随机信号分析| 01 随机信号分析大纲

随机信号分析| 01 随机信号分析大纲

文章目录

• [随机信号分析| 01 随机信号分析大纲](#随机信号分析| 01 随机信号分析大纲)
• • 随机信号分析的数学基础与章节安排
  • 随机信号分析中的物理量
  • 平稳性
  • 各态历经性
  • 随机信号通过线性系统
  • 带通随机信号

随机信号分析的数学基础与章节安排

随机信号事实上在数学上的模型是一个随机过程，随机过程的定义是这样的:对于给定的参数集合 T T T，若对于每一个 t ∈ T t\in T t∈T，都有一个随机变量 X ( ξ , t ) X(\xi,t) X(ξ,t)与之对应，其中 ξ \xi ξ 是样本点。用集合表述为:

{ X ( t , ξ ) , t ∈ T } \{X(t,\xi),t\in T\} {X(t,ξ),t∈T}

从上面定义我们不难看出: 当固定参数集合 t t t时， X ( ξ , t ) = X ( ξ ) X(\xi,t)=X(\xi) X(ξ,t)=X(ξ)就可以认为 X ( ξ ) X(\xi) X(ξ)是 ξ \xi ξ的一个函数；当样本点 ξ \xi ξ时， X ( ξ , t ) = X ( t ) X(\xi,t)=X(t) X(ξ,t)=X(t)这个时候就是对应样本点映射到了一个关于参数的一个函数上，而随机信号的工程定义则是基于后者定义的：

给定一个样本全空间 Ω \Omega Ω,其中对每一个样本点 ξ \xi ξ映射到一个函数 X ( t ) X(t) X(t)上，其中 t t t是时间，所以一般的随机信号就被定义为:

{ X ( ξ , t ) , t ∈ T } \{X(\xi,t),t\in T\} {X(ξ,t),t∈T}

随机信号分析则是建立于随机过程基础上的工程应用，它主要关注的是信号的平稳性、各态历经性以及信号经过线性系统后的一些性质。

本文参考随机信号第四版，接下来本文安排结构如下： 首先是简要对随机信号分析中的物理量进行简要的介绍，然后介绍信号的平稳性与各态历经性，然后介绍信号经过线性系统的一些应用，最后介绍了一种工程中的重要信号：带通信号。

随机信号分析中的物理量

定义（随机信号） 对于随机实验样本空间 Ω \Omega Ω上的每一个 ξ \xi ξ，我们赋予一个函数X(t,\\xi),\\xi \\in \\Omega 则确定了一个具有一定统计特性的随机函数，称为随机过程或者随机信号。

随机信号中比较重要的数字特征

随机信号中比较关心如下数字特征，他们的定义都是基于固定参数后的随机变量的数字特征进行定义的:

首先是均值，均值就是对给定的参数 t t t，有随机过程X(t,\\xi),\\xi \\in \\Omega 的 均值为：

m X ( t ) = m X ( t ) = E X ( t ) = ∫ R x f X ( x , t ) d x m_{X}(t)=m_{X(t)}=\mathbb{E}X(t)=\int_{\mathbb{R}}xf_{X}(x,t)\mathrm{d}x mX(t)=mX(t)=EX(t)=∫RxfX(x,t)dx

其中， f X ( x , t ) f_{X}(x,t) fX(x,t)代表在 t t t给定下的 X X X的概率密度函数,在不影响理解下，可以写为 m X ( t ) m_{X}(t) mX(t)表示随机过程X(t,\\xi),\\xi \\in \\Omega 的均值(这个字母的含义来自于一阶原点矩)。

然后就是方差与标准差：

σ X 2 ( t ) = σ X ( t ) 2 = E [ X ( t ) − m X ( t ) ] 2 \sigma_X^2(t)=\sigma_{X(t)}^2=\mathbb{E}\left[X(t)-m_{X}(t)\right]^2 σX2(t)=σX(t)2=E[X(t)−mX(t)]2

