随机信号分析|04 带通随机信号
带通信号是一类功率谱集中在某个非零频率处的随机信号。
希尔伯特变换与解析信号
定义(希尔伯特变换) 信号x(t)x(t)x(t)的Hilbert变换为:
x^(t)=Hx(t)=x(t)∗1πt\hat{x}(t)=\mathcal{H}x(t)=x(t) * \frac{1}{\pi t}x^(t)=Hx(t)=x(t)∗πt1
定义(解析信号) 由实信号与其Hilbert变换构造的复信号为：
z(t)=x(t)+jx^(t)=[δ(t)+j(1tπ)]∗x(t)z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)=\left[\delta(t)+j\left(\frac{1}{t\pi}\right)\right]* x(t)z(t)=x(t)+jx^(t)=[δ(t)+j(tπ1)]∗x(t)
称为x(t)x(t)x(t)的解析信号。
显然，x^(t)\hat{x}(t)x^(t)是x(t)x(t)x(t)通过LTI系统h(t)=1πth(t)=\frac{1}{\pi t}h(t)=πt1的输出，频响函数为:
H(jω)=−jsgn(ω)H(j\omega)=-j\text{sgn}(\omega)H(jω)=−jsgn(ω)
对于平稳随机信号，解析信号的功率谱为：
Sz(ω)=FRz(τ)=Sx(ω)∣2u(ω)∣2S_z(\omega)=\mathcal{F}R_z(\tau)=S_x(\omega)|2u(\omega)|^2Sz(ω)=FRz(τ)=Sx(ω)∣2u(ω)∣2
解析信号本质上是原信号的实频部分。
复随机信号
复信号及其基本矩函数
以两个实随机变量 XXX 与 YYY 作为实部与虚部便得到了复（值）随机变量：Z=X+jYZ = X + jYZ=X+jY，它的特性由 XXX 与 YYY 的联合统计特性 FXY(x,y)F_{XY}(x,y)FXY(x,y) 所规定。
同样，以两个实信号 X(t)X(t)X(t) 与 Y(t)Y(t)Y(t) 作为实部与虚部便得到了复（值）信号：{Z(t)=X(t)+jY(t),t∈T}\{Z(t) = X(t) + jY(t), t \in T\}{Z(t)=X(t)+jY(t),t∈T}，它的特性由 X(t)X(t)X(t) 与 Y(t)Y(t)Y(t) 的联合统计特性所规定。
复随机变量与复信号的基本矩的定义相仿。我们以复信号为例具体说明如下。
复信号的均值与相关函数定义为
mZ(t)=E[Z(t)]=E[X(t)]+jE[Y(t)]=mX(t)+jmY(t) m_Z(t) = \mathbb{E}[Z(t)] = \mathbb{E}[X(t)] + j\mathbb{E}[Y(t)] = m_X(t) + jm_Y(t) mZ(t)=E[Z(t)]=E[X(t)]+jE[Y(t)]=mX(t)+jmY(t)
RZ(t1,t2)=E[Z(t1)Z∗(t2)]=RX(t1,t2)+RY(t1,t2)+jRYX(t1,t2)−jRXY(t1,t2) R_Z(t_1, t_2) = \mathbb{E}\left[Z(t_1)Z^*(t_2)\right] = R_X(t_1, t_2) + R_Y(t_1, t_2) + jR_{YX}(t_1, t_2) - jR_{XY}(t_1, t_2) RZ(t1,t2)=E[Z(t1)Z∗(t2)]=RX(t1,t2)+RY(t1,t2)+jRYX(t1,t2)−jRXY(t1,t2)
式中，(⋅)∗(\cdot)^*(⋅)∗ 表示复数共轭运算。
两个复信号 Z1(t)=X1(t)+jY1(t)Z_1(t) = X_1(t) + jY_1(t)Z1(t)=X1(t)+jY1(t) 与 Z2(t)=X2(t)+jY2(t)Z_2(t) = X_2(t) + jY_2(t)Z2(t)=X2(t)+jY2(t) 的互相关函数定义为
RZ1Z2(t1,t2)=E[Z1(t1)Z2∗(t2)]=RX1X2(t1,t2)+RY1Y2(t1,t2)+jRY1X2(t1,t2)−jRX1Y2(t1,t2) R_{Z_1Z_2}(t_1, t_2) = \mathbb{E}\left[Z_1(t_1)Z_2^*(t_2)\right] = R_{X_1X_2}(t_1, t_2) + R_{Y_1Y_2}(t_1, t_2) + jR_{Y_1X_2}(t_1, t_2) - jR_{X_1Y_2}(t_1, t_2) RZ1Z2(t1,t2)=E[Z1(t1)Z2∗(t2)]=RX1X2(t1,t2)+RY1Y2(t1,t2)+jRY1X2(t1,t2)−jRX1Y2(t1,t2)
容易看出，复变量或复信号的矩最终由两个实变量或实信号的相应统计量给出。共轭运算在复信号二阶矩的定义中是非常必要的。在引进共轭运算后，复信号的定义与性质同实信号的定义与性质在形式上几乎是完全一致的。当虚部为零时，复信号的各种定义与性质将会退化为实信号的相应结果，它们是实信号有关定义的延伸。
