文章目录
- [一、定点数（Fixed-Point Number）](#一、定点数（Fixed-Point Number）)
- [二、浮点数（Floating-Point Number）](#二、浮点数（Floating-Point Number）)
- 浮点数与定点数的对比
定点数和浮点数是计算机中表示数值的两种主要方式，它们在精度、范围和运算效率上有显著差异。
一、定点数（Fixed-Point Number）
定义
定点数是计算机中表示实数（即带小数部分的数字）的一种方法。它的核心思想是约定小数点在二进制数中的位置是固定不变的。
定点数就是将整数运算电路直接用于小数运算的一种高效方式。
定点数的表示方法
定点数的格式通常描述为 Qm.n 或 Fx.m.n，其中：
m： 表示整数部分的位数（包括可能的符号位）。
n： 表示小数部分的位数。
总位数： m + n。
最常见的形式如下：
定点整数
小数点位置：固定在数字的最右边。
表示范围：只能表示整数。
例子：8位无符号定点整数，范围是 0 到 255。本质上就是普通的整数。
定点小数
小数点位置：固定在数字的最左边（紧跟在符号位之后）。
表示范围：只能表示小于1的纯小数。
例子：8位定点小数（1位符号位，7位小数位），能表示的范围大约是 -1 到 1。
带整数和小数的定点数（最常见）
小数点位置：固定在数字中间的某个位置。
例子：一个 Q8.8 格式的16位定点数，意思是高8位是整数部分（其中最高位通常是符号位），低8位是小数部分。
特点
1、表示范围有限
数值范围由整数和小数部分的位数决定。例如，8位定点数（Q3.4）范围为：-8.0 到 7.9375（二进制补码表示）。
2、精度固定
小数位数固定，运算时不会丢失精度（但可能溢出）。
3、运算效率高
硬件实现简单，适合嵌入式系统或对速度要求高的场景（如数字信号处理）。
4、无指数部分
仅通过整数和小数部分表示数值，无阶码（指数）和尾数的分离结构。
示例
Q2.3格式（总5位，2位整数，3位小数）：
二进制 101.011 = 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³ = 2 + 0.5 + 0.125 = 2.625
范围：-4.0 到 3.875（补码表示）。
定点数的运算
定点数的运算基于整数运算，但需要手动处理小数点。
1. 加减法
规则：小数点必须对齐。只有相同格式（即 n 相同）的定点数才能直接相加减。
操作：直接将两个数的整数表示 V1 和 V2 相加。
结果：结果的格式仍然是与操作数相同的 Qm.n。
例子：2.5 （Q12.3 的 20） + 1.0 （Q12.3 的 8） = 20 + 8 = 28。 28 / 8 = 3.5。
2. 乘法
规则：乘法会导致小数位数变化。
操作：直接将两个数的整数表示 V1 和 V2 相乘。
结果分析：
V result = V1×V2=(R1×2 ^ n)×(R2×2 ^ n)=(R1×R2)×2 ^ 2n
此时，Vresult 代表的是实际值R1 * R2 * 2 ^ 2n。也就是说，中间结果的"小数点"偏移到了 2 ^ n位后。
修正：为了将结果存回原始的 Qm.n 格式，我们需要将乘积结果右移 n 位。
例子：2.5 （20） * 2.0 （16） = 320。
320 对应的是（2.5 * 2.0）* 2 ^ (2 * 3) = 5 * 64 = 320
要得到 Q12.3 格式的 5.0，我们需要右移 3 位： 320 >> 3 = 40。
验证：40 / 8 = 5.0。
3. 除法
规则：除法同样会改变小数位数。
操作：为了得到 Qm.n 格式的商，需要先将被除数左移 n 位，然后再除以除数。
V result = (V1<<n)/V2
定点数的优缺点
优点
1、速度快：定点数运算直接使用CPU的整数算术逻辑单元（ALU），不涉及浮点运算单元（FPU）。在没有FPU的低端微控制器（MCU）或早期游戏中，这是巨大的性能优势。