然后就是自相关函数与自协方差函数，自相关系数，均方值函数：

自相关函数
R X ( t 1 , t 2 ) = R X ( t 1 ) , X ( t 2 ) = E [ X ( t 1 ) X ( t 2 ) ] R_{X}(t_1,t_2)=R_{X(t_1),X(t_2)}=\mathbb{E}\left[X(t_1)X(t_2)\right] RX(t1,t2)=RX(t1),X(t2)=E[X(t1)X(t2)]

自协方差函数

C X ( t 1 , t 2 ) = Cov ( X 1 ( t ) , X 2 ( t ) ) = E { ( X ( t 1 ) − m X ( t 1 ) ) ( X ( t 2 ) − m X ( t 2 ) ) } = R X ( t 1 , t 2 ) − m X ( t 1 ) m X ( t 2 ) \begin{align*} C_X(t_1,t_2)=\text{Cov}(X_{1}(t),X_{2}(t))&= \mathbb{E}\{(X(t_1)-m_X(t_1))(X(t_2)-m_X(t_2))\}\\ &=R_{X}(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2) \end{align*} CX(t1,t2)=Cov(X1(t),X2(t))=E{(X(t1)−mX(t1))(X(t2)−mX(t2))}=RX(t1,t2)−mX(t1)mX(t2)

自相关系数：

ρ X ( t 1 , t 2 ) = Cov ( X ( t 1 ) , X ( t 2 ) ) σ X ( t 1 ) σ X ( t 2 ) = C X ( t 1 , t 2 ) σ X ( t 1 ) σ X ( t 2 ) \begin{align*} \rho_{X}(t_1,t_2)&=\frac{\text{Cov}\left(X(t_1),X(t_2)\right)}{\sigma_{X}(t_1)\sigma_{X}(t_2)}\\ &=\frac{C_X(t_1,t_2)}{\sigma_{X}(t_1)\sigma_{X}(t_2)} \end{align*} ρX(t1,t2)=σX(t1)σX(t2)Cov(X(t1),X(t2))=σX(t1)σX(t2)CX(t1,t2)

均方值函数是一种特殊的自相关函数：

E X 2 ( t ) = R X ( t , t ) \mathbb{E}X^2(t)=R_{X}(t,t) EX2(t)=RX(t,t)

最后是对于两个随机信号之间的互相关函数、互协方差函数以及互相关系数

互相关函数
R X Y ( t 1 , t 2 ) = R X ( t 1 ) , Y ( t 2 ) = E [ X ( t 1 ) Y ( t 2 ) ] R_{XY}(t_1,t_2)=R_{X(t_1),Y(t_2)}=\mathbb{E}\left[X(t_1)Y(t_2)\right] RXY(t1,t2)=RX(t1),Y(t2)=E[X(t1)Y(t2)]

互协方差函数

C X Y ( t 1 , t 2 ) = Cov ( X 1 ( t ) , Y 2 ( t ) ) = E { ( X ( t 1 ) − m X ( t 1 ) ) ( Y ( t 2 ) − m Y ( t 2 ) ) } = R X Y ( t 1 , t 2 ) − m X ( t 1 ) m Y ( t 2 ) \begin{align*} C_{XY}(t_1,t_2)=\text{Cov}(X_{1}(t),Y_{2}(t))&= \mathbb{E}\{(X(t_1)-m_X(t_1))(Y(t_2)-m_Y(t_2))\}\\ &=R_{XY}(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_Y(t_2) \end{align*} CXY(t1,t2)=Cov(X1(t),Y2(t))=E{(X(t1)−mX(t1))(Y(t2)−mY(t2))}=RXY(t1,t2)−mX(t1)mY(t2)