复信号的其他数字特征可以仿上获得，例如：
- 均方差
E[∣Z(t)∣2]=RZ(t,t)=E[∣X(t)∣2]+E[∣Y(t)∣2] \mathbb{E}\left[|Z(t)|^2\right] = R_Z(t, t) = \mathbb{E}\left[|X(t)|^2\right] + \mathbb{E}\left[|Y(t)|^2\right] E[∣Z(t)∣2]=RZ(t,t)=E[∣X(t)∣2]+E[∣Y(t)∣2] - 协方差函数
CZ(t1,t2)=Cov[Z(t1),Z(t2)]=E{[Z(t1)−mZ(t1)][Z(t2)−mZ(t2)]∗}=RZ(t1,t2)−mZ(t1)mZ∗(t2) C_Z(t_1, t_2) = \text{Cov}\left[Z(t_1), Z(t_2)\right] = \mathbb{E}\left\{\left[Z(t_1) - m_Z(t_1)\right]\left[Z(t_2) - m_Z(t_2)\right]^*\right\} = R_Z(t_1, t_2) - m_Z(t_1)m_Z^*(t_2) CZ(t1,t2)=Cov[Z(t1),Z(t2)]=E{[Z(t1)−mZ(t1)][Z(t2)−mZ(t2)]∗}=RZ(t1,t2)−mZ(t1)mZ∗(t2) - 相关系数
ρZ(t1,t2)=CZ(t1,t2)σZ(t1)σZ(t2) \rho_Z(t_1, t_2) = \frac{C_Z(t_1, t_2)}{\sigma_Z(t_1)\sigma_Z(t_2)} ρZ(t1,t2)=σZ(t1)σZ(t2)CZ(t1,t2) - 互相关系数
ρZ1Z2(t1,t2)=CZ1Z2(t1,t2)σZ1(t1)σZ2(t2) \rho_{Z_1Z_2}(t_1, t_2) = \frac{C_{Z_1Z_2}(t_1, t_2)}{\sigma_{Z_1}(t_1)\sigma_{Z_2}(t_2)} ρZ1Z2(t1,t2)=σZ1(t1)σZ2(t2)CZ1Z2(t1,t2)
并且，容易证明下面的性质：
性质1 复（或实）信号 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 的自相关函数与协方差函数等满足：
① 共轭对称性：R(t1,t2)=R∗(t2,t1)R(t_1, t_2) = R^*(t_2, t_1)R(t1,t2)=R∗(t2,t1)，C(t1,t2)=C∗(t2,t1)C(t_1, t_2) = C^*(t_2, t_1)C(t1,t2)=C∗(t2,t1)；
② 均方值为非负实数：E[∣X(t)∣2]=R(t,t)≥0\mathbb{E}\left[|X(t)|^2\right] = R(t, t) \ge 0E[∣X(t)∣2]=R(t,t)≥0；
③ 方差为非负实数：σ2(t)=R(t,t)−∣m(t)∣2≥0\sigma^2(t) = R(t, t) - |m(t)|^2 \ge 0σ2(t)=R(t,t)−∣m(t)∣2≥0；
④ ∣ρ(t1,t2)∣≤1|\rho(t_1, t_2)| \le 1∣ρ(t1,t2)∣≤1，ρ(t,t)=1\rho(t, t) = 1ρ(t,t)=1。
性质2 两个复（或实）信号 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T}\{Y(t), t \in T\}{Y(t),t∈T} 的联合矩特性满足：
① 对称性：RXY(t1,t2)=RYX∗(t2,t1)R_{XY}(t_1, t_2) = R_{YX}^*(t_2, t_1)RXY(t1,t2)=RYX∗(t2,t1)；
② CXY(t1,t2)=RXY(t1,t2)−mX(t1)mY∗(t2)C_{XY}(t_1, t_2) = R_{XY}(t_1, t_2) - m_X(t_1)m_Y^*(t_2)CXY(t1,t2)=RXY(t1,t2)−mX(t1)mY∗(t2)；
③ ∣ρXY(t1,t2)∣≤1|\rho_{XY}(t_1, t_2)| \le 1∣ρXY(t1,t2)∣≤1。
平稳性与功率谱
复信号的平稳性的概念、定义及物理意义同实信号的相似。例如，复信号 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 的广义平稳性是指它满足：
{E[X(t)]=m=复常数R(t1,t2)=R(τ),τ=t1−t2 \begin{cases} \mathbb{E}[X(t)] = m = \text{复常数} \\ R(t_1, t_2) = R(\tau), \quad \tau = t_1 - t_2 \end{cases} {E[X(t)]=m=复常数R(t1,t2)=R(τ),τ=t1−t2
