【读论文】引力是熵力（2）

文章目录

• • 四、结论
  • 附录A：阿贝尔规范场的纳入
  • 附录B：度规\(G_{(1)}\)和一般度规\(G_{(n)}\)的本征值与熵
  • • [B.1 度规矩阵\(G_{(n)}\)的本征值](#B.1 度规矩阵G_{(n)}的本征值)
    • [B.2 度规张量\(G_{(n)}\)的扁平化与矩阵本征值问题的约化](#B.2 度规张量G_{(n)}的扁平化与矩阵本征值问题的约化)
    • [B.3 度规张量\(G_{(n)}\)的迹](#B.3 度规张量G_{(n)}的迹)
    • [B.4 度规张量\(G_{(n)}\)的熵](#B.4 度规张量G_{(n)}的熵)
  • 附录C：作为量子算符的拓扑度规
  • 参考文献

前文见 【读论文】引力其实是熵力？（1）
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四、结论

本文提出了一种基于统计力学和信息论作用量的修正引力理论。该理论的核心思想是将度规与量子算符相关联------该量子算符充当可重整化的有效密度矩阵。具体而言，本文讨论了两类度规：

1. 完全定义时空几何的时空度规；
2. 有效使时空弯曲的物质场诱导度规。

时空几何与物质场的相互作用，通过时空度规与物质场诱导度规之间的量子相对熵所定义的作用量，得到了明确刻画。

本文构建了与引力这一基本物理诠释相一致的洛伦兹不变理论 。为实现这一目标，我们建立了必要的数学框架，以洛伦兹不变的方式定义了度规张量的熵和互熵。当物质场被描述为0-形式、1-形式和2-形式直和构成的拓扑狄拉克-凯勒玻色子，且诱导度规同时依赖于时空曲率时，该框架会涌现出一种修正引力理论。在低耦合条件下，修正爱因斯坦方程退化为爱因斯坦方程。

通过引入G-场，我们得到了修正爱因斯坦方程以及物质场和G-场的运动方程。该理论表明，所提出的熵作用量表现为修正爱因斯坦-希尔伯特作用量与物质作用量之和。值得注意的是，修正爱因斯坦-希尔伯特作用量中涌现出一个仅依赖于G-场的正宇宙学常数 。此外，得益于G-场的引入，修正引力方程在度规、物质场和G-场中均保持二阶形式。

将拓扑度规张量解释为量子算符（或有效密度矩阵）的做法被证明是非常有效的------在这一诠释中，我们放宽了密度矩阵迹为1的约束，但要求其具有可逆性。这些选择的动机是为了构建洛伦兹不变理论。本文建立了所采用的量子相对熵作用量与荒木量子相对熵的关联 37 ^{37} 37，为利用量子冯·诺依曼代数理论和纠缠理论 17 ^{17} 17进一步研究该理论的性质开辟了新的视角。

总之，我们希望这一方法能够帮助揭示引力、量子力学和统计物理之间的深层联系。鉴于度规被解释为量子算符，我们期望该方法也能为构建二次量子化的量子引力理论提供有益的启示。最后，后续研究可探索G-场在暗物质中可能扮演的角色，其他研究方向还包括在重整化群下研究所提出的熵作用量，以及探索该理论与唯象学和实验结果的可能关联。

本研究部分得到了西蒙斯基金会（Simons Foundation）的资助。作者感谢剑桥大学艾萨克·牛顿数学科学研究所（Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences）在"超图：理论与应用"项目期间提供的支持和款待，本研究的部分工作正是在该项目期间完成的。本研究还得到了英国工程与物理科学研究委员会（EPSRC）资助（项目编号：EP/V521929/1）。

附录A：阿贝尔规范场的纳入

阿贝尔规范场(A_{\mu})可轻松纳入本文提出的一般框架。我们定义算符(\tilde{F})为：
F ~ = 0 ⊕ 0 μ d x μ ⊕ F μ ν F ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (A1) \tilde{F}=0\oplus 0^{\mu }dx_{\mu }\oplus F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\left(dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}\right)\otimes \left(dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}\right) \tag{A1} F~=0⊕0μdxμ⊕FμνFρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(A1)

其中(F_{\mu \nu}=\nabla_{\mu} A_{\nu}-\nabla_{\nu} A_{\mu})（场强张量）。物质场诱导度规的表达式修正为：
G ~ = g ~ + α ( M ~ + F ~ ) − β R ~ (A2) \tilde{G}=\tilde{g}+\alpha(\tilde{M}+\tilde{F})-\beta \tilde{\mathcal{R}} \tag{A2} G~=g~+α(M~+F~)−βR~(A2)

需要注意的是，在该表达式中，我们同时修正了(M)的定义------狄拉克算符的定义与式（32）一致，但需在协变导数中进行最小替换：
∇ μ → ∇ μ ( A ) = ∇ μ − i ϵ A μ (A3) \nabla_{\mu} \to \nabla_{\mu}^{(A)}=\nabla_{\mu}-i \epsilon A_{\mu} \tag{A3} ∇μ→∇μ(A)=∇μ−iϵAμ(A3)

附录B：度规(G_{(1)})和一般度规(G_{(n)})的本征值与熵

本附录的目标是利用代数几何 54 ^{54} 54，定义作为n-形式间量子算符的度规(G_{(n)})的本征值及其关联熵。为建立这一处理方法的基础，我们首先回顾第二节中关于1-形式间量子算符度规(G_{(1)})的本征矢量和关联熵的定义，并将其推广到任意阶n-形式间量子算符度规张量(G_{(n)})的情形。

B.1 度规矩阵(G_{(n)})的本征值

1-形式可表示为：
ω = ω ρ d x ρ (B1) \omega=\omega_{\rho} d x^{\rho} \tag{B1} ω=ωρdxρ(B1)

度规(G_{(1)})可解释为两个1-形式间的量子算符，其表达式为：
G ( 1 ) = G ( 1 ) μ ν d x μ ⊗ d x ν (B2) G_{(1)}=G_{(1)}_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu} \tag{B2} G(1)=G(1)μνdxμ⊗dxν(B2)

其中(G_{(1)}{\mu \nu})为厄米张量。度规(G {(1)})与一般1-形式(\omega)的点积定义为：
G ( 1 ) ⋅ ω = ω ^ = ω ^ μ d x μ (B3) G_{(1)}\cdot \omega =\hat{\omega}=\hat{\omega}_{\mu}dx^{\mu} \tag{B3} G(1)⋅ω=ω^=ω^μdxμ(B3)

其中，根据定义：
ω ^ μ : = G ( 1 ) μ ν ω ρ < d x ν , d x ρ > (B4) \hat{\omega}_{\mu}:=\left G_{(1)}\\right _{\mu \nu }\omega _{\rho }\left< dx^{\nu },dx^{\rho }\right> \tag{B4} ω^μ:=G(1)μνωρ⟨dxν,dxρ⟩(B4)

本文中，(\left< \cdot, \cdot \right>)表示n-形式间的内积。因此，对于标准1-形式，有：
< d x ν , d x ρ > = g ν ρ (B5) \left< dx^{\nu },dx^{\rho }\right> =g^{\nu \rho } \tag{B5} ⟨dxν,dxρ⟩=gνρ(B5)

将该表达式代入式（B4），可得：
ω ^ μ = G ( 1 ) μ ν g ν ρ ω ρ (B6) \hat{\omega}{\mu}=\leftG_{(1)}\\right{\mu \nu} g^{\nu \rho} \omega_{\rho} \tag{B6} ω^μ=G(1)μνgνρωρ(B6)