互相关系数：

ρ X Y ( t 1 , t 2 ) = Cov ( X ( t 1 ) , Y ( t 2 ) ) σ X ( t 1 ) σ Y ( t 2 ) = C X Y ( t 1 , t 2 ) σ X ( t 1 ) σ Y ( t 2 ) \begin{align*} \rho_{XY}(t_1,t_2)&=\frac{\text{Cov}\left(X(t_1),Y(t_2)\right)}{\sigma_{X}(t_1)\sigma_{Y}(t_2)}\\ &=\frac{C_{XY}(t_1,t_2)}{\sigma_{X}(t_1)\sigma_{Y}(t_2)} \end{align*} ρXY(t1,t2)=σX(t1)σY(t2)Cov(X(t1),Y(t2))=σX(t1)σY(t2)CXY(t1,t2)

随机信号的物理学特征

信号作为信息的一种载体，它是具有能量的。功率是信号的重要物理量。电磁波可以是一个信号，你的写作业的过程也是一个信号,它们本质上都是通过某种变化承载特定内容，且这类信号均具备能量和功率的物理属性。

在确定信号分析中，设信号为 x ( t ) x(t) x(t)的定义为:

E = ∫ R x 2 ( t ) d t E=\int_{\mathbb{R}}x^2(t)\mathrm{d}t E=∫Rx2(t)dt

那么在积分区域 T T T内的平均功率定义为：

P ‾ = ∫ T x 2 ( t ) d t ∣ T ∣ \overline{P}=\dfrac{\int_{T}x^2(t)\mathrm{d}t}{|T|} P=∣T∣∫Tx2(t)dt

显然，信号的功率被定义为：

P = lim ⁡ T → ∞ ∫ T x 2 ( t ) d t ∣ T ∣ P=\lim_{T \to \infty}\dfrac{\int_{T}x^2(t)\mathrm{d}t}{|T|} P=T→∞lim∣T∣∫Tx2(t)dt

由此我们得到了确定信号的能量与功率：

E = ∫ R x 2 ( t ) d t E=\int_{\mathbb{R}}x^2(t)\mathrm{d}t E=∫Rx2(t)dt

P = lim ⁡ T → ∞ ∫ T x 2 ( t ) d t ∣ T ∣ P=\lim_{T \to \infty}\dfrac{\int_{T}x^2(t)\mathrm{d}t}{|T|} P=T→∞lim∣T∣∫Tx2(t)dt

信号分为两种，一种是能量型信号，一种是功率型信号，能量型信号的总能量是一个有限值。

对于上面的式子很显然是一个整体形式的式子，自然对于工程应用是具有十分局限的，这时候傅里叶变化就需要被拉出来了，傅里叶变化的最初想法是用三角函数作为基函数对函数 x ( t ) x(t) x(t)进行级数展开，但是由于信号的频率成分事实上是连续的所以及转化为傅里叶积分的形式，因此我们见到的傅里叶变化实际上是积分变换：

f ( x ) ↪ F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t f(x)\hookrightarrow F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d}t f(x)↪F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt

自然地对信号进行频谱分析:

x ( t ) ⇒ X ( ω ) = ∫ R x ( t ) e − j ω t d t x(t)\Rightarrow X(\omega)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t x(t)⇒X(ω)=∫Rx(t)e−jωtdt

由帕塞瓦尔定理:

∫ R x 2 ( t ) d t = 1 2 π ∫ R ∣ X ( ω ) ∣ 2 d ω \int_{\mathbb{R}}x^2(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} |X(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega ∫Rx2(t)dt=2π1∫R∣X(ω)∣2dω

可见，确定信号的能量谱密度就定义为:

S X ( ω ) = 1 2 π ∣ X ( ω ) ∣ 2 S_X(\omega)=\frac{1}{2\pi} |X(\omega)|^2 SX(ω)=2π1∣X(ω)∣2

然而，以上是能量谱密度，对于功率型信号谱密度因其能量无限，直接计算导致积分发散，因此功率型信号的谱密度需要先对信号截短，求其傅里叶变换，再对能量谱做时间平均并取极限：

S X ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∣ X T ( ω ) ∣ 2 S_X(\omega) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \big|X_T(\omega)\big|^2 SX(ω)=T→∞lim2T1 XT(ω) 2