需要注意的是，这里定义 τ=t1−t2\tau = t_1 - t_2τ=t1−t2，即 R(τ)=E[X(t+τ)X∗(t)]R(\tau) = \mathbb{E}\left[X(t+\tau)X^*(t)\right]R(τ)=E[X(t+τ)X∗(t)]。也有的书中定义 τ=t2−t1\tau = t_2 - t_1τ=t2−t1，与 R(τ)=E[X(t)X∗(t+τ)]R(\tau) = \mathbb{E}\left[X(t)X^*(t+\tau)\right]R(τ)=E[X(t)X∗(t+τ)]。对于实信号而言，这没有差别，但对于复信号就有不同了。
容易看出，如果复信号的实部与虚部联合广义平稳，则复信号是广义平稳的；但反之，则不一定。
当信号平稳时，相关函数与协方差函数的部分性质可以简化如下。
性质1 若 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 是复（或实）平稳信号，则
R(−τ)=R∗(τ),C(τ)=R(τ)−∣m∣2,R(0)=∣m∣2 R(-\tau) = R^*(\tau), \quad C(\tau) = R(\tau) - |m|^2, \quad R(0) = |m|^2 R(−τ)=R∗(τ),C(τ)=R(τ)−∣m∣2,R(0)=∣m∣2
性质2 若 {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\}{X(t),t∈T} 与 {Y(t),t∈T}\{Y(t), t \in T\}{Y(t),t∈T} 是复（或实）联合平稳信号，则
RXY(−τ)=RYX∗(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY∗ R_{XY}(-\tau) = R_{YX}^*(\tau), \quad C_{XY}(\tau) = R_{XY}(\tau) - m_X m_Y^* RXY(−τ)=RYX∗(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY∗
复信号的功率谱与互功率谱的概念、定义及其物理含义，也同实信号的相似，并服从维纳-辛钦定理，即 R(τ)↔S(ω)R(\tau) \leftrightarrow S(\omega)R(τ)↔S(ω)。它的功率谱总是正的实函数，但不一定是偶函数；互功率谱通常是复函数，仍具有共轭对称性：SXY∗(ω)=SYX(ω)S_{XY}^*(\omega) = S_{YX}(\omega)SXY∗(ω)=SYX(ω)。
复信号通过线性系统
复信号通过线性系统的分析方法与结论的讨论的几乎一样。我们直接给出下面的定理与推论，请注意注意定理中新增的两个共轭运算。
定理6.1 若 X(t)X(t)X(t) 为复（或实）平稳信号，h(t)h(t)h(t) 为复（或实）LTI系统，Y(t)=X(t)∗h(t)Y(t) = X(t) * h(t)Y(t)=X(t)∗h(t)，则 X(t)X(t)X(t) 与 Y(t)Y(t)Y(t) 是联合广义平稳信号，并且有
① mY=mXH(j0)m_Y = m_X H(j0) mY=mXH(j0)
② RYX(τ)=RX(τ)∗h(τ)R_{YX}(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau)RYX(τ)=RX(τ)∗h(τ)
③ RXY(τ)=RX(τ)∗h∗(−τ)R_{XY}(\tau) = R_X(\tau) * h^*(-\tau) RXY(τ)=RX(τ)∗h∗(−τ)
④ RY(τ)=RX(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)R_Y(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau) * h^*(-\tau) RY(τ)=RX(τ)∗h(τ)∗h∗(−τ)
式中，H(j0)=H(jω)∣ω=0=∫−∞∞h(t)dtH(j0) = H(j\omega)\big|{\omega=0} = \int{-\infty}^{\infty} h(t)dtH(j0)=H(jω) ω=0=∫−∞∞h(t)dt，是系统的直流增益。
推论 若LTI系统的频响函数为 H(jω)H(j\omega)H(jω)，则功率谱与互功率谱关系如下：
① SYX(ω)=SX(ω)H(jω)S_{YX}(\omega) = S_X(\omega)H(j\omega) SYX(ω)=SX(ω)H(jω)
② SXY(ω)=SX(ω)H∗(jω)S_{XY}(\omega) = S_X(\omega)H^*(j\omega) SXY(ω)=SX(ω)H∗(jω)
③ SY(ω)=SX(ω)∣H(jω)∣2S_Y(\omega) = S_X(\omega)|H(j\omega)|^2 SY(ω)=SX(ω)∣H(jω)∣2
带通信号与调制
带通信号就是功率谱集中在某一频率附近，在其它部分都是0.
