BISHI41 【模板】整除分块

独自破碎E2026-02-13 11:29

求解思路

当 n=5n=5n=5 时：

i=1→⌊5/1⌋=5i=1 \rightarrow \lfloor 5/1 \rfloor = 5i=1→⌊5/1⌋=5
i=2→⌊5/2⌋=2i=2 \rightarrow \lfloor 5/2 \rfloor = 2i=2→⌊5/2⌋=2
i=3→⌊5/3⌋=1i=3 \rightarrow \lfloor 5/3 \rfloor = 1i=3→⌊5/3⌋=1
i=4→⌊5/4⌋=1i=4 \rightarrow \lfloor 5/4 \rfloor = 1i=4→⌊5/4⌋=1
i=5→⌊5/5⌋=1i=5 \rightarrow \lfloor 5/5 \rfloor = 1i=5→⌊5/5⌋=1

可以看到：i=3,4,5i=3,4,5i=3,4,5 对应的 ⌊5/i⌋\lfloor 5/i \rfloor⌊5/i⌋ 都是 1，这一段可以批量计算。

对于当前的 iii，设 v=⌊ni⌋v = \lfloor \frac{n}{i} \rfloorv=⌊in⌋，则最大的 jjj 满足 ⌊nj⌋=v\lfloor \frac{n}{j} \rfloor = v⌊jn⌋=v 是：
j=⌊nv⌋j = \left\lfloor \frac{n}{v} \right\rfloorj=⌊vn⌋。

因此，我们可以按"值相同的区间"分块，每个区间的贡献是 v×(j−i+1)v \times (j - i + 1)v×(j−i+1)，然后直接跳到 j+1j+1j+1 继续计算。

求解代码

java 复制代码

public static void main(String[] args) throws IOException {

        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer in = new StringTokenizer(br.readLine());

        PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

        long n = Long.parseLong(in.nextToken());

        long res = 0;

        long i = 1;

        while (i <= n) {
            long v = n / i; // 当前块的取值
            long j = n / v; // 当前块的右边界
            res += v * (j - i + 1); // 计算当前块的贡献
            i = j + 1; // 跳到下一个块的起点
        }

        out.println(res);
        out.flush();
        out.close();
        br.close();
    }