其中，截断信号就定义为:

x T ( t ) = { x ( t ) , ∣ t ∣ ≤ T 0 , ∣ t ∣ > T x_T(t) = \begin{cases} x(t), & |t| \le T \\ 0, & |t| > T \end{cases} xT(t)={x(t),0,∣t∣≤T∣t∣>T

X T ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x T ( t )   e − j ω t   d t = ∫ − T T x ( t )   e − j ω t   d t X_T(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x_T(t)\, e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t = \int_{-T}^{T} x(t)\, e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t XT(ω)=∫−∞+∞xT(t)e−jωtdt=∫−TTx(t)e−jωtdt

以上的定义为确定型的信号功率谱密度的定义，在随机信号中，我们的拓展思路是: 首先对每一个样本函数 ，按确定信号的方式定义功率谱密度，再对全部样本统计平均 ，从而得到随机过程的功率谱密度。(为什么只研究功率型随机信号，因为我们更关心的是持续存在的信号，所以一般认为随机信号 ⊂ \subset ⊂ 功率信号)

随机信号的功率定义为:

P = E  ⁣ [   P X ( t , ξ )   ] = E  ⁣ [ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T ∣ X ( t , ξ ) ∣ 2 d t ] P = \mathbb{E}\!\left[\,P_{X(t,\xi)}\,\right] = \mathbb{E}\!\left[ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \bigl|X(t,\xi)\bigr|^2 \mathrm{d}t \right] P=E[PX(t,ξ)]=E[T→∞lim2T1∫−TT X(t,ξ) 2dt]

在满足换序条件下:

P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T R ( t , t ) d t P=\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^TR(t,t)\mathrm d t P=T→∞lim2T1∫−TTR(t,t)dt

平稳性

对于某些统计特性随时间参数不变的信号叫做平稳随机信号。

定义(严格平稳过程;强平稳) 若信号 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t\in T\} {X(t),t∈T}的任意 n n n维分布函数具有如下参量平移不变性:

∀ t 1 , t 2 , ⋯   , t n ∈ T , x 1 , x 2 , ⋯   , x n ∈ R , ∀ u , u + t i ∈ T ⇒ F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ; t 1 , t 2 , ⋯   , t n ) = F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ; t 1 + u , t 2 + u , ⋯   , t n + u ) \forall t_1,t_2,\cdots,t_n\in T,x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb R ,\forall u,u +t_i \in T \Rightarrow F(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)=F(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1+u,t_2+u,\cdots ,t_n+u) ∀t1,t2,⋯,tn∈T,x1,x2,⋯,xn∈R,∀u,u+ti∈T⇒F(x1,x2,⋯,xn;t1,t2,⋯,tn)=F(x1,x2,⋯,xn;t1+u,t2+u,⋯,tn+u)

则称它为严格平稳信号。

这种信号性质良好，但是条件比较严格，因此广义平稳被提出：

定义(广义平稳过程;宽平稳;弱平稳) 若信号 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t\in T\} {X(t),t∈T}满足均值与相关函数存在，且均值为常数，自相关函数只与参数相对差有关则称这个信号为广义平稳信号。

类似的我们可以对多个信号定义联合严格平稳与联合广义平稳。

定义（联合严格平稳过程;联合强平稳)

设有两个随机过程 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T}、 { Y ( t ) ,   t ∈ T } \{Y(t),\,t\in T\} {Y(t),t∈T}，若对任意正整数 n , m n,m n,m，任意时刻
t 1 , t 2 , ... , t n ∈ T t_1,t_2,\dots,t_n\in T t1,t2,...,tn∈T， s 1 , s 2 , ... , s m ∈ T s_1,s_2,\dots,s_m\in T s1,s2,...,sm∈T，以及任意平移量 u u u 满足
u + t i ∈ T ,   u + s j ∈ T u+t_i\in T,\,u+s_j\in T u+ti∈T,u+sj∈T，其联合分布函数满足平移不变性：