定义（复包络） 带通信号x(t)x(t)x(t)的，复包络为:
a(t)=z(t)e−jω0t=i(t)+jq(t)=r(t)ejθ(t)a(t)=z(t)e^{-j\omega_0t}=i(t)+jq(t)=r(t)e^{j\theta(t)}a(t)=z(t)e−jω0t=i(t)+jq(t)=r(t)ejθ(t)
其中a(t)a(t)a(t)表示x(t)x(t)x(t)的复包络(中心化原始信号功率谱)，i(t)i(t)i(t)与q(t)q(t)q(t)称为同相信号与正交信号；r(t)r(t)r(t)与θ(t)\theta(t)θ(t)称为包络信号与相位信号。
调制与解调
设中心角频率 为 ω0\omega_0ω0，将复包络 a(t)a(t)a(t) 调制到载频上，就得到带通信号 ：
z(t)=a(t)ejω0t z(t) = a(t)e^{j\omega_0 t} z(t)=a(t)ejω0t
其实部就是实带通信号 ：
x(t)=Re[a(t)ejω0t]=i(t)cosω0t−q(t)sinω0t x(t) = \mathrm{Re}\big[a(t)e^{j\omega_0 t}\big] = i(t)\cos\omega_0 t - q(t)\sin\omega_0 t x(t)=Re[a(t)ejω0t]=i(t)cosω0t−q(t)sinω0t
这一过程称为调制 。
其中：
- i(t)i(t)i(t)：同相分量（调制在 cosω0t\cos\omega_0 tcosω0t 上）
- q(t)q(t)q(t)：正交分量（调制在 sinω0t\sin\omega_0 tsinω0t 上）
解调 的目的是从带通信号 x(t)x(t)x(t) 中恢复出复包络 a(t)a(t)a(t)。
将 x(t)x(t)x(t) 乘以 e−jω0te^{-j\omega_0 t}e−jω0t 并做低通滤波，即可得到：
a(t)=LPF{x(t)e−jω0t} a(t) = \mathrm{LPF}\big\{x(t)e^{-j\omega_0 t}\big\} a(t)=LPF{x(t)e−jω0t}
这一过程称为相干解调。
窄带高斯信号
如果带通信号的带宽与中心频率相比非常小，就称其为窄带信号。若其具有高斯特征则称呼其为窄带高斯信号。
窄带高斯信号的数学表达式为:
x(t)=i(t)cosω0t−q(t)sinω0t=r(t)cos[ω0t+θ(t)]x(t)=i(t)\cos \omega_0 t-q(t)\sin \omega_0t=r(t)\cos[\omega_0t+\theta (t)]x(t)=i(t)cosω0t−q(t)sinω0t=r(t)cos[ω0t+θ(t)]
性质(窄带高斯信号的同相/正交分量统计特性)
如果平稳窄带高斯信号 x(t)x(t)x(t) 的均值为零，方差为 σx2\sigma_x^2σx2，则它的同相分量 i(t)i(t)i(t) 和正交分量 q(t)q(t)q(t) 在同一时刻彼此独立，并且具有相同的高斯分布 N(0,σx2)N(0,\sigma_x^2)N(0,σx2)，即：
fi(i;t)=12πσxe−i22σx2,fq(q;t)=12πσxe−q22σx2 f_i(i;t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x} \mathrm{e}^{-\frac{i^2}{2\sigma_x^2}}, \quad f_q(q;t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x} \mathrm{e}^{-\frac{q^2}{2\sigma_x^2}} fi(i;t)=2π σx1e−2σx2i2,fq(q;t)=2π σx1e−2σx2q2
而且有：
fiq(i,q;t,t)=fi(i;t)fq(q;t)=12πσx2e−i2+q22σx2 f_{iq}(i,q;t,t) = f_i(i;t)f_q(q;t) = \frac{1}{2\pi\sigma_x^2} \mathrm{e}^{-\frac{i^2+q^2}{2\sigma_x^2}} fiq(i,q;t,t)=fi(i;t)fq(q;t)=2πσx21e−2σx2i2+q2
性质(包络与相位的概率分布)
如果平稳窄带高斯信号 x(t)x(t)x(t) 的均值为零、方差为 σx2\sigma_x^2σx2，则它的包络 r(t)r(t)r(t) 和相位 θ(t)\theta(t)θ(t)（在同一时刻上）彼此独立，并分别服从瑞利分布与均匀分布：
