一、无感观测的锁相环 (PLL)
1.1 反电动势是什么
反电动势 (Back EMF) 是导体在磁场中运动时产生的感应电压，方向总是反抗原来的驱动电压。
在电机转动的情况下，转子永磁铁扫过定子绕组，使其定子绕组的磁链在变化产生感应电压。这个电压总是阻碍电流继续增加，也就是和外部提供的电压方向相反，所以称之为反电动势。
对定子和转子的磁链取微分即可得到反电动势：
= 反电动势
同样的，转速乘以磁链常数也可以得出反电动势，速度越高，反电动势越大：
电机的电压方程是：
- v = 我们施加的相电压
- e = 反电动势
根据此公式我们也可以看出，如果电机堵转，反电动势为 0，电压会全部加到绕组上引起绕组铜线发热。
1.2 包含角度信息的反电动势
电机的反电动势和电机当前的电角度是有关系的，从下图我们看出 ABC 三相反电动势和角度的关系：
如果我们转化为 αβ 轴电压，关系如下：
对 cos 和 sin 相除可得 arctan，所以我们通过 αβ 轴求反电动势可得真实的角度：
1.3 PLL 基本原理
PLL 的作用是将观测器观测到的 αβ 反电动势波形中的噪音过滤掉，从而更好地提取出其中的角度。
PLL 的本质就是：
-
用
-
通过 PI 计算，逼着估计角度
1.4 为什么反电动势需要锁相环 (PLL) 滤波
理想情况下，我们的 dq 轴反电动势是这样的：
如果我们通过观测器观测出的 dq 轴反电动势是纯净无误的，自然就不需要 PLL 这个东西。
不过根据 αβ 轴电压公式可知：
- v = 我们施加的相电压
- e = 反电动势
所以，我们所提取的反电动势 e 一定是包括铜损和电感噪音的，这可能来自观测器的电机参数不准所污染导致，也可能来自 PWM 开关谐波等... 总之我们所观测到的反电动势不可能是完全正确的。
二、锁相环 (PLL) 的实现
2.1 反电动势的帕克变换
这是帕克变换的变换公式：
同样的，对于 d、q 轴的反电动势来说，可以进行帕克变换：
我们提取其中的其中 Ed 可得：
2.2 鉴相器
我们正常运行的情况应该是 Ed = 0 的控制办法，也就是说，我们的Ed = 0 应该是等于 0 的，所以其 error 就等于：
2.4 环路滤波器
对误差取积分得到速度：
离散化后我们分成两个公式，首先累加误差积分：
然后在加上 kp 得到估算的电角速度：
2.5 压控振荡器
对估算的速度求积分：
2.6 总体框图与流程
下图是总体的 PLL 锁相环框图：
鉴相器得出 error：
对 error 取积分得到速度：
对速度取积分得到角度：
2.7 代码演示
整理的计算流程如下：
代码如下：
cpp
void PLL_Update(PLL_Handle_t *pll, float E_alpha, float E_beta)
{
/* 1. 计算 sin / cos */
float sin_t = sinf(pll->theta_hat);
float cos_t = cosf(pll->theta_hat);
/* 2. 相位误差 Δe = (-Eα)*cosθ̂ + Eβ*sinθ̂ */
float phase_err = (-E_alpha) * cos_t + (E_beta)*sin_t;
/* 3. PI：Δe → ω̂ */
pll->integrator += pll->ki * phase_err;
pll->omega_hat = pll->kp * phase_err + pll->integrator;
/* 4. 积分 ω̂ → θ̂ */
pll->theta_hat += pll->omega_hat;
/* 5. 角度归一化（很重要） */
if (pll->theta_hat > 2.0f * M_PI)
{
pll->theta_hat -= 2.0f * M_PI;
}
else if (pll->theta_hat < 0.0f)
{
pll->theta_hat += 2.0f * M_PI;
}
}