F X , Y ( x 1 , ... , x n ,   y 1 , ... , y m ;    t 1 , ... , t n ,   s 1 , ... , s m ) = F X , Y ( x 1 , ... , x n ,   y 1 , ... , y m ;    t 1 + u , ... , t n + u ,   s 1 + u , ... , s m + u ) F_{X,Y}(x_1,\dots,x_n,\,y_1,\dots,y_m;\;t_1,\dots,t_n,\,s_1,\dots,s_m) =F_{X,Y}(x_1,\dots,x_n,\,y_1,\dots,y_m;\; t_1+u,\dots,t_n+u,\,s_1+u,\dots,s_m+u) FX,Y(x1,...,xn,y1,...,ym;t1,...,tn,s1,...,sm)=FX,Y(x1,...,xn,y1,...,ym;t1+u,...,tn+u,s1+u,...,sm+u)

则称 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 与 { Y ( t ) } \{Y(t)\} {Y(t)} 联合严格平稳。

定义(联合广义平稳过程;联合宽平稳）

若两个随机过程 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T}、 { Y ( t ) ,   t ∈ T } \{Y(t),\,t\in T\} {Y(t),t∈T} 满足：

1. 各自的均值为常数 ：
   E [ X ( t ) ] = μ X , E [ Y ( t ) ] = μ Y \mathbb{E}[X(t)] = \mu_X,\quad \mathbb{E}[Y(t)] = \mu_Y E[X(t)]=μX,E[Y(t)]=μY

2. 各自的自相关函数仅与时间差有关 ：
   R X ( t 1 , t 2 ) = R X ( τ ) , τ = t 1 − t 2 R_X(t_1,t_2) = R_X(\tau),\quad \tau=t_1-t_2 RX(t1,t2)=RX(τ),τ=t1−t2
   R Y ( t 1 , t 2 ) = R Y ( τ ) , τ = t 1 − t 2 R_Y(t_1,t_2) = R_Y(\tau),\quad \tau=t_1-t_2 RY(t1,t2)=RY(τ),τ=t1−t2

3. 互相关函数仅与时间差有关 ：
   R X Y ( t 1 , t 2 ) = E [ X ( t 1 ) Y ( t 2 ) ] = R X Y ( τ ) , τ = t 1 − t 2 R_{XY}(t_1,t_2) = \mathbb{E}[X(t_1)Y(t_2)] = R_{XY}(\tau),\quad \tau=t_1-t_2 RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=RXY(τ),τ=t1−t2

且以上均值与相关函数均存在，则称 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 与 { Y ( t ) } \{Y(t)\} {Y(t)} 联合广义平稳。

除了关于参量的平移不变性，事实上我们可以根据不同的参量不变办法得到一系列的稳定性分析，最特别的就是循环平稳性。

定义(严格循环平稳性)

若随机信号 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T} 存在常数 α > 0 \alpha>0 α>0 ，使得对任意 n n n、任意
t 1 , t 2 , ... , t n ∈ T t_1,t_2,\dots,t_n\in T t1,t2,...,tn∈T、任意 x 1 , x 2 , ... , x n ∈ R x_1,x_2,\dots,x_n\in\mathbb{R} x1,x2,...,xn∈R 以及任意平移量 u u u，其 n n n 维分布函数满足
周期平移不变性 ：
F ( x 1 , x 2 , ... , x n ;    t 1 , t 2 , ... , t n ) = F ( x 1 , x 2 , ... , x n ;    t 1 + α u ,   t 2 + α u ,   ... ,   t n + α u ) F(x_1,x_2,\dots,x_n;\;t_1,t_2,\dots,t_n)= F(x_1,x_2,\dots,x_n;\;t_1+\alpha u,\,t_2+\alpha u,\,\dots,\,t_n+\alpha u) F(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)=F(x1,x2,...,xn;t1+αu,t2+αu,...,tn+αu)

则称 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 为严格循环平稳过程 ，
α \alpha α 称为循环周期。