综上，根据我们的定义，有：
G ( 1 ) ⋅ ω = G ( 1 ) μ ν g ν ρ ω ρ d x μ (B7) G_{(1)}\cdot \omega =G_{(1)}_{\mu \nu }g^{\nu \rho }\omega _{\rho }dx^{\mu} \tag{B7} G(1)⋅ω=G(1)μνgνρωρdxμ(B7)

度规(G_{(1)})的本征值问题定义为：
G ( 1 ) ⋅ ω ≡ λ ω (B8) G_{(1)} \cdot \omega \equiv \lambda \omega \tag{B8} G(1)⋅ω≡λω(B8)

或等价地，用矩阵形式表示为：
G ( 1 ) μ ν g ν ρ ω ρ = λ ω μ (B9) \leftG_{(1)}\\right{\mu \nu} g^{\nu \rho} \omega{\rho}=\lambda \omega_{\mu} \tag{B9} G(1)μνgνρωρ=λωμ(B9)

需要注意的是，(G_{(1)}{\mu \nu})也可解释为矢量间的度规。接下来，我们将这一形式体系推广到作为二阶2-形式间量子算符的度规(G {(2)})。一般2-形式(\zeta)定义为：
ζ = ζ η θ d x η ∧ d x θ (B10) \zeta=\zeta_{\eta \theta} d x^{\eta} \wedge d x^{\theta} \tag{B10} ζ=ζηθdxη∧dxθ(B10)

其中(\zeta_{\eta \theta}=-\zeta_{\theta \eta})（即反对称）。

作为两个2-形式间量子算符的度规(G_{(2)})定义为：
G ( 2 ) = G ( 2 ) μ ν ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (B11) G_{(2)}=\leftG_{(2)}\\right_{\mu \nu \rho \sigma}\left(d x^{\mu}\wedge d x^{\nu}\right) \otimes\left(d x^{\rho} \wedge d x^{\sigma}\right) \tag{B11} G(2)=G(2)μνρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(B11)

其中(G_{(2)})在其前两个指标和后两个指标中均为反对称，且在前两个指标与后两个指标交换时为厄米张量。遵循与定义度规(G_{(1)})本征值类似的推理思路，我们定义缩并：
G ( 2 ) ⋅ ζ = ζ ^ = ζ ^ μ ν d x μ ∧ d x ν (B12) G_{(2)} \cdot \zeta=\hat{\zeta}=\hat{\zeta}_{\mu \nu} d x^{\mu} \wedge d x^{\nu} \tag{B12} G(2)⋅ζ=ζ^=ζ^μνdxμ∧dxν(B12)

其中，根据定义，(\hat{\zeta}{\mu \nu})的表达式为：
ζ ^ μ ν : = 1 2 G ( 2 ) μ ν ρ σ ζ η θ < d x ρ ∧ d x σ , d x η ∧ d x θ > (B13) \hat{\zeta}{\mu \nu}:=\frac{1}{2}\leftG_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma} \zeta{\eta \theta}\left< d x^{\rho} \wedge d x^{\sigma}, d x^{\eta} \wedge d x^{\theta}\right> \tag{B13} ζ^μν:=21G(2)μνρσζηθ⟨dxρ∧dxσ,dxη∧dxθ⟩(B13)

执行内积运算后，可得：
ζ ^ μ ν = 1 2 G ( 2 ) μ ν ρ σ ζ η θ ( g ρ η g σ θ − g ρ θ g σ η ) = G ( 2 ) μ ν ρ σ g ( 2 ) ρ σ η θ ζ η θ (B14) \begin{aligned} \hat{\zeta}{\mu \nu} &= \frac{1}{2}G_{(2)}{\mu \nu \rho \sigma} \zeta_{\eta \theta} \Big(g^{\rho \eta}g^{\sigma \theta}-g^{\rho \theta}g^{\sigma \eta}\Big) \\ &= \left G_{(2)}\\right {\mu \nu \rho \sigma} g_{(2)}^{\rho \sigma \eta \theta} \zeta{\eta \theta} \end{aligned} \tag{B14} ζ^μν=21G(2)μνρσζηθ(gρηgσθ−gρθgση)=G(2)μνρσg(2)ρσηθζηθ(B14)

其中，我们使用了式（28）定义的(g_{(2)})（为方便起见，此处重写）：
g ( 2 ) μ ν ρ σ = 1 2 ( g μ ρ g ν σ − g μ σ g ν ρ ) (B15) \leftg_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma}=\frac{1}{2}\left(g{\mu \rho} g_{\nu \sigma}-g_{\mu \sigma} g_{\nu \rho}\right) \tag{B15} g(2)μνρσ=21(gμρgνσ−gμσgνρ)(B15)

综上，根据我们的定义，有：
G ( 2 ) ⋅ ζ = G ( 2 ) μ ν ρ σ g ( 2 ) ρ σ η θ ζ η θ d x μ ∧ d x ν (B16) G_{(2)}\cdot \zeta =\left G_{(2)}\\right _{\mu \nu \rho \sigma }g_{(2)}^{\rho \sigma \eta \theta }\zeta _{\eta \theta }dx^{\mu }\wedge dx^{\nu} \tag{B16} G(2)⋅ζ=G(2)μνρσg(2)ρσηθζηθdxμ∧dxν(B16)

与前一种情形完全类似，作为两个2-形式间量子算符的度规(G_{(2)})的本征值问题定义为：
G ( 2 ) ⋅ ζ ≡ λ ζ (B17) G_{(2)} \cdot \zeta \equiv \lambda \zeta \tag{B17} G(2)⋅ζ≡λζ(B17)

或等价地：
G ( 2 ) μ ν ρ σ g ( 2 ) ρ σ η θ ζ η θ = λ ζ μ ν (B18) \leftG_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma}\leftg_{(2)}\\right^{\rho \sigma \eta \theta} \zeta{\eta \theta}=\lambda \zeta_{\mu \nu} \tag{B18} G(2)μνρσg(2)ρσηθζηθ=λζμν(B18)

需要注意的是，(G_{(2)}{\mu \nu \rho \sigma})也可解释为双矢量间的度规。现在，我们考虑(G {(2)}=g_{(2)})的特殊情形：此时，式（B18）所示的本征值问题变为：
1 4 ( g μ ρ g ν σ − g μ σ g ν ρ ) ( g ρ η g σ θ − g ρ θ g σ η ) ζ η θ = λ ζ μ ν (B19) \frac{1}{4}\left( g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \rho }\right) \left( g^{\rho \eta }g^{\sigma \theta }-g^{\rho \theta }g^{\sigma \eta }\right) \zeta _{\eta \theta }=\lambda \zeta _{\mu \nu} \tag{B19} 41(gμρgνσ−gμσgνρ)(gρηgσθ−gρθgση)ζηθ=λζμν(B19)

该方程的解为：
λ = 1 (B20) \lambda=1 \tag{B20} λ=1(B20)

该解适用于与反对称张量(\zeta_{\mu \nu})相关联的任意2-形式。因此，该本征值的简并度为(d(d-1)/2)。

遵循类似的步骤，可直接处理作为两个n-形式间量子算符的度规张量(G_{(n)})的本征值。我们注意到，一般n-形式可表示为：
ζ = ζ ν 1 ν 2 ... ν n d x ν 1 ∧ d x ν 2 ∧ ⋯ ∧ d x ν n (B21) \zeta =\zeta _{\nu _{1}\nu _{2}\dots \nu _{n}}dx^{\nu _{1}}\wedge dx^{\nu _{2}}\wedge \dots \wedge dx^{\nu _{n}} \tag{B21} ζ=ζν1ν2...νndxν1∧dxν2∧⋯∧dxνn(B21)