fr(r,t)={rσx2e−r22σx2,r≥00,r<0 f_r(r,t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{r}{\sigma_x^2} \mathrm{e}^{-\frac{r^2}{2\sigma_x^2}}, & r \ge 0 \\ 0, & r < 0 \end{cases} fr(r,t)=⎩ ⎨ ⎧σx2re−2σx2r2,0,r≥0r<0
fθ(θ,t)={12π,θ∈[0,2π)0,θ∉[0,2π) f_\theta(\theta,t) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2\pi}, & \theta \in [0, 2\pi) \\ 0, & \theta \notin [0, 2\pi) \end{cases} fθ(θ,t)=⎩ ⎨ ⎧2π1,0,θ∈[0,2π)θ∈/[0,2π)
性质(包络平方的概率分布)
如果平稳窄带高斯信号 x(t)x(t)x(t) 的均值为零、方差为 σx2\sigma_x^2σx2，则它的包络平方 w(t)=kr2(t)w(t) = k r^2(t)w(t)=kr2(t) 服从参数为 1/(2kσx2)1/(2k\sigma_x^2)1/(2kσx2) 的指数分布：
fw(w;t)=12kσx2e−w2kσx2u(w) f_w(w;t) = \frac{1}{2k\sigma_x^2} \mathrm{e}^{-\frac{w}{2k\sigma_x^2}} u(w) fw(w;t)=2kσx21e−2kσx2wu(w)
其中 u(w)u(w)u(w) 为单位阶跃函数。
窄带高斯信号的高频部分
在应用中，我们经常会遇到高频正弦信号与窄带高斯噪声叠加形成的合成信号。为了分析这种信号，需要先了解它的几种基本概率分布。
合成信号及其基本分布
实际中广泛使用的高频正弦信号为：
s(t)=Acos(ω0t+Φ(t)) s(t) = A\cos(\omega_0 t + \Phi(t)) s(t)=Acos(ω0t+Φ(t))
其中，载波频率 ω0\omega_0ω0 是确定量；相位 Φ(t)\Phi(t)Φ(t) 可能是确定量，也可能是无法预知的随机漂移；振幅 AAA 是常量或带限随机信号，因此 s(t)s(t)s(t) 是窄带随机信号。下面只考虑 AAA 为确定常量的情形。
接收 s(t)s(t)s(t) 时总会同时收到噪声 n(t)n(t)n(t)，实际接收机的前端设置有窄带滤波器，它与信号对准。于是，接收到的信号可以表示为：
x(t)=s(t)+n(t) x(t) = s(t) + n(t) x(t)=s(t)+n(t)
它是高频信号与窄带噪声的合成信号。
n(t)=in(t)cosω0t−qn(t)sinω0tv(t)=Acos(ω0t+Φ(t))+in(t)cosω0t−qn(t)sinω0t=[AcosΦ(t)+in(t)]cosω0t−[AsinΦ(t)+qn(t)]sinω0t=ix(t)cosω0t−qx(t)sinω0t \begin{aligned} n(t) &= i_n(t)\cos\omega_0 t - q_n(t)\sin\omega_0 t \\ v(t) &= A\cos(\omega_0 t + \Phi(t)) + i_n(t)\cos\omega_0 t - q_n(t)\sin\omega_0 t \\ &= \left[A\cos\Phi(t) + i_n(t)\right]\cos\omega_0 t - \left[A\sin\Phi(t) + q_n(t)\right]\sin\omega_0 t \\ &= i_x(t)\cos\omega_0 t - q_x(t)\sin\omega_0 t \end{aligned} n(t)v(t)=in(t)cosω0t−qn(t)sinω0t=Acos(ω0t+Φ(t))+in(t)cosω0t−qn(t)sinω0t=[AcosΦ(t)+in(t)]cosω0t−[AsinΦ(t)+qn(t)]sinω0t=ix(t)cosω0t−qx(t)sinω0t
式中
ix(t)=AcosΦ(t)+in(t),qx(t)=AsinΦ(t)+qn(t) i_x(t) = A\cos\Phi(t) + i_n(t), \quad q_x(t) = A\sin\Phi(t) + q_n(t) ix(t)=AcosΦ(t)+in(t),qx(t)=AsinΦ(t)+qn(t)
它们是合成信号 x(t)x(t)x(t) 的同相与正交分量。
下面讨论与合成信号 x(t)x(t)x(t) 有关的几个概率分布。该问题的分析思路是：只考虑给定 Φ(t)=φ\Phi(t) = \varphiΦ(t)=φ 的条件下的各种概率分布，应用需要时再对相位 Φ(t)\Phi(t)Φ(t) 进行统计平均。显然：