定义(广义循环平稳性) 若随机信号 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T} 满足：

1. 均值函数是周期函数 ，周期为 α \alpha α：
   E [ X ( t + α ) ] = E [ X ( t ) ] , ∀ t \mathbb{E}[X(t+\alpha)] = \mathbb{E}[X(t)],\quad \forall t E[X(t+α)]=E[X(t)],∀t

2. 自相关函数是双周期函数 ，满足
   R X ( t + α ,   s + α ) = R X ( t ,   s ) , ∀ t , s R_X(t+\alpha,\,s+\alpha) = R_X(t,\,s),\quad \forall t,s RX(t+α,s+α)=RX(t,s),∀t,s

   即自相关函数仅依赖于时间差 与周期相位 ，且以 α \alpha α 为周期。

则称 { X ( t ) } \{X(t)\} {X(t)} 为广义循环平稳过程

关于平稳信号它的相关函数具有以下性质:

性质1 若 { X ( t ) ,   t ∈ T } \{X(t),\,t\in T\} {X(t),t∈T}是一个实平稳信号，则其自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)就满足:

1. 偶函数

2. 原点处非负且最大，是有界函数

3. 若 R ( τ 1 ) = R ( τ 2 ) = R ( 0 ) , τ 1 ≠ 0 , τ 2 ≠ 0 R(\tau_1)=R(\tau_2)=R(0),\tau_1\ne 0,\tau_2 \ne 0 R(τ1)=R(τ2)=R(0),τ1=0,τ2=0那么信号以 τ 1 \tau_1 τ1和 τ 2 \tau_2 τ2为周期平稳

4. R ( τ ) R(\tau) R(τ)在 0 0 0处连续，那么它处处连续

性质 2 若 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t), t \in T\} {X(t),t∈T} 是平稳信号，则
C ( τ ) = R ( τ ) − m 2 , σ 2 = R ( 0 ) − m 2 C(\tau) = R(\tau) - m^2,\quad \sigma^2 = R(0) - m^2 C(τ)=R(τ)−m2,σ2=R(0)−m2

性质 3 若 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t), t \in T\} {X(t),t∈T} 与 { Y ( t ) , t ∈ T } \{Y(t), t \in T\} {Y(t),t∈T} 是联合平稳信号，则
R X Y ( − τ ) = R Y X ( τ ) , C X Y ( τ ) = R X Y ( τ ) − m X m Y R_{XY}(-\tau) = R_{YX}(\tau),\quad C_{XY}(\tau) = R_{XY}(\tau) - m_X m_Y RXY(−τ)=RYX(τ),CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY

各态历经性

各态历经性的含义是: 随机信号任何一个样本函数的时间平均依概率意义等于统计平均。这句话初看很抽象，举一个例子:

假设有一个人叫A，另一个人叫B，A因为高考失利进入一所双非大学读书，而B高考考的非常好，考入了一所211985大学，经过四年的学习，A成功考入B的大学，在人生经历的意义上，A和B都在同一所大学读书了，但是只是时间先后的不同，所以从人生经历的意义上，A总会读一个好大学的，这就是经历或者叫历经。

还有一个更浪漫的例子：

人离世后，构成身体的所有粒子并不会消失，只是散入宇宙。而在无限漫长的时间里，依据概率与遍历的意义，这些离散的粒子终将在未来某一刻，重新汇聚、复原成曾经的你------如同从未离开，以另一种方式，再次完整地"复活"。来自抖音。

类似的，各态历经性也有很多定义，若是关于每一个参数都拥有各态历经性，那么我们就叫这个信号为严格各态历经性。，然后这个要求同样比较严格，我们定义类似的广义的各态历经性:

定义(均值的各态历经性) 给定随机信号 { X ( t , ξ ) , t ∈ T } \{X(t,\xi),t\in T\} {X(t,ξ),t∈T}，若:

P ( lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T X ( t , ξ ) d t = E ( X ( t ) ) ) = 1 P\left(\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t,\xi)\mathrm{d} t=\mathbb{E}(X(t))\right)=1 P(T→∞lim2T1∫−TTX(t,ξ)dt=E(X(t)))=1