其中(\zeta_{\nu_{1} \nu_{2} \dots \nu_{n}})为反对称张量；而(G_{(n)})的一般表达式为：
G ( n ) = G ( n ) μ 1 μ 2 ... μ n ν 1 ν 2 ... ν n ( d x μ 1 ∧ d x μ 2 ∧ ⋯ ∧ d x μ n ) ⊗ ( d x ν 1 ∧ d x ν 2 ∧ ⋯ ∧ d x ν n ) (B22) G_{(n)}=\bigG_{(n)}\\big_{\mu _{1}\mu _{2}\dots \mu _{n}\nu _{1}\nu _{2}\dots \nu _{n}}(dx^{\mu _{1}}\wedge dx^{\mu _{2}}\wedge \dots \wedge dx^{\mu _{n}})\otimes (dx^{\nu _{1}}\wedge dx^{\nu _{2}}\wedge \dots \wedge dx^{\nu _{n}}) \tag{B22} G(n)=G(n)μ1μ2...μnν1ν2...νn(dxμ1∧dxμ2∧⋯∧dxμn)⊗(dxν1∧dxν2∧⋯∧dxνn)(B22)

其中(G_{(n)})在其前n个指标和后n个指标中均为反对称，且在前n个指标与后n个指标交换时为厄米张量。

例如，明确讨论度规(g)在n-形式上诱导的度规(g_{(n)})的形式是有益的。可以直接证明，该诱导度规为：
g ( n ) = ∏ i = 1 n g μ i ρ i ( d x μ 1 ∧ d x μ 2 ∧ ⋯ ∧ d x μ n ) ⊗ ( d x ν 1 ∧ d x ν 2 ∧ ⋯ ∧ d x ν n ) (B23) g_{(n)}=\prod_{i=1}^{n} g_{\mu_{i} \rho_{i}}\left(d x^{\mu_{1}} \wedge d x^{\mu_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\mu_{n}}\right) \otimes\left(d x^{\nu_{1}} \wedge d x^{\nu_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\nu_{n}}\right) \tag{B23} g(n)=i=1∏ngμiρi(dxμ1∧dxμ2∧⋯∧dxμn)⊗(dxν1∧dxν2∧⋯∧dxνn)(B23)

或利用n-形式的反对称性，更明确地表示为：
g ( n ) = g ( n ) μ 1 μ 2 ... μ n ν 1 ν 2 ... ν n ( d x μ 1 ∧ d x μ 2 ∧ ⋯ ∧ d x μ n ) ⊗ ( d x ν 1 ∧ d x ν 2 ∧ ⋯ ∧ d x ν n ) (B24) g_{(n)}=\leftg_{(n)}\\right{\mu{1} \mu_{2} \dots \mu_{n} \nu_{1} \nu_{2} \dots \nu_{n}}\left(d x^{\mu_{1}} \wedge d x^{\mu_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\mu_{n}}\right) \otimes\left(d x^{\nu_{1}} \wedge d x^{\nu_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\nu_{n}}\right) \tag{B24} g(n)=g(n)μ1μ2...μnν1ν2...νn(dxμ1∧dxμ2∧⋯∧dxμn)⊗(dxν1∧dxν2∧⋯∧dxνn)(B24)

其中：
g ( n ) μ 1 μ 2 ... μ n ν 1 ν 2 ... ν n = 1 n ! δ ν 1 ν 2 ... ν n ρ 1 ρ 2 ... ρ n ∏ i = 1 n g μ i ρ i (B25) \leftg_{(n)}\\right{\mu{1} \mu_{2} \dots \mu_{n} \nu_{1} \nu_{2} \dots \nu_{n}}=\frac{1}{n !} \delta_{\nu_{1} \nu_{2} \dots \nu_{n}}^{\rho_{1} \rho_{2} \dots \rho_{n}} \prod_{i=1}^{n} g_{\mu_{i} \rho_{i}} \tag{B25} g(n)μ1μ2...μnν1ν2...νn=n!1δν1ν2...νnρ1ρ2...ρni=1∏ngμiρi(B25)

本文中，我们使用符号(g_{(n)}{\vec{\mu} \vec{\nu}})表示该张量的分量，其中(\vec{\mu}=(\mu {1} \mu_{2} \dots \mu_{n}))和(\vec{\nu}=(\nu_{1} \nu_{2} \dots \nu_{n}))表示n重指标。采用类似的符号，我们定义一般度规(G_{(n)})与n-形式(\zeta)的点积为：
G ( n ) ⋅ ζ = ζ ^ (B26) G_{(n)} \cdot \zeta=\hat{\zeta} \tag{B26} G(n)⋅ζ=ζ^(B26)

其中：
ζ ^ μ ⃗ : = 1 n ! G ( n ) μ ⃗ ν ⃗ ζ ρ ⃗ < d x ν 1 ∧ d x ν 2 ∧ ⋯ ∧ d x ν n , d x ρ 1 ∧ d x ρ 2 ∧ ⋯ ∧ d x ρ n > (B27) \hat{\zeta}{\vec{\mu}}:=\frac{1}{n !}\leftG_{(n)}\\right{\vec{\mu} \vec{\nu}} \zeta_{\vec{\rho}} \left< d x^{\nu_{1}} \wedge d x^{\nu_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\nu_{n}}, d x^{\rho_{1}} \wedge d x^{\rho_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\rho_{n}}\right> \tag{B27} ζ^μ :=n!1G(n)μ ν ζρ ⟨dxν1∧dxν2∧⋯∧dxνn,dxρ1∧dxρ2∧⋯∧dxρn⟩(B27)

因此，(G_{(n)})的本征值问题可表示为：
G ( n ) μ ⃗ ν ⃗ g ( n ) ν ⃗ ρ ⃗ ζ ρ ⃗ = λ ζ μ ⃗ (B28) G_{(n)}{\vec{\mu} \vec{\nu}}g_{(n)}^{\vec{\nu} \vec{\rho}}\zeta{\vec{\rho}}=\lambda \zeta_{\vec{\mu}} \tag{B28} G(n)μ ν g(n)ν ρ ζρ =λζμ (B28)

本文中，(\vec{\mu})、(\vec{\rho})和(\vec{\eta})均表示n重指标。由n-形式间度规本征矢量的这一定义，可直接得出：度规张量(g_{(n)})的所有本征值(\lambda)均等于1，即：
λ = 1 (B29) \lambda=1 \tag{B29} λ=1(B29)

该结论适用于任意(0 \leq n \leq d)（d为流形维度）。

B.2 度规张量(G_{(n)})的扁平化与矩阵本征值问题的约化

为定义1-形式间度规张量(G_{(1)})的本征值，我们可采用矩阵形式体系，定义：
N ( 1 ) μ ν : = G ( 1 ) μ ρ g ρ ν (B30) \leftN_{(1)}\\right{\mu }^{\nu}:=\leftG_{(1)}\\right{\mu \rho } g^{\rho \nu} \tag{B30} N(1)μν:=G(1)μρgρν(B30)