2、精度确定：定点数的精度在整个数值范围内是均匀的。而浮点数的精度会随着数值的增大而降低（大数加小数可能没变化）。
3、确定性：定点运算在不同平台上的结果完全一致（因为就是整数运算）。浮点数由于精度和舍入模式的差异，在不同硬件上可能会有细微差别。
4、成本和功耗低：实现定点运算所需的逻辑门电路比浮点运算少得多。
缺点
1、动态范围小：容易溢出或下溢。例如，用16位定点数很难同时表示一个非常大的数（如星系距离）和一个非常小的数（如原子直径）。
2、编程复杂度高：程序员必须时刻跟踪小数点的位置，手动处理乘法后的移位操作，防止溢出。
3、精度损失：在转换格式或进行除法时，可能会因为截断而产生误差。
应用场景
1、嵌入式系统：许多8位或32位的微控制器（如ARM Cortex-M系列的一些型号）没有硬件FPU，使用定点数是处理小数的唯一高效方式。
2、数字信号处理（DSP）：音频编解码、调制解调、图像滤波等算法大量使用定点数，因为它们对实时性要求极高，且精度可控。
3、金融计算：某些金融系统要求精确到分，且运算结果必须完全确定，以避免法律纠纷。定点数（或直接用整数表示"分"）是比浮点数更安全的选择。
4、旧式游戏机和早期3D游戏：在3D图形加速卡普及之前，许多游戏（如《毁灭战士》）的3D渲染逻辑完全依赖定点数来实现透视变换。
二、浮点数（Floating-Point Number）
定义
浮点数（Floating-point number）是计算机中表示实数（即包含小数部分的数）的一种重要方式。与之前介绍的定点数不同，浮点数的小数点位置是"浮动"的，这使得它能够以固定的位数表示极大和极小的数值，同时保持较高的精度。
浮点数采用科学计数法，通过符号位、阶码（指数）和尾数（有效数字）表示数值，小数点位置可浮动。例如，IEEE 754标准。
为什么需要浮点数？
定点数虽然简单高效，但存在一个根本性的缺陷：动态范围小。用16位定点数，你无法同时表示一个原子的直径 （10 ^ （-10米））和一个星系的距离（10 ^ 20米）。
为了覆盖如此巨大的范围，我们需要一种类似于科学记数法的表示方法：
数值=尾数 ×（基数 ^ 指数）
特点
1、表示范围大
阶码决定范围，尾数决定精度。例如，32位单精度浮点数范围约 ±3.4×10³⁸。
2、精度动态调整
尾数位数固定，但有效数字位数随数值大小变化（大数精度低，小数精度高）。
3、运算复杂度高
需处理阶码对齐、尾数运算和规格化，硬件开销大。
4、存在舍入误差
尾数位数有限，可能丢失精度（如0.1无法精确表示）。
例如，阿伏伽德罗常数6.022 * （10 ^ 23）,光速3.0 * (10 * 8)m/s。在计算机中，我们使用二进制科学记数法，这就是浮点数的核心思想。
IEEE 754标准
目前几乎所有计算机都采用 IEEE 754 浮点数标准。它定义了多种精度格式，最常用的是：
1、单精度（32位）：通常称为 float。
2、双精度（64位）：通常称为 double。
基本格式
一个 IEEE 754 浮点数由三个字段组成（以单精度为例，双精度类似但位数不同）：
| 字段 | 单精度位数 | 双精度位数 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 符号位 (S) | 1 | 1 | 0 表示正数，1 表示负数 |
| 指数位 (E) | 8 | 11 | 使用移码（偏移量）表示 |
| 尾数位 (M) | 23 | 52 | 存储规格化后的小数部分（隐含整数位1） |
计算公式（以单精度为例）：
数值 = （-1 ^ S）* （1.M） * （2 ^ (E - 127)）
指数偏移量（bias）为 127（双精度为 1023）。
尾数 M 是一个小数部分，隐含的整数部分总是 1（规格化数的情况）。
规格化数