满足上式，就称这个信号具有均值的各态历经性。显然我们可以得到一个等价的定义:

若信号的时间平均的方差为0(时间平均几乎处处相同)，同时样本平均为常数。

定义(相关的各态历经性)

给定随机信号 { X ( t , ξ ) ,   t ∈ T } \{X(t,\xi),\,t\in T\} {X(t,ξ),t∈T}，若对任意的 τ \tau τ，有
P ( lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T X ( t , ξ ) X ( t + τ , ξ ) d t = E [ X ( t ) X ( t + τ ) ] ) = 1 P\left(\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X(t,\xi)X(t+\tau,\xi)\mathrm{d} t=\mathbb{E}\big[X(t)X(t+\tau)\big]\right)=1 P(T→∞lim2T1∫−TTX(t,ξ)X(t+τ,ξ)dt=E[X(t)X(t+τ)])=1

则称该信号具有相关的各态历经性（自相关函数各态历经）。

随机信号通过线性系统

系统是将输入信号 x ( t ) x(t) x(t)变换为输出信号 y ( t ) y(t) y(t)的一种映射规则。线性时不变系统可以用算子进行表示:

y ( t ) = L [ x ( t ) ] y(t)=L[x(t)] y(t)=L[x(t)]

这里提到的线性系统具有线性与时不变的性质。

定义系统的冲击响应函数为 h ( t ) h(t) h(t)，那么线性系统的输出为:

y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) y(t)=x(t)*h(t) y(t)=x(t)∗h(t)

其中，* 代表的是卷积操作。

实际上卷积运算是困难的，在随机信号分析中，往往总是关注输出过程的均值与自相关函数。

定理

对于任何稳定的线性系统有
E { L [ X ( t ) ] } = L { E [ X ( t ) ] } E\{L[X(t)]\} = L\{E[X(t)]\} E{L[X(t)]}=L{E[X(t)]}

定理

若 X ( t ) X(t) X(t) 为平稳过程， h ( t ) h(t) h(t) 为实 LTI 系统， Y ( t ) = X ( t ) ∗ h ( t ) Y(t) = X(t) * h(t) Y(t)=X(t)∗h(t)，则 X ( t ) X(t) X(t) 与 Y ( t ) Y(t) Y(t) 是联合广义平稳过程，并且有：

①
m Y = m X H ( j 0 ) m_Y = m_X H(j0) mY=mXH(j0)

②
R Y X ( τ ) = R X ( τ ) ∗ h ( τ ) R_{YX}(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau) RYX(τ)=RX(τ)∗h(τ)

③
R X Y ( τ ) = R X ( τ ) ∗ h ( − τ ) R_{XY}(\tau) = R_X(\tau) * h(-\tau) RXY(τ)=RX(τ)∗h(−τ)

④
R Y ( τ ) = R X ( τ ) ∗ h ( τ ) ∗ h ( − τ ) R_Y(\tau) = R_X(\tau) * h(\tau) * h(-\tau) RY(τ)=RX(τ)∗h(τ)∗h(−τ)

其中， H ( j 0 ) = H ( j ω ) ∣ ω = 0 = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) d t H(j0) = H(j\omega)\big|{\omega=0} = \int{-\infty}^{+\infty} h(t)\mathrm{d}t H(j0)=H(jω) ω=0=∫−∞+∞h(t)dt，是系统的直流增益。

定理

若 LTI 系统的频响函数为 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)，则其互功率谱与功率谱关系如下：

①
S Y X ( ω ) = S X ( ω ) H ( j ω ) S_{YX}(\omega) = S_X(\omega)H(j\omega) SYX(ω)=SX(ω)H(jω)

②
S X Y ( ω ) = S X ( ω ) H ∗ ( j ω ) S_{XY}(\omega) = S_X(\omega)H^*(j\omega) SXY(ω)=SX(ω)H∗(jω)