张量(G_{(1)})的本征值定义为矩阵(N_{(1)})的本征值。需要注意的是，该矩阵的自乘运算保持洛伦兹不变性。

对于度规(G_{(2)})的本征值问题（式B18），也可通过考虑(m \times m)扁平化矩阵(G_{(2)}^{{F})和(g_{(2)}}{F})（其中(m=d(d-1)/2)表示d维流形(\kappa)上2-形式基的维度），将其转化为矩阵形式。例如，取基({d x^{\mu} \wedge d x^{{\nu}})（其中(\mu<\nu)），扁平化矩阵(G_{(2)}}{F})和(g_{(2)}^{F})的矩阵分量分别为：
G ( 2 ) F μ ν ; ρ σ = 2 G ( 2 ) μ ν ρ σ , g ( 2 ) F μ ν ; ρ σ = 2 g ( 2 ) μ ν ρ σ (B31) \leftG_{(2)}\^{F}\\right{\mu \nu ; \rho \sigma}=2\leftG_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma}, \quad\leftg_{(2)}\^{F}\\right{\mu \nu ; \rho \sigma}=2\leftg_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma} \tag{B31} G(2)Fμν;ρσ=2G(2)μνρσ,g(2)Fμν;ρσ=2g(2)μνρσ(B31)

通过一个实际例子可更直观地说明这一构造。假设流形(\kappa)为3维（坐标为0、1、2），则与(g_{(2)})相关联的扁平化矩阵(g_{(2)}^{F})（定义在基(d x^{0} \wedge d x^{1})、(d x^{0} \wedge d x^{2})和(d x^{1} \wedge d x^{2})上）为：
g ( 2 ) F = ( g 00 g 11 − g 01 g 10 g 00 g 12 − g 02 g 10 g 01 g 12 − g 02 g 11 g 00 g 21 − g 01 g 20 g 00 g 22 − g 02 g 20 g 01 g 22 − g 02 g 21 g 10 g 21 − g 11 g 20 g 10 g 22 − g 12 g 20 g 11 g 22 − g 12 g 21 ) (B32) g_{(2)}^{F}=\left( \begin{array}{ccc} g_{00}g_{11}-g_{01}g_{10} & g_{00}g_{12}-g_{02}g_{10} & g_{01}g_{12}-g_{02}g_{11} \\ g_{00}g_{21}-g_{01}g_{20} & g_{00}g_{22}-g_{02}g_{20} & g_{01}g_{22}-g_{02}g_{21} \\ g_{10}g_{21}-g_{11}g_{20} & g_{10}g_{22}-g_{12}g_{20} & g_{11}g_{22}-g_{12}g_{21} \end{array} \right) \tag{B32} g(2)F= g00g11−g01g10g00g21−g01g20g10g21−g11g20g00g12−g02g10g00g22−g02g20g10g22−g12g20g01g12−g02g11g01g22−g02g21g11g22−g12g21 (B32)

利用这些扁平化矩阵，我们构造矩阵(N_{(2)})，其矩阵分量为：
N ( 2 ) μ ν η θ : = G ( 2 ) F μ ν ρ σ g ( 2 ) F ρ σ η θ (B33) \leftN_{(2)}\\right{\mu \nu}^{\eta \theta}:=\leftG_{(2)}\^{F}\\right{\mu \nu \rho \sigma}\leftg_{(2)}\^{F}\\right^{\rho \sigma \eta \theta} \tag{B33} N(2)μνηθ:=G(2)Fμνρσg(2)Fρσηθ(B33)

其中(\mu<\nu)且(\eta<\theta)。需要注意的是，矩阵(N_{(2)})的常规矩阵乘法保持洛伦兹不变性，且该矩阵的本征值与式（B18）定义的(G_{(2)})的本征值相等。

类似地，作为n-形式间量子算符的度规张量(G_{(n)})，可通过考虑独立n-形式的基进行扁平化。例如，这些n-形式的基可由标准n-形式给出：
d x μ 1 ∧ d x μ 2 ∧ ⋯ ∧ d x μ n (B34) d x^{\mu_{1}} \wedge d x^{\mu_{2}} \wedge \dots \wedge d x^{\mu_{n}} \tag{B34} dxμ1∧dxμ2∧⋯∧dxμn(B34)

其中(\mu_{1}<\mu_{2}<\dots<\mu_{n})。该标准基由(m=\binom{d}{n})个n-形式构成。

在该基上，我们可定义(m \times m)扁平化矩阵：
G ( n ) F μ ⃗ ; ν ⃗ = n ! G ( n ) μ ⃗ ; ν ⃗ , g ( n ) F μ ⃗ ; ν ⃗ = n ! g ( n ) μ ⃗ ; ν ⃗ (B35) \left G_{(n)}\^{F}\\right {\vec{\mu};\vec{\nu}}=n!G_{(n)}{\vec{\mu};\vec{\nu}}, \quad\left g_{(n)}\^{F}\\right {\vec{\mu};\vec{\nu}}=n!g_{(n)}{\vec{\mu};\vec{\nu}} \tag{B35} G(n)Fμ ;ν =n!G(n)μ ;ν ,g(n)Fμ ;ν =n!g(n)μ ;ν (B35)

基于这些扁平化矩阵，我们定义矩阵(N_{(n)})，其分量为：
N ( n ) μ ⃗ η ⃗ : = G ( n ) F μ ⃗ ρ ⃗ g ( n ) F ρ ⃗ η ⃗ (B36) \leftN_{(n)}\\right{\vec{\mu}}^{\vec{\eta}}:=\leftG_{(n)}\^{F}\\right{\vec{\mu} \vec{\rho}}\leftg_{(n)}\^{F}\\right^{\vec{\rho} \vec{\eta}} \tag{B36} N(n)μ η :=G(n)Fμ ρ g(n)Fρ η (B36)

如n=1和n=2的情形所示，这些矩阵的乘法运算保持洛伦兹不变性，且其本征值与度规张量(G_{(n)})的本征值对应。

B.3 度规张量(G_{(n)})的迹

度规张量(G_{(n)})的迹定义为矩阵(N_{(n)})的迹，或等价地：
Tr G ( n ) = Tr M N ( n ) (B37) \text{Tr} G_{(n)}=\text{Tr}{M} N{(n)} \tag{B37} TrG(n)=TrMN(n)(B37)

为简化符号，后续我们也将该迹表示为：
Tr F G ( n ) g ( n ) − 1 = Tr G ( n ) = Tr M N ( n ) (B38) \text{Tr}{F} G{(n)} g_{(n)}^{-1}=\text{Tr} G_{(n)}=\text{Tr}{M} N{(n)} \tag{B38} TrFG(n)g(n)−1=TrG(n)=TrMN(n)(B38)

由上述(N_{(n)})的定义可知，我们对迹的定义与张量迹的常规定义一致，即：
Tr F G ( n ) g ( n ) − 1 = G ( n ) μ ⃗ ρ ⃗ g ( n ) ρ ⃗ μ ⃗ (B39) \text{Tr}{F} G{(n)} g_{(n)}^{-1}=\leftG_{(n)}\\right_{\vec{\mu} \vec{\rho}}\leftg_{(n)}\\right^{\vec{\rho} \vec{\mu}} \tag{B39} TrFG(n)g(n)−1=G(n)μ ρ g(n)ρ μ (B39)

具体而言，对于(n \in{1,2})，我们有：
Tr G ( 1 ) = G ( 1 ) μ ρ g ρ μ (B40) \text{Tr} G_{(1)}=\leftG_{(1)}\\right{\mu \rho} g^{\rho \mu} \tag{B40} TrG(1)=G(1)μρgρμ(B40)
Tr G ( 2 ) = G ( 2 ) μ ν ρ σ g ( 2 ) ρ σ μ ν (B41) \text{Tr} G{(2)} = G_{(2)}_{\mu \nu \rho \sigma }g_{(2)}^{\rho \sigma \mu \nu} \tag{B41} TrG(2)=G(2)μνρσg(2)ρσμν(B41)

对于一般n，度规(g_{(n)})的迹为：
Tr g ( n ) = ( d n ) (B42) \text{Tr} g_{(n)}=\binom{d}{n} \tag{B42} Trg(n)=(nd)(B42)

