小杰想用存钱罐买一本价值15元的漫画书，他每天可以投入1元或3元。那么，存够15元一共有多少种不同的投币方案呢？这个看似简单的存钱问题，其实藏着信息学奥赛中最重要算法------动态规划的奥秘。
一、什么是动态规划？从存钱罐说起
想象一下，你的面前有一个神奇的存钱罐。这个存钱罐有点特别：它记得住 你每次存够不同金额时用了多少种方法，并且会用这些经验帮你更快算出新金额的存钱方法数。
这就是动态规划（Dynamic Programming，简称DP）的核心思想：
不要重复计算！
把已经知道的结果记下来，
直接用它们推导出新问题的答案。
是不是有点像我们学数学时用的"乘法口诀表"？背下口诀后，就不用每次都重新数手指了！
二、第一个DP问题：爬楼梯的奥秘
让我们从一个经典的DP入门题开始，它被称为"爬楼梯问题"：
小明要爬上一座10级的楼梯，他一次可以走1级 ，也可以跨2级。请问，他有多少种不同的方法爬到楼顶？
🧠 跟着我这样想，保证你不迷糊！
第1步：从最简单的情况开始
我们先不想10级那么复杂，想想最少的几级：
-
第1级：只有1种方法（直接走1级上去）
-
第2级：有2种方法
-
方法①：走1级，再走1级
-
方法②：直接跨2级
-
第2步：准备"记忆笔记本"
我们把已经知道的结果记下来，这就是DP中的"状态"：
text
到第1级：1种方法 → 记作 dp[1] = 1
到第2级：2种方法 → 记作 dp[2] = 2第3步：找出"搭积木"的规律
现在想想第3级，小明怎么到达这里呢？
只可能从两个地方过来：
-
从第1级跨2级上来
-
从第2级走1级上来
所以，到第3级的方法数 = 到第1级的方法数 + 到第2级的方法数
用我们的"记忆笔记本"来说就是：dp[3] = dp[1] + dp[2] = 1 + 2 = 3
看明白了吗？我们没有从头开始想 ，而是用已经算好的答案拼出了新答案！
📊 动手画"魔法表格"
让我们把这种规律继续下去，画出一个神奇的表格：
| 台阶级数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 方法数 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
找规律时间：你发现这个数列的秘密了吗？
没错！这就是著名的斐波那契数列 ！每个数都是前两个数的和。我们刚刚用动态规划重新发现了这个伟大的数列！
三、动态规划"三步口诀"
解决任何DP问题，都可以用下面这个万能口诀：
1. 定状态（准备笔记本）
问：我要记住什么？
→ 比如：
dp[i]表示爬到第i级台阶的方法数2. 找关系（发现拼图规律）
问：当前答案怎么用旧答案拼出来？
→ 比如：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]3. 从小算大（从简单开始填）
问：最小、最简单的答案是什么？
→ 比如：
dp[1]=1, dp[2]=2，然后一步一步算到dp[10]
四、挑战升级：网格中的"金币大冒险"
理解了基本思想后，我们来玩一个更刺激的游戏：
有一个3×3的网格迷宫，每个格子里放着不同数量的金币。机器人小R从左上角出发，每次只能向右 或向下移动一格，直到右下角。它最多能收集多少金币？
假设迷宫是这样的：
text
1 3 1
2 5 1
4 2 1🎮 用"三步口诀"解决它！
第1步：定状态
dp[i][j] 表示从起点走到第i行第j列这个位置时，最多已经收集到的金币数。
第2步：找关系
机器人怎么到达(i, j)这个位置呢？只有两种可能：
-
从上面
(i-1, j)下来 -
从左边
(i, j-1)过来
机器人当然会选择金币更多的路径！所以：
dp[i][j] = 当前格子金币 + max(上面的dp[i-1][j], 左边的dp[i][j-1])
第3步：从小算大（填表格）
我们来一步步填这个表格（括号内表示从哪个方向来）：
| 第0列 | 第1列 | 第2列 | |
|---|---|---|---|
| 第0行 | 1(起点) | 4(从左) | 5(从左) |
| 第1行 | 3(从上) | 9(从左：1+3+5) | 10(从上：9+1) |
| 第2行 | 7(从上) | 11(从上：7+2) | 12(从左：11+1) |
最终，机器人最多能收集12个金币！最优路径是：右→右→下→下。
五、动态规划在信息学奥赛中有多重要？
告诉你一个小秘密：在CSP-J/S、NOIP等信息学奥赛中，动态规划是每年必考的题型，而且经常出现在压轴题中！
为什么它这么重要？因为DP能解决许多看似复杂的实际问题：
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背包问题：如何用有限的背包容量装下最有价值的物品？
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最长公共子序列：两个DNA序列有多少相似部分？
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最短编辑距离：把一个单词变成另一个单词最少需要多少步？
掌握了动态规划，你就拿到了打开信息学奥赛高分大门的金钥匙！
💎 想系统攻克动态规划？
如果你觉得这个入门指南有帮助，想更深入地学习动态规划的所有经典模型 ，我在CSDN的付费专栏《信息学奥赛算法通关宝典：从CSP-J到NOIP 》中，专门用5个章节详细讲解了：
背包问题的9大变种（01背包、完全背包、多重背包等）
区间DP的破解技巧（石子合并、括号匹配等问题）
树形DP的思维方法（树上最优选择问题）
状态压缩DP的实战应用
近3年CSP-J/S动态规划真题的逐题精讲
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六、DP思维在生活中大有用处
动态规划不只是竞赛算法，更是一种强大的思维方式：
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零花钱规划：这周怎么花钱，才能既买零食又能攒钱买下个月的游戏卡？
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作业安排：每天做多少作业，才能保证周末不用熬夜赶工？
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游戏策略：先升级哪个技能，才能最快打败终极大Boss？
学会这种"记住经验、逐步优化"的思考方式，你会发现自己解决问题的能力大大提升了！
七、动手挑战：硬币凑金额
现在，请你用今天学到的"三步口诀"，试着解决下面这个问题：
你有无限多的1元、3元和5元硬币。要凑出9元钱 ，最少需要多少枚硬币？
把你的思考过程和答案写在评论区吧！前10名回答正确的小伙伴，我会送你一份《动态规划经典例题集》电子版哦！
提示：想一想，要凑出9元，可以从哪些金额"一步到位"？记住我们的核心思想：用已经知道的结果推导新的结果！
八、总结：动态规划其实很简单
让我们再回顾一下动态规划的精髓：
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分而治之：把大问题分解成小问题
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记住结果：把已经解决的小问题答案存起来
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避免重复：直接用已有答案，不要重复计算
只要掌握了这个"记事本+搭积木"的思想，你就能解决许许多多看似复杂的问题。
给小朋友的鼓励：不要被算法的名字吓到。动态规划就像学骑自行车，一开始可能会摇摇晃晃，但一旦掌握了平衡，你就会骑得飞快！多练习、多思考，你一定能成为DP小高手！
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