③
S Y ( ω ) = S X ( ω ) ∣ H ( j ω ) ∣ 2 S_Y(\omega) = S_X(\omega)|H(j\omega)|^2 SY(ω)=SX(ω)∣H(jω)∣2

定理

对于 LTI 系统， Y ( t ) = X ( t ) ∗ h ( t ) Y(t) = X(t) * h(t) Y(t)=X(t)∗h(t)，有：

① 均值
m Y ( t ) = L [ m X ( t ) ] = m X ( t ) ∗ h ( t ) m_Y(t) = L[m_X(t)] = m_X(t) * h(t) mY(t)=L[mX(t)]=mX(t)∗h(t)

② 互相关
R Y X ( t 1 , t 2 ) = R X ( t 1 , t 2 ) ∗ h ( t 1 ) R_{YX}(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) * h(t_1) RYX(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t1)

③ 互相关
R X Y ( t 1 , t 2 ) = R X ( t 1 , t 2 ) ∗ h ( t 2 ) R_{XY}(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) * h(t_2) RXY(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t2)

④ 自相关
R Y ( t 1 , t 2 ) = R X ( t 1 , t 2 ) ∗ h ( t 1 ) ∗ h ( t 2 ) R_Y(t_1,t_2) = R_X(t_1,t_2) * h(t_1) * h(t_2) RY(t1,t2)=RX(t1,t2)∗h(t1)∗h(t2)

带通随机信号

带通信号就是功率谱集中在某一频率附近，在其它部分都是0.

定义（复包络） 带通信号 x ( t ) x(t) x(t)的，复包络为:

a ( t ) = z ( t ) e − j ω 0 t = i ( t ) + j q ( t ) = r ( t ) e j θ ( t ) a(t)=z(t)e^{-j\omega_0t}=i(t)+jq(t)=r(t)e^{j\theta(t)} a(t)=z(t)e−jω0t=i(t)+jq(t)=r(t)ejθ(t)

其中 a ( t ) a(t) a(t)表示 x ( t ) x(t) x(t)的复包络(中心化原始信号功率谱)， i ( t ) i(t) i(t)与 q ( t ) q(t) q(t)称为同相信号与正交信号； r ( t ) r(t) r(t)与 θ ( t ) \theta(t) θ(t)称为包络信号与相位信号。

调制与解调

设中心角频率 为 ω 0 \omega_0 ω0，将复包络 a ( t ) a(t) a(t) 调制到载频上，就得到带通信号 ：
z ( t ) = a ( t ) e j ω 0 t z(t) = a(t)e^{j\omega_0 t} z(t)=a(t)ejω0t

其实部就是实带通信号 ：
x ( t ) = R e [ a ( t ) e j ω 0 t ] = i ( t ) cos ⁡ ω 0 t − q ( t ) sin ⁡ ω 0 t x(t) = \mathrm{Re}\big[a(t)e^{j\omega_0 t}\big] = i(t)\cos\omega_0 t - q(t)\sin\omega_0 t x(t)=Re[a(t)ejω0t]=i(t)cosω0t−q(t)sinω0t

这一过程称为调制 。

其中：

• i ( t ) i(t) i(t)：同相分量（调制在 cos ⁡ ω 0 t \cos\omega_0 t cosω0t 上）
• q ( t ) q(t) q(t)：正交分量（调制在 sin ⁡ ω 0 t \sin\omega_0 t sinω0t 上）

解调 的目的是从带通信号 x ( t ) x(t) x(t) 中恢复出复包络 a ( t ) a(t) a(t)。

将 x ( t ) x(t) x(t) 乘以 e − j ω 0 t e^{-j\omega_0 t} e−jω0t 并做低通滤波，即可得到：
a ( t ) = L P F { x ( t ) e − j ω 0 t } a(t) = \mathrm{LPF}\big\{x(t)e^{-j\omega_0 t}\big\} a(t)=LPF{x(t)e−jω0t}

这一过程称为相干解调。