该式适用于所有(0 \leq n \leq d)。

B.4 度规张量(G_{(n)})的熵

度规张量(G_{(n)})的熵(H)定义为：
H = Tr G ( n ) ln ⁡ G ( n ) − 1 : = − ∑ λ λ ln ⁡ λ (B43) H=\text{Tr} G_{(n)} \ln G_{(n)}^{-1}:=-\sum_{\lambda} \lambda \ln \lambda \tag{B43} H=TrG(n)lnG(n)−1:=−λ∑λlnλ(B43)

其中(\lambda)表示(G_{(n)})的一般本征值。由于(g_{(n)})的所有本征值均等于1，可得：
H ( n ) = Tr g ( n ) ln ⁡ g ( n ) − 1 = 0 (B44) H_{(n)}=\text{Tr} g_{(n)} \ln g_{(n)}^{-1}=0 \tag{B44} H(n)=Trg(n)lng(n)−1=0(B44)

该式适用于任意(0 \leq n \leq d)。

(g_{(n)})与(G_{(n)})之间的互熵定义为：
Tr g ( n ) ln ⁡ G ( n ) − 1 : = − Tr F ln ⁡ G ( n ) g ( n ) − 1 : = − Tr M ln ⁡ N ( n ) = − ∑ μ ln ⁡ ( μ ) (B45) \begin{aligned} \text{Tr} g_{(n)} \ln G_{(n)}^{-1} & :=-\text{Tr}{F} \ln G{(n)} g_{(n)}^{-1} \\ & :=-\text{Tr}{M} \ln N{(n)}=-\sum_{\mu} \ln (\mu) \end{aligned} \tag{B45} Trg(n)lnG(n)−1:=−TrFlnG(n)g(n)−1:=−TrMlnN(n)=−μ∑ln(μ)(B45)

其中(\mu)表示(N_{(n)})的一般本征值。

附录C：作为量子算符的拓扑度规

本附录概述了所提出的一般场景的基础量子理论，以及所提出的熵作用量与荒木量子相对熵的关联 37 , 38 ^{37,38} 37,38。

我们的处理将考虑一次量子化中的量子算符。我们将为被解释为量子算符的拓扑度规张量理论 33 ^{33} 33奠定基础------该理论的希尔伯特空间矢量为0-形式、1-形式和2-形式直和构成的拓扑场。

我们考虑两个一般拓扑场(|\Psi>)和(|\Phi>)，其表达式为：
∣ Ψ > = ϕ ⊕ ω μ d x μ ⊕ ζ μ ν d x μ ∧ d x ν (C1) |\Psi>=\phi \oplus \omega_{\mu} d x^{\mu} \oplus \zeta_{\mu \nu} d x^{\mu} \wedge d x^{\nu} \tag{C1} ∣Ψ>=ϕ⊕ωμdxμ⊕ζμνdxμ∧dxν(C1)
∣ Φ > = ϕ ^ ⊕ ω ^ μ d x μ ⊕ ζ ^ μ ν d x μ ∧ d x ν (C2) |\Phi>=\hat{\phi} \oplus \hat{\omega}{\mu} d x^{\mu} \oplus \hat{\zeta}{\mu \nu} d x^{\mu} \wedge d x^{\nu} \tag{C2} ∣Φ>=ϕ^⊕ω^μdxμ⊕ζ^μνdxμ∧dxν(C2)

这两个拓扑场间的标量积定义为：
< < Ψ , Φ > > = ∫ − ∣ g ∣ ( ϕ ‾ ϕ ^ + ω ‾ μ ω ^ μ + ζ ‾ μ ν ζ ^ μ ν ) d r (C3) <<\Psi, \Phi>>=\int \sqrt{-|g|}\left(\overline{\phi} \hat{\phi}+\overline{\omega}{\mu} \hat{\omega}^{\mu}+\overline{\zeta}{\mu \nu} \hat{\zeta}^{\mu \nu}\right) d r \tag{C3} <<Ψ,Φ>>=∫−∣g∣ (ϕϕ^+ωμω^μ+ζμνζ^μν)dr(C3)

其中(\hat{\omega}^{\mu}=g{\mu \rho} \hat{\omega}{\rho})，(\hat{\zeta}^{\mu \nu}=g^{\mu \rho} g^{\nu \sigma} \hat{\zeta} {\rho \sigma}=g_{(2)}^{\mu \nu \rho \sigma} \hat{\zeta}{\rho \sigma})。因此，希尔伯特空间(\mathcal{H})赋予了通过默认度规张量(\tilde{\bar{g}}^{{-1})定义的标量积，其中(\tilde{\bar{g}}}{-1})的表达式为：
g ~ − 1 = 1 ⊕ g μ ν d x μ ⊗ d x ν ⊕ g ( 2 ) μ ν ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (C4) \tilde{g}^{-1} = 1\oplus g^{\mu \nu }dx{\mu }\otimes dx_{\nu} \oplus g_{(2)}^{\mu \nu \rho \sigma }\left(dx_{\mu }\wedge dx_{\nu}\right)\otimes \left(dx_{\rho }\wedge dx_{\sigma}\right) \tag{C4} g~−1=1⊕gμνdxμ⊗dxν⊕g(2)μνρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(C4)

该标量积具有以下性质：

1. 对第二个因子的线性性：
   < < Ψ , c 1 Φ 1 + c 2 Φ 2 > > = c 1 < < Ψ , Φ 1 > > + c 2 < < Ψ , Φ 2 > > (C5) << \Psi ,c_{1}\Phi {1}+c{2}\Phi {2}>> =c{1}<< \Psi ,\Phi {1}>> +c{2}<< \Psi ,\Phi {2}>> \tag{C5} <<Ψ,c1Φ1+c2Φ2>>=c1<<Ψ,Φ1>>+c2<<Ψ,Φ2>>(C5)
   其中(c{1}, c_{2} \in \mathbb{C})（任意复常数）；
2. 对第一个因子的反线性性：
   < < c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 , Φ > > = c ‾ 1 < < Ψ 1 , Φ > > + c ‾ 2 < < Ψ 2 , Φ > > (C6) << c_{1}\Psi {1}+c{2}\Psi {2},\Phi >> =\overline{c}{1}<< \Psi {1},\Phi >> +\overline{c}{2}<< \Psi {2},\Phi >> \tag{C6} <<c1Ψ1+c2Ψ2,Φ>>=c1<<Ψ1,Φ>>+c2<<Ψ2,Φ>>(C6)
   其中(c{1}, c_{2} \in \mathbb{C})（任意复常数）；
3. 拓扑场与其自身的标量积为实数：
   < < Ψ , Ψ > > ∈ R (C7) << \Psi ,\Psi >> \in \mathbb{R} \tag{C7} <<Ψ,Ψ>>∈R(C7)
   除非该标量积为无穷大。

希尔伯特空间(\mathcal{H})由所有满足以下条件的拓扑场(|\Phi>)构成：
< < Φ ∣ Φ > > < ∞ (C8) << \Phi | \Phi >> <\infty \tag{C8} <<Φ∣Φ>><∞(C8)