E[ix(t)∣φ]=Acosφ,σix2=σn2=σ2E[qx(t)∣φ]=Asinφ,σqx2=σn2=σ2E{[ix(t)−E[ix(t)]][qx(t)−E[qx(t)]]∣φ}=0 \begin{aligned} E[i_x(t)|\varphi] &= A\cos\varphi, \quad \sigma_{i_x}^2 = \sigma_n^2 = \sigma^2 \\ E[q_x(t)|\varphi] &= A\sin\varphi, \quad \sigma_{q_x}^2 = \sigma_n^2 = \sigma^2 \\ E\left\{\left[i_x(t)-E[i_x(t)]\right]\left[q_x(t)-E[q_x(t)]\right]|\varphi\right\} &= 0 \end{aligned} E[ix(t)∣φ]E[qx(t)∣φ]E{[ix(t)−E[ix(t)]][qx(t)−E[qx(t)]]∣φ}=Acosφ,σix2=σn2=σ2=Asinφ,σqx2=σn2=σ2=0
因此，合成信号 x(t)x(t)x(t) 的同相分量 ix(t)i_x(t)ix(t) 与正交分量 qx(t)q_x(t)qx(t)（在同一时刻上）是彼此独立的，并具有不同均值、相同方差的高斯分布，即：
fix(i;φ)=12πσe−(i−Acosφ)22σ2,fqx(q;φ)=12πσe−(q−Asinφ)22σ2 f_{i_x}(i;\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(i - A\cos\varphi)^2}{2\sigma^2}}, \quad f_{q_x}(q;\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(q - A\sin\varphi)^2}{2\sigma^2}} fix(i;φ)=2π σ1e−2σ2(i−Acosφ)2,fqx(q;φ)=2π σ1e−2σ2(q−Asinφ)2
与
fixqx(i,q;t,t;φ)=fix(i;φ)fqx(q;φ)=12πσ2e−(i−Acosφ)2+(q−Asinφ)22σ2 f_{i_x q_x}(i,q;t,t;\varphi) = f_{i_x}(i;\varphi)f_{q_x}(q;\varphi) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \mathrm{e}^{-\frac{(i - A\cos\varphi)^2 + (q - A\sin\varphi)^2}{2\sigma^2}} fixqx(i,q;t,t;φ)=fix(i;φ)fqx(q;φ)=2πσ21e−2σ2(i−Acosφ)2+(q−Asinφ)2
合成信号的包络与相位分布
合成信号的包络与相位为：
rx(t)=ix2(t)+qx2(t),θx(t)=arctanqx(t)ix(t) r_x(t) = \sqrt{i_x^2(t) + q_x^2(t)}, \quad \theta_x(t) = \arctan\frac{q_x(t)}{i_x(t)} rx(t)=ix2(t)+qx2(t) ,θx(t)=arctanix(t)qx(t)
考察包络 rx(t)r_x(t)rx(t) 与相位 θx(t)\theta_x(t)θx(t) 的分布时，我们注意到这正是例1.15中复随机变量 Z=X+jY=RejΘZ = X + jY = R\mathrm{e}^{j\Theta}Z=X+jY=RejΘ 在 XXX 与 YYY 均不为零时所讨论的问题。直接利用那里的联合分布结论，可以得到下面的联合分布函数：
frxθx(r,θ;t;φ)=r2πσ2exp{−r2+A2−2rAcos(θ−φ)2σ2} f_{r_x \theta_x}(r,\theta;t;\varphi) = \frac{r}{2\pi\sigma^2} \exp\left\{-\frac{r^2 + A^2 - 2rA\cos(\theta - \varphi)}{2\sigma^2}\right\} frxθx(r,θ;t;φ)=2πσ2rexp{−2σ2r2+A2−2rAcos(θ−φ)}
1. 合成信号的包络分布
为了获得包络的分布，可由上式求解边缘概率密度，其结果与例1.15后半部分所讨论的相同，因此可直接得出：x(t)x(t)x(t) 的包络 rx(t)r_x(t)rx(t) 服从莱斯分布，即：
