目录
[第一代：经典统计时序模型（时间 = 线性相关）](#第一代：经典统计时序模型（时间 = 线性相关）)
[一、AR 模型：用"过去的自己"预测现在](#一、AR 模型：用“过去的自己”预测现在)
[1️⃣ AR 模型的思想](#1️⃣ AR 模型的思想)
[AR(p) 的数学定义](#AR(p) 的数学定义)
[2️⃣ AR 模型在"学"什么？](#2️⃣ AR 模型在“学”什么？)
[3️⃣ AR 的隐含限制（关键）](#3️⃣ AR 的隐含限制（关键）)
[二、MA 模型：不是过去的值，而是过去的"冲击"](#二、MA 模型：不是过去的值，而是过去的“冲击”)
[1️⃣ MA 模型的动机](#1️⃣ MA 模型的动机)
[2️⃣ MA(q) 的数学定义](#2️⃣ MA(q) 的数学定义)
[3️⃣ AR vs MA 的本质区别（非常重要）](#3️⃣ AR vs MA 的本质区别（非常重要）)
[4️⃣ MA 的致命问题](#4️⃣ MA 的致命问题)
[1️⃣ 为什么 AR 和 MA 必须合体？](#1️⃣ 为什么 AR 和 MA 必须合体？)
[2️⃣ ARMA(p, q) 的数学形式](#2️⃣ ARMA(p, q) 的数学形式)
[3️⃣ 一个非常重要但常被忽略的事实](#3️⃣ 一个非常重要但常被忽略的事实)
[🔥 关键转折问题](#🔥 关键转折问题)
时间序列到底在建模什么？
一个根本问题
如果我今天看到一个数 yt，
我凭什么认为它和昨天 yt−1有关系？
时间序列建模的最原始假设只有一句话：
时间上相邻的观测值不是独立的
第一代：经典统计时序模型（时间 = 线性相关）
代表模型
-
AR / MA / ARMA
-
ARIMA / SARIMA
-
Holt / Holt-Winters
-
State Space Models
时间序列的最小假设（第一代模型的世界观）
第一代模型默认三个前提：
-
时间是单向的（过去 → 现在 → 未来）
-
依赖是线性的
-
统计性质不随时间改变（平稳性）
👉 所有经典模型，都是在这三条假设里打转。
一、AR 模型：用"过去的自己"预测现在
AR 模型（Autoregressive Model），即自回归模型。
引出问题
假设我问你：
明天的气温，会不会和昨天、前天有关？
你会说：
当然会，而且可能主要跟最近几天有关。
这就是 AR（Autoregressive）的直觉来源。
1️⃣ AR 模型的思想
核心假设：
当前值是过去若干个值的线性组合 + 噪声
AR(p) 的数学定义
我们逐项"翻译成人话"：
-
yt：当前时刻的观测
-
yt−i：过去第 i个时刻
-
ϕi：时间依赖的强度
-
εt：白噪声（不可预测部分）
-
p：记忆长度
📌 时间在这里是什么？
时间 = 有限阶滞后（finite lag）
2️⃣ AR 模型在"学"什么？
它本质在学一组参数：
你可以理解为：
"过去第 1 天重要吗？第 2 天重要吗？第 7 天还有影响吗？"
3️⃣ AR 的隐含限制（关键）
现在我们问一个非常重要的问题：
如果真实世界是这样生成的：
系统本身没"惯性"
但噪声会持续影响好几天
AR 能处理吗？
答案是：不太行。
因为 AR 只把"记忆"放在 y 上 ，
但没记住噪声。
二、MA 模型：不是过去的值，而是过去的"冲击"
MA模型（Moving Average Model），即移动平均/滑动平均模型。
1️⃣ MA 模型的动机
换个角度想：
现在的值，可能并不是过去状态决定的
而是过去一些"随机事件"的残留效应
比如：
-
一次政策冲击
-
一次设备误差
-
一次心理应激
2️⃣ MA(q) 的数学定义
逐项解释：
-
μ：时间序列的均值或期望值，这个值对所有的时间点都是相同的。
-
εt：当前冲击
-
εt−i：过去的冲击
-
θi：冲击的"衰减方式"
📌 时间在这里是什么？
时间 = 冲击的持续影响
3️⃣ AR vs MA 的本质区别（非常重要）
| 模型 | 记忆的对象 |
|---|---|
| AR | 过去的值 |
| MA | 过去的噪声 |
你可以这样理解：
-
AR：系统有"惯性"
-
MA：系统被"外力"反复敲击
4️⃣ MA 的致命问题
你现在应该能隐约感觉到：
MA 模型需要知道 εt−1
但问题是：
噪声是不可观测的
这就带来一个现实问题：
-
MA 在理论上优美
-
在实践中难以直接解释
三、ARMA：世界不是非黑即白
自回归滑动平均模型，又名ARMA模型（Auto-Regressive Moving Average Model），由自回归模型（AR模型）与滑动平均模型（MA模型）为基础"混合"而成。
1️⃣ 为什么 AR 和 MA 必须合体？
因为现实系统往往同时满足：
-
有内在惯性（AR）
-
又不断受到随机冲击（MA）
👉 只用一个视角都不完整
2️⃣ ARMA(p, q) 的数学形式
你现在可以把它理解为：
当前 = 过去状态的残留 + 过去冲击的残留
3️⃣ 一个非常重要但常被忽略的事实
ARMA 只能用于平稳时间序列
也就是说：
-
均值不随时间变
-
方差不随时间变
-
自相关结构稳定
👉 你现在可以问一个致命问题了。
🔥 关键转折问题
请你认真想这个问题：
如果时间序列本身在"走趋势"
比如情绪评分、GDP、气温、学习进展
AR / MA / ARMA 还能直接用吗？
答案是：不能。
这正是 ARIMA 出现的历史必然性。
下一讲：