物质场诱导的度规(\overline{G})（表达式见式C9），在赋予附录B中定义的点积（式B3和B12）后，可被视为量子算符(\tilde{G}: \mathcal{H} \to \mathcal{H})（其中(\tilde{G} \cdot|\Phi> \in \mathcal{H})），其作用为：
G ~ = G ( 0 ) ⊕ G ( 1 ) μ ν d x μ ⊗ d x ν ⊕ G ( 2 ) μ ν ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (C9) \tilde{G}= \leftG_{(0)}\\right \oplus\leftG_{(1)}\\right{\mu \nu} d x^{\mu} \otimes d x^{\nu} \oplus\leftG_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma}\left(d x^{\mu} \wedge d x^{\nu}\right) \otimes\left(d x^{\rho} \wedge d x^{\sigma}\right) \tag{C9} G~=G(0)⊕G(1)μνdxμ⊗dxν⊕G(2)μνρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(C9)
G ~ ⋅ ∣ Φ > = G ( 0 ) ϕ ⊕ G ( 1 ) μ ν ω ν d x μ ⊕ G ( 2 ) μ ν ρ σ ζ ρ σ d x μ ∧ d x ν (C10) \tilde{G}\cdot |\Phi > = G_{(0)} \phi \oplus G_{(1)}{\mu \nu }\omega ^{\nu }dx^{\mu} \oplus G_{(2)}{\mu \nu \rho \sigma }\zeta ^{\rho \sigma }dx^{\mu }\wedge dx^{\nu} \tag{C10} G~⋅∣Φ>=G(0)ϕ⊕G(1)μνωνdxμ⊕G(2)μνρσζρσdxμ∧dxν(C10)

流形(\kappa)的度规(\tilde{\bar{g}})可用于定义由对偶拓扑场构成的对偶希尔伯特空间(\mathcal{H}^{{*})。例如，(|\Psi}{}>)是(|\Psi>)的对偶，(|\Phi^{{*}>)是(|\Phi>)的对偶，其中(|\Psi}{ }>)和(|\Phi^{*}>)的表达式为：
∣ Ψ ∗ > = ϕ ⊕ ω μ d x μ ⊕ ζ μ ν d x μ ∧ d x ν (C11) |\Psi ^{* }> =\phi \oplus \omega ^{\mu }dx_{\mu }\oplus \zeta ^{\mu \nu }dx_{\mu }\wedge dx_{\nu} \tag{C11} ∣Ψ∗>=ϕ⊕ωμdxμ⊕ζμνdxμ∧dxν(C11)
∣ Φ ∗ > = ϕ ^ ⊕ ω ^ μ d x μ ⊕ ζ ^ μ ν d x μ ∧ d x ν (C12) |\Phi ^{* }> =\hat{\phi }\oplus \hat{\omega }^{\mu }dx_{\mu }\oplus \hat{\zeta }^{\mu \nu }dx_{\mu }\wedge dx_{\nu} \tag{C12} ∣Φ∗>=ϕ^⊕ω^μdxμ⊕ζ^μνdxμ∧dxν(C12)

其中(\omega^{\mu}=g{\mu \rho} \omega_{\rho})，(\hat{\omega}^{\mu}=g{\mu \rho} \hat{\omega}{\rho})，(\zeta^{\mu \nu}=g* {(2)}^{\mu \nu \rho \sigma} \zeta_{\rho \sigma})，(\hat{\zeta}^{\mu \nu}=g_{(2)}^{\mu \nu \rho \sigma} \hat{\zeta}{\rho \sigma})。希尔伯特空间(\mathcal{H})赋予了通过默认度规张量(\tilde{\bar{g}}^{{-1})定义的标量积，而对偶希尔伯特空间(\mathcal{H}}{})则赋予了通过(\tilde{\bar{g}})介导的标量积(<<\Psi^{}, \Phi^{*}>>* {*})，满足：
< < Ψ , Φ > > = < < Ψ ∗ , Φ ∗ > > ∗ (C13) << \Psi ,\Phi >> =<< \Psi ^{* },\Phi ^{* }>>_{*} \tag{C13} <<Ψ,Φ>>=<<Ψ∗,Φ∗>>∗(C13)

(\overline{G})的对偶算符(\tilde{G}^{}: \mathcal{H}^{ } \to \mathcal{H}^{*})的表达式为：
G ~ ∗ = G ( 0 ) ∗ ⊕ G ( 1 ) ∗ μ ν d x μ ⊗ d x ν ⊕ G ( 2 ) ∗ μ ν ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (C14) \tilde{G}^{*}= G_{(0)}^{*} \oplus\leftG_{(1)}\^{\*}\\right^{\mu \nu} d x_{\mu} \otimes d x_{\nu} \oplus\leftG_{(2)}\^{\*}\\right^{\mu \nu \rho \sigma}\left(d x_{\mu} \wedge d x_{\nu}\right) \otimes\left(d x_{\rho} \wedge d x_{\sigma}\right) \tag{C14} G~∗=G(0)∗⊕G(1)∗μνdxμ⊗dxν⊕G(2)∗μνρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(C14)

该对偶算符满足：
< < Ψ , G ~ ⋅ Φ > > = < < G ~ ∗ ⋅ Ψ ∗ , Φ ∗ > > ∗ (C15) <<\Psi, \tilde{G} \cdot \Phi>>=<<\tilde{G}^{*} \cdot \Psi^{*}, \Phi^{*}>>_{*} \tag{C15} <<Ψ,G~⋅Φ>>=<<G~∗⋅Ψ∗,Φ∗>>∗(C15)

该式适用于任意选择的(|\Psi>)和(|\Phi>)。对偶算符(\tilde{G}^{{*})与(|\Phi}{*}>)的点积为：
G ~ ∗ ⋅ ∣ Φ ∗ > = G ( 0 ) ∗ ϕ ⊕ G ( 1 ) ∗ μ ν ω ν d x μ ⊕ G ( 2 ) ∗ μ ν ρ σ ζ ρ σ d x μ ∧ d x ν (C16) \tilde{G}^{*}\cdot |\Phi ^{* }> = G_{(0)}\^{\*}\phi \oplus G_{(1)}\^{\*}^{\mu \nu }\omega {\nu }dx{\mu} \oplus G_{(2)}\^{\*}^{\mu \nu \rho \sigma }\zeta {\rho \sigma }dx{\mu }\wedge dx_{\nu} \tag{C16} G~∗⋅∣Φ∗>=G(0)∗ϕ⊕G(1)∗μνωνdxμ⊕G(2)∗μνρσζρσdxμ∧dxν(C16)

由于构成(\overline{G})的度规(G_{(n)})在其前n个指标与后n个指标交换时为厄米张量，因此(G^{*})与(\overline{G})的关系为：
G ( 0 ) ∗ = G ( 0 ) (C17) G_{(0)}^{*} =G_{(0)} \tag{C17} G(0)∗=G(0)(C17)
G ( 1 ) ∗ μ ν = G ( 1 ) μ ν (C18) \leftG_{(1)}\^{\* }\\right ^{\mu \nu }=\leftG_{(1)}\\right^{\mu \nu} \tag{C18} G(1)∗μν=G(1)μν(C18)
G ( 2 ) ∗ μ ν ρ σ = G ( 2 ) μ ν ρ σ (C19) \leftG_{(2)}\^{\* }\\right ^{\mu \nu \rho \sigma }=\leftG_{(2)}\\right^{\mu \nu \rho \sigma} \tag{C19} G(2)∗μνρσ=G(2)μνρσ(C19)

其中：
G ( 1 ) μ ν = g μ ρ G ( 1 ) ρ σ g ν σ (C20) \leftG_{(1)}\\right^{\mu \nu}=g^{\mu \rho}\leftG_{(1)}\\right{\rho \sigma} g^{\nu \sigma} \tag{C20} G(1)μν=gμρG(1)ρσgνσ(C20)
G ( 2 ) μ ν ρ σ = g ( 2 ) μ ν η 1 η 2 G ( 2 ) η 1 η 2 θ 1 θ 2 g ( 2 ) θ 1 θ 2 ρ σ (C21) \leftG_{(2)}\\right^{\mu \nu \rho \sigma}=\leftg_{(2)}\\right^{\mu \nu \eta{1} \eta_{2}}\leftG_{(2)}\\right{\eta{1} \eta_{2} \theta_{1} \theta_{2}}\leftg_{(2)}\\right^{\theta_{1} \theta_{2} \rho \sigma} \tag{C21} G(2)μνρσ=g(2)μνη1η2G(2)η1η2θ1θ2g(2)θ1θ2ρσ(C21)