frx(r;φ)=rσ2exp(−r2+A22σ2)I0(rAσ2),r≥0 f_{r_x}(r;\varphi) = \frac{r}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{r^2 + A^2}{2\sigma^2}\right) I_0\left(\frac{rA}{\sigma^2}\right), \quad r \ge 0 frx(r;φ)=σ2rexp(−2σ2r2+A2)I0(σ2rA),r≥0
式中，修正的零阶贝塞尔函数中含有相位 φ\varphiφ，即：
I0(x)=12π∫02πexcos(θ−φ)dθ I_0(x) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{x\cos(\theta - \varphi)} \mathrm{d}\theta I0(x)=2π1∫02πexcos(θ−φ)dθ
为简洁起见，引入归一化包络和归一化信号幅度：
ζx(t)=rx(t)/σ,α=A/σ \zeta_x(t) = r_x(t)/\sigma, \quad \alpha = A/\sigma ζx(t)=rx(t)/σ,α=A/σ
此时：
fζx(ζ;φ)=ζexp(−ζ2+α22)I0(αζ) f_{\zeta_x}(\zeta;\varphi) = \zeta \exp\left(-\frac{\zeta^2 + \alpha^2}{2}\right) I_0(\alpha \zeta) fζx(ζ;φ)=ζexp(−2ζ2+α2)I0(αζ)
归一化信号幅度 α=A/σ\alpha = A/\sigmaα=A/σ 反映的是信噪比。下面依据它分两种情况来讨论：
-
低信噪比时 ，α≪1\alpha \ll 1α≪1：
由于 x≪1x \ll 1x≪1 时，I0(x)≈1+x2/4I_0(x) \approx 1 + x^2/4I0(x)≈1+x2/4，因此：
frx(r;φ)≈rσ2exp(−r2+A22σ2)(1+A2r24σ4) f_{r_x}(r;\varphi) \approx \frac{r}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{r^2 + A^2}{2\sigma^2}\right)\left(1 + \frac{A^2 r^2}{4\sigma^4}\right) frx(r;φ)≈σ2rexp(−2σ2r2+A2)(1+4σ4A2r2)它随信噪比减小而趋于瑞利分布。当信噪比为零（α=0\alpha = 0α=0）时，它完全变为瑞利分布。
-
高信噪比时 ，α≫1\alpha \gg 1α≫1：
由于 x≫1x \gg 1x≫1 时，I0(x)≈ex/2πxI_0(x) \approx \mathrm{e}^x/\sqrt{2\pi x}I0(x)≈ex/2πx ，因此：
fζx(ζ;φ)≈ζ2παζexp[−ζ2+α22+αζ]=ζ2παexp[−(ζ−α)22] f_{\zeta_x}(\zeta;\varphi) \approx \frac{\zeta}{\sqrt{2\pi\alpha \zeta}} \exp\left[-\frac{\zeta^2 + \alpha^2}{2} + \alpha \zeta\right] = \sqrt{\frac{\zeta}{2\pi \alpha}} \exp\left[-\frac{(\zeta - \alpha)^2}{2}\right] fζx(ζ;φ)≈2παζ ζexp[−2ζ2+α2+αζ]=2παζ exp[−2(ζ−α)2]它在 ζ=α\zeta = \alphaζ=α 处出现峰值，此时 rx=Ar_x = Arx=A。在信噪比很高时（几乎没有噪声），rx≈Ar_x \approx Arx≈A（即 ζ≈α\zeta \approx \alphaζ≈α），归一化信号幅度接近标准高斯分布。
2. 合成信号的相位分布
为了获得相位的分布，可由联合分布求解边缘概率密度：
fθx(θ;t;φ)=∫0∞frxθx(r,θ;t,t;φ)dr=∫0∞r2πσ2exp{−r2+A2−2rAcos(θ−φ)2σ2}dr=12πexp{−A2sin2(θ−φ)2σ2}∫0∞rσ2exp{−[r−Acos(θ−φ)]22σ2}dr \begin{aligned} f_{\theta_x}(\theta;t;\varphi) &= \int_0^\infty f_{r_x \theta_x}(r,\theta;t,t;\varphi) \mathrm{d}r \\ &= \int_0^\infty \frac{r}{2\pi\sigma^2} \exp\left\{-\frac{r^2 + A^2 - 2rA\cos(\theta - \varphi)}{2\sigma^2}\right\} \mathrm{d}r \\ &= \frac{1}{2\pi} \exp\left\{-\frac{A^2 \sin^2(\theta - \varphi)}{2\sigma^2}\right\} \int_0^\infty \frac{r}{\sigma^2} \exp\left\{-\frac{[r - A\cos(\theta - \varphi)]^2}{2\sigma^2}\right\} \mathrm{d}r \end{aligned} fθx(θ;t;φ)=∫0∞frxθx(r,θ;t,t;φ)dr=∫0∞2πσ2rexp{−2σ2r2+A2−2rAcos(θ−φ)}dr=2π1exp{−2σ2A2sin2(θ−φ)}∫0∞σ2rexp{−2σ2[r−Acos(θ−φ)]2}dr
化简并采用归一化信号幅度，最后得出合成信号 x(t)x(t)x(t) 的相位 θx(t)\theta_x(t)θx(t) 具有的概率分布为：
fθx(θ;φ)=12πe−α22+αcos(θ−φ)22πe−α2sin2(θ−φ)2{1+Q[αcos(θ−φ)]}=12πe−α22+αcos(θ−φ)2πe−α2sin2(θ−φ)2{1−Φ[αcos(θ−φ)]} \begin{aligned} f_{\theta_x}(\theta;\varphi) &= \frac{1}{2\pi} \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2}{2}} + \frac{\alpha \cos(\theta - \varphi)}{2\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2 \sin^2(\theta - \varphi)}{2}} \left\{1 + Q\left[\alpha \cos(\theta - \varphi)\right]\right\} \\ &= \frac{1}{2\pi} \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2}{2}} + \frac{\alpha \cos(\theta - \varphi)}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2 \sin^2(\theta - \varphi)}{2}} \left\{1 - \Phi\left[\alpha \cos(\theta - \varphi)\right]\right\} \end{aligned} fθx(θ;φ)=2π1e−2α2+22π αcos(θ−φ)e−2α2sin2(θ−φ){1+Q[αcos(θ−φ)]}=2π1e−2α2+2π αcos(θ−φ)e−2α2sin2(θ−φ){1−Φ[αcos(θ−φ)]}
其中，Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 是标准正态分布函数，而 QQQ 函数定义为：
Q(x)=∫x∞12πe−u2/2du=1−Φ(x) Q(x) = \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-u^2/2} \mathrm{d}u = 1 - \Phi(x) Q(x)=∫x∞2π 1e−u2/2du=1−Φ(x)
它是通信等应用领域的工程师们常常喜欢使用的一种函数。
以同样分两种情况来讨论：
- 无信号时 ，α=0\alpha = 0α=0，相位分布退化为均匀分布。
- 高信噪比时 ，α≫1\alpha \gg 1α≫1，有 Φ[αcos(θ−φ)]≈1\Phi[\alpha \cos(\theta - \varphi)] \approx 1Φ[αcos(θ−φ)]≈1，相位分布近似为：
fθx(θ;φ)≈αcos(θ−φ)2πe−α2sin2(θ−φ)2 f_{\theta_x}(\theta;\varphi) \approx \frac{\alpha \cos(\theta - \varphi)}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{\alpha^2 \sin^2(\theta - \varphi)}{2}} fθx(θ;φ)≈2π αcos(θ−φ)e−2α2sin2(θ−φ)
很显然，当信噪比很高时（几乎没有噪声），相位基本上完全集中在信号相位 φ\varphiφ 附近，fθx(θ;φ)f_{\theta_x}(\theta;\varphi)fθx(θ;φ) 近似于 δ\deltaδ 函数。