当指数位不全为0且不全为1时，我们称这个数为规格化数。此时尾数部分隐含一个整数位"1"，因此实际有效位数为 24 位（单精度）。这保证了精度最大化。
例如，单精度浮点数 0 01111100 01000000000000000000000：
符号 S = 0
指数 E = 124 → 实际指数 = 124 - 127 = -3
尾数 M = 0.01（二进制） = 0.25（十进制）
数值 = 1.25 * （2 ^ -3）= 0.15625
非规格化数
当指数位全为0时，我们进入非规格化数（或称次正规数）区域。此时隐含的整数位变为0，公式为：
数值 = （-1 ^ S）* （0.M） * （2 ^ - 126)
非规格化数主要用于表示接近0的极小数值，实现逐渐下溢，避免突然下溢到0。
特殊值
IEEE 754 还定义了几个特殊值的表示
无穷大：指数全1，尾数全0。符号位表示正无穷或负无穷。用于溢出等情况。
NaN（Not a Number）：指数全1，尾数非0。用于表示无效运算结果，如 0/0、√（-1）（根号-1）等。
浮点数的范围与精度（单精度为例）
最大正规格化数：约3.4×（10 ^ 38）（ 2 ^ (128 − 127) × ( 2 − 2 ^ (− 23) )
最小正规格化数：约1.2×（10 ^ -38）（ 2 ^ (1 − 127) × 1.0)
最小正非规格化数：约 1.2×（10 ^ -45）（ 2 ^ -149)
精度：大约 7 位十进制有效数字（因为2 ^ -23 ≈ 1.2×（10^-7）
双精度的范围约（10 ^ -308）到（10 ^ 308），精度约 15-16 位十进制有效数字。
浮点数的优缺点
优点
动态范围极大：能同时表示极大和极小的数。
相对精度固定：有效数字位数基本固定，数值的相对误差大致均匀。
标准化：IEEE 754 保证了跨平台的一致性（除了一些细节如舍入）。
缺点
精度不均匀：数值越大，绝对误差越大。例如，100000000 附近的两个浮点数之间的间隔可能大于1，导致无法表示所有整数。
运算复杂：硬件实现复杂，功耗和面积大于整数运算单元。
存在舍入误差：许多十进制小数无法精确表示（如 0.1），导致累积误差。
比较时需小心：由于误差，直接判断两个浮点数相等（a == b）往往不可靠。
实际应用中的注意事项
1、避免直接比较相等：应使用容差比较，如 fabs(a - b) < epsilon。
2、警惕大数吃小数：当非常大和非常小的数相加时，小数可能被"吃掉"而丢失。例如，1e20 + 1.0 在单精度下结果仍然是 1e20。
3、累积误差：长循环或迭代计算时，误差可能积累到不可接受的程度。可考虑使用更高精度或改变算法。
4、不要用浮点数表示精确值：如货币金额，应使用整数（分）或定点数。
5、了解编译器和硬件的浮点行为：一些编译优化可能改变运算顺序，导致结果变化（如 -ffast-math 选项）。
示例：
试试在 Python 中运行：
c
>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004应用场景
浮点数广泛应用于科学计算、图形处理、人工智能等几乎所有需要处理非整数的领域。
浮点数与定点数的对比
| 特性 | 浮点数 | 定点数 |
|---|---|---|
| 表示范围 | 极大 | 有限，由位宽决定 |
| 精度分布 | 相对精度均匀，绝对精度随数值增大而降低 | 绝对精度均匀（最小刻度固定） |
| 硬件复杂度 | 高（需要 FPU） | 低（可用整数 ALU） |
| 运算速度 | 相对较慢（尤其在没有 FPU 的系统中） | 极快 |
| 功耗/成本 | 高 | 低 |
| 确定性 | 受舍入模式影响，不同平台可能有微小差异 | 完全确定，与整数运算一致 |
| 典型应用 | 科学计算、图形学、AI、通用软件 | 嵌入式系统、DSP、金融（需要精确小数） |