因此，我们可将(\tilde{G}^{*})与(\overline{G})的关系简记为：
G ~ ∗ = g ~ − 1 G ~ g ~ − 1 (C22) \tilde{G}^{*}=\tilde{g}^{-1} \tilde{G} \tilde{g}^{-1} \tag{C22} G~∗=g~−1G~g~−1(C22)

由该关系可得，默认度规(\tilde{\bar{g}})的对偶为其逆度规(\tilde{\bar{g}}^{-1})，即：
g ‾ ∗ = g ‾ − 1 (C23) \overline{g}^{*}=\overline{g}^{-1} \tag{C23} g∗=g−1(C23)

有趣的是，度规张量的对偶的对偶与其自身相等，即：
G = G ∗ ∗ = g ‾ G ∗ g ‾ (C24) G=G^{* *}=\overline{g} G^{*} \overline{g} \tag{C24} G=G∗∗=gG∗g(C24)

本文中考虑的拓扑度规(\overline{G})和(\tilde{G}^{{*})，分别是代数(\mathfrak{U})和(\mathfrak{U}}{})的元素------这两个代数是(C^{ })代数 33 ^{33} 33的推广，具有以下性质：

(a) (\mathfrak{U})和(\mathfrak{U}^{})是以复数为系数域的代数；
(b) (\tilde{G}{1}, \tilde{G}* {2} \in \mathfrak{U})（其中(\tilde{G}{n}=G {(0),n}\oplus G_{(1),n}{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu} \oplus G* {(2),n}_{\mu \nu \rho \sigma }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu})\otimes (dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma}))，(n \in{1,2})）间的乘积由度规(\tilde{\bar{g}}^{{-1})介导；而(\tilde{G}_{1}}{ }, \tilde{G}{2}^{} \in \mathfrak{U}^{ })间的乘积由度规(\tilde{\bar{g}})介导。具体而言：
G ~ 1 g ~ − 1 G ~ 2 = G ( 0 ) , 12 ⊕ G ( 1 ) , 12 μ ν d x μ ⊗ d x ν ⊕ G ( 2 ) , 12 μ ν ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (C25) \begin{aligned} \tilde{G}{1} \tilde{g}^{-1} \tilde{G}{2}= & \leftG_{(0), 12}\\right \oplus\leftG_{(1), 12}\\right{\mu \nu} d x^{\mu} \otimes d x^{\nu} \\ & \oplus\leftG_{(2), 12}\\right_{\mu \nu \rho \sigma}\left(d x^{\mu} \wedge d x^{\nu}\right) \otimes\left(d x^{\rho} \wedge d x^{\sigma}\right) \end{aligned} \tag{C25} G~1g~−1G~2=G(0),12⊕G(1),12μνdxμ⊗dxν⊕G(2),12μνρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(C25)

其中：
G ( 0 ) , 12 = G ( 0 ) , 1 G ( 0 ) , 2 (C26) \leftG_{(0), 12}\\right=\leftG_{(0), 1}\\right\leftG_{(0), 2}\\right \tag{C26} G(0),12=G(0),1G(0),2(C26)
G ( 1 ) , 12 μ ν = G ( 1 ) , 1 μ η 1 g η 1 η 2 G ( 1 ) , 2 η 2 ν (C27) \left G_{(1),12}\\right {\mu \nu } = \left G_{(1),1}\\right {\mu \eta {1}}g^{\eta {1}\eta {2}}\left G_{(1),2}\\right {\eta {2}\nu} \tag{C27} G(1),12μν=G(1),1μη1gη1η2G(1),2η2ν(C27)
G ( 2 ) , 12 μ ⃗ ρ ⃗ = G ( 2 ) , 1 μ ⃗ η ⃗ 1 g ( 2 ) η ⃗ 1 η ⃗ 2 G ( 2 ) , 2 η ⃗ 2 ρ ⃗ (C28) \leftG_{(2), 12}\\right{\vec{\mu} \vec{\rho}}=\leftG_{(2), 1}\\right{\vec{\mu} \vec{\eta}{1}}\leftg_{(2)}\\right^{\vec{\eta}{1} \vec{\eta}{2}}\leftG_{(2), 2}\\right{\vec{\eta}{2} \vec{\rho}} \tag{C28} G(2),12μ ρ =G(2),1μ η 1g(2)η 1η 2G(2),2η 2ρ (C28)

类似地：
G ~ 1 ∗ g ~ G ~ 2 ∗ = G ( 0 ) , 12 ∗ ⊕ G ( 1 ) , 12 ∗ μ ν d x μ ⊗ d x ν ⊕ G ( 2 ) , 12 ∗ μ ν ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) ⊗ ( d x ρ ∧ d x σ ) (C29) \begin{aligned} \tilde{G}{1}^{*}\tilde{g}\tilde{G}{2}^{*} = & \left G_{(0),12}\^{\* }\\right \oplus G_{(1),12}\^{\* }^{\mu \nu }dx_{\mu }\otimes dx_{\nu} \\ & \oplus G_{(2),12}\^{\* }^{\mu \nu \rho \sigma }\left(dx_{\mu }\wedge dx_{\nu}\right)\otimes \left(dx_{\rho }\wedge dx_{\sigma}\right) \end{aligned} \tag{C29} G~1∗g~G~2∗=G(0),12∗⊕G(1),12∗μνdxμ⊗dxν⊕G(2),12∗μνρσ(dxμ∧dxν)⊗(dxρ∧dxσ)(C29)

其中：
G ( 0 ) , 12 ∗ = G ( 0 ) , 1 ∗ G ( 0 ) , 2 ∗ (C30) \leftG_{(0), 12}\^{\*}\\right=\leftG_{(0), 1}\^{\*}\\right\leftG_{(0), 2}\^{\*}\\right \tag{C30} G(0),12∗=G(0),1∗G(0),2∗(C30)
G ( 1 ) , 12 ∗ μ ν = G ( 1 ) , 1 ∗ μ η 1 g η 1 η 2 G ( 1 ) , 2 ∗ η 2 ν (C31) \left G_{(1),12}\^{\* }\\right ^{\mu \nu } = \left G_{(1),1}\^{\* }\\right ^{\mu \eta {1}}g{\eta {1}\eta {2}}\left G_{(1),2}\^{\* }\\right ^{\eta {2}\nu} \tag{C31} G(1),12∗μν=G(1),1∗μη1gη1η2G(1),2∗η2ν(C31)
G ( 2 ) , 12 ∗ μ ⃗ ρ ⃗ = G ( 2 ) , 1 ∗ μ ⃗ η ⃗ 1 g ( 2 ) η ⃗ 1 η ⃗ 2 G ( 2 ) , 2 ∗ η ⃗ 2 ρ ⃗ (C32) \left G_{(2),12}\^{\* }\\right ^{\vec{\mu}\vec{\rho}} = \left G_{(2),1}\^{\* }\\right {\vec{\mu}\vec{\eta}{1}}g_{(2)}{\vec{\eta}{1}\vec{\eta}{2}}G_{(2),2}\^{\* }^{\vec{\eta}_{2}\vec{\rho}} \tag{C32} G(2),12∗μ ρ =G(2),1∗μ η 1g(2)η 1η 2G(2),2∗η 2ρ (C32)

