal{R}} \tag{A2} G~=g~+α(M~+F~)−βR~(A2)

需要注意的是，在该表达式中，我们同时修正了(M)的定义------狄拉克算符的定义与式（32）一致，但需在协变导数中进行最小替换：
∇ μ → ∇ μ ( A ) = ∇ μ − i ϵ A μ (A3) \nabla_{\mu} \to \nabla_{\mu}^{(A)}=\nabla_{\mu}-i \epsilon A_{\mu} \tag{A3} ∇μ→∇μ(A)=∇μ−iϵAμ(A3)

附录B：度规(G_{(1)})和一般度规(G_{(n)})的本征值与熵

本附录的目标是利用代数几何 [ 54 ] ^{[54]} [54]，定义作为n-形式间量子算符的度规(G_{(n)})的本征值及其关联熵。为建立这一处理方法的基础，我们首先回顾第二节中关于1-形式间量子算符度规(G_{(1)})的本征矢量和关联熵的定义，并将其推广到任意阶n-形式间量子算符度规张量(G_{(n)})的情形。

B.1 度规矩阵(G_{(n)})的本征值

1-形式可表示为：
ω = ω ρ d x ρ (B1) \omega=\omega_{\rho} d x^{\rho} \tag{B1} ω=ωρdxρ(B1)

度规(G_{(1)})可解释为两个1-形式间的量子算符，其表达式为：
G ( 1 ) = [ G ( 1 ) ] μ ν d x μ ⊗ d x ν (B2) G_{(1)}=[G_{(1)}]_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu} \tag{B2} G(1)=[G(1)]μνdxμ⊗dxν(B2)

其中([G_{(1)}]{\mu \nu})为厄米张量。度规(G {(1)})与一般1-形式(\omega)的点积定义为：
G ( 1 ) ⋅ ω = ω ^ = ω ^ μ d x μ (B3) G_{(1)}\cdot \omega =\hat{\omega}=\hat{\omega}_{\mu}dx^{\mu} \tag{B3} G(1)⋅ω=ω^=ω^μdxμ(B3)

其中，根据定义：
ω ^ μ : = [ G ( 1 ) ] μ ν ω ρ < d x ν , d x ρ > (B4) \hat{\omega}{\mu}:=\left[ G{(1)}\right] _{\mu \nu }\omega _{\rho }\left< dx^{\nu },dx^{\rho }\right> \tag{B4} ω^μ:=[G(1)]μνωρ⟨dxν,dxρ⟩(B4)

本文中，(\left< \cdot, \cdot \right>)表示n-形式间的内积。因此，对于标准1-形式，有：
< d x ν , d x ρ > = g ν ρ (B5) \left< dx^{\nu },dx^{\rho }\right> =g^{\nu \rho } \tag{B5} ⟨dxν,dxρ⟩=gνρ(B5)

将该表达式代入式（B4），可得：
ω ^ μ = [ G ( 1 ) ] μ ν g ν ρ ω ρ (B6) \hat{\omega}{\mu}=\left[G{(1)}\right]{\mu \nu} g^{\nu \rho} \omega{\rho} \tag{B6} ω^μ=[G(1)]μνgνρωρ(B6)

综上，根据我们的定义，有：
G ( 1 ) ⋅ ω = [ G ( 1 ) ] μ ν g ν ρ ω ρ d x μ (B7) G_{(1)}\cdot \omega =[G_{(1)}]_{\mu \nu }g^{\nu \rho }\omega _{\rho }dx^{\mu} \tag{B7} G(1)⋅ω=[G(1)]μνgνρωρdxμ(B7)

度规(G_{(1)})的本征值问题定义为：
G ( 1 ) ⋅ ω ≡ λ ω (B8) G_{(1)} \cdot \omega \equiv \lambda \omega \tag{B8} G(1)⋅ω≡λω(B8)

或等价地，用矩阵形式表示为：