© 定义了双射(\tilde{G} \in \mathfrak{U} \to \tilde{G}^{} \in \mathfrak{U}^{{*})和双射(\tilde{G}}{ } \in \mathfrak{U}^{} \to \tilde{G}^{ } \in \mathfrak{U})，满足以下性质：
(i) 对偶的对偶等于度规张量本身：
( G ‾ ∗ ) ∗ = G ‾ ∗ ∗ = G ‾ (C33) \left(\overline{G}^{*}\right)^{*}=\overline{G}^{* *}=\overline{G} \tag{C33} (G∗)∗=G∗∗=G(C33)
(ii) 在双射下，(\mathfrak{U})中度规的乘积映射为(\mathfrak{U}^{ })中对偶度规的乘积，反之亦然：
( G ~ 1 g ~ − 1 G ~ 2 ) ∗ = G ~ 2 ∗ g ~ G ~ 1 ∗ (C34) \left(\tilde{G}{1} \tilde{g}^{-1} \tilde{G}{2}\right)^{*}=\tilde{G}{2}^{*} \tilde{g} \tilde{G}{1}^{*} \tag{C34} (G~1g~−1G~2)∗=G~2∗g~G~1∗(C34)
( G ‾ 1 ∗ g ‾ G ‾ 2 ∗ ) ∗ = G ~ 2 g ‾ − 1 G ‾ 1 (C35) \left(\overline{G}{1}^{*} \overline{g} \overline{G}{2}^{*}\right)^{*}=\tilde{G}{2} \overline{g}^{-1} \overline{G}{1} \tag{C35} (G1∗gG2∗)∗=G~2g−1G1(C35)

(iii) (\mathfrak{U})中度规线性组合的对偶，以及(\mathfrak{U}^{*})中对偶度规线性组合的对偶，满足：
( c 1 G ~ 1 + c 2 G ~ 2 ) ∗ = c ‾ 1 G ~ 1 ∗ + c ‾ 2 G ~ 2 ∗ (C36) (c_{1}\tilde{G}{1}+c{2}\tilde{G}{2})^{* }=\overline{c}{1}\tilde{G}{1}^{* }+\overline{c}{2}\tilde{G}{2}^{* } \tag{C36} (c1G~1+c2G~2)∗=c1G~1∗+c2G~2∗(C36)
( c 1 G ~ 1 ∗ + c 2 G ~ 2 ∗ ) ∗ = c ‾ 1 G ~ 1 + c ‾ 2 G ~ 2 (C37) (c{1}\tilde{G}{1}^{* }+c{2}\tilde{G}{2}^{* })^{* }=\overline{c}{1}\tilde{G}{1}+\overline{c}{2}\tilde{G}_{2} \tag{C37} (c1G~1∗+c2G~2∗)∗=c1G~1+c2G~2(C37)

(d) 与拓扑度规(\tilde{G} \in \mathfrak{U})相关联的范数，与其对偶的范数相等，即(|\tilde{G}|=\left|\tilde{G}^{*}\right|)，该范数定义为：
∥ G ~ ∥ = ∥ G ~ ∗ ∥ = ∫ ∣ − g ∣ Tr F ( G ~ G ~ ∗ ) d r (C38) \left\| \tilde{G}\right\| =\left\| \tilde{G}^{*}\right\| =\int \sqrt{|-g|} \text{Tr}_{F}\left(\tilde{G} \tilde{G}^{*}\right) d r \tag{C38} G~ = G~∗ =∫∣−g∣ TrF(G~G~∗)dr(C38)

其中(\text{Tr}{F}(\tilde{G} \tilde{G}^{*}))的表达式为：
Tr F ( G ~ G ~ ∗ ) = G ( 0 ) 2 + G ( 1 ) μ ν G ( 1 ) ν μ + G ( 2 ) μ ν ρ σ G ( 2 ) ρ σ μ ν (C39) \begin{aligned} \text{Tr}{F}\left(\tilde{G} \tilde{G}^{*}\right)= & G_{(0)}^{2}+\leftG_{(1)}\\right{\mu \nu}\leftG_{(1)}\\right^{\nu \mu} \\ & +\leftG_{(2)}\\right{\mu \nu \rho \sigma}\leftG_{(2)}\\right^{\rho \sigma \mu \nu} \end{aligned} \tag{C39} TrF(G~G~∗)=G(0)2+G(1)μνG(1)νμ+G(2)μνρσG(2)ρσμν(C39)

对于被解释为(\mathfrak{u})中量子算符的拓扑度规(\tilde{G})，我们定义模算符的平方根(\Delta_{\tilde{G}, g}^{1 / 2}: \mathcal{H} \to \mathcal{H})为：
Δ G ~ , g 1 / 2 = G ~ G ~ ∗ = G ~ g ~ − 1 (C40) \Delta_{\tilde{G}, g}^{1 / 2}=\sqrt{\tilde{G} \tilde{G}^{*}}=\tilde{G} \tilde{g}^{-1} \tag{C40} ΔG~,g1/2=G~G~∗ =G~g~−1(C40)

其中最后一个等式是在(\overline{G})为正定（即所有本征值均为正）的假设下推导得出的。在该假设下，模算符的平方根(\Delta_{G, g}^{1 / 2})对式（C1）给出的拓扑场(|\Phi>)的作用，可明确表示为：
Δ G ‾ , g 1 / 2 ∣ Φ > = G ( 0 ) ϕ ⊕ G ( 1 ) μ ρ g ρ ν ω ν d x μ ⊕ G ( 2 ) μ ν η 1 η 2 g ( 2 ) η 1 η 2 ρ σ ζ ρ σ ( d x μ ∧ d x ν ) (C41) \begin{aligned} \Delta_{\overline{G}, g}^{1 / 2}|\Phi> & =G_{(0)} \phi \oplus\leftG_{(1)}\\right{\mu \rho} g^{\rho \nu} \omega{\nu} d x^{\mu} \\ & \oplus\leftG_{(2)}\\right{\mu \nu \eta{1} \eta_{2}} g_{(2)}^{\eta_{1} \eta_{2} \rho \sigma} \zeta_{\rho \sigma}\left(d x^{\mu} \wedge d x^{\nu}\right) \end{aligned} \tag{C41} ΔG,g1/2∣Φ>=G(0)ϕ⊕G(1)μρgρνωνdxμ⊕G(2)μνη1η2g(2)η1η2ρσζρσ(dxμ∧dxν)(C41)

基于模算符，所考虑的熵作用量与常规荒木量子相对熵 37 , 38 ^{37,38} 37,38类似，定义为：
S = 1 ℓ P ∫ ∣ − g ∣ L d r (C42) \mathcal{S}=\frac{1}{\ell_{P}} \int \sqrt{|-g|} \mathcal{L} d r \tag{C42} S=ℓP1∫∣−g∣ Ldr(C42)

其中：
L = − Tr F ln ⁡ Δ G ‾ , g 1 / 2 = − Tr F ln ⁡ G ‾ g ‾ − 1 (C43) \mathcal{L}=-\text{Tr}{F} \ln \Delta{\overline{G}, g}^{1 / 2}=-\text{Tr}_{F} \ln \overline{G} \overline{g}^{-1} \tag{C43} L=−TrFlnΔG,g1/2=−TrFlnGg−1(C43)

因此，本文采用的熵作用量与荒木量子相对熵 37 , 38 ^{37,38} 37,38密切相关，尽管其定义需要考虑希尔伯特空间(\mathcal{H})的结构------该希尔伯特空间由0-形式、1-形式和2-形式直和构成的拓扑场组成。

参考文献

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