leetcode hot100 78. 子集 递归回溯 medium 位运算法

题目	决策	递归结构
全排列	每层必须选一个	深度固定
子集	每个元素选/不选	深度递增

每个元素都有两种选择：选 或 不选。

[]
├── [1]
│   ├── [1,2]
│   │   └── [1,2,3]
│   └── [1,3]
├── [2]
│   └── [2,3]
└── [3]

---

切片回溯

• 排列：顺序重要 → 所有剩余都可选
• 组合 / 子集：顺序不重要 → 只能往后选

问题类型	下一层还能选谁	代码
排列	除自己以外所有	nums:i + numsi+1:
子集 / 组合	只选后面的	numsi+1:

class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        res = []

        def backtrack(nums, tmp):  #（待选列表，已有排列）
            res.append(tmp)   # 当前路径就是一个子集

            # 依次选择待选列表的元素，进入排列。
            for i in range(len(nums)):
                backtrack(nums[i+1:], tmp + [nums[i]])  # 子集顺序不重要，只能往后选

        backtrack(nums, [])
        return res

只能向后选：

[]
├── [1]
│   ├── [1,2]
│   │   └── [1,2,3]
│   └── [1,3]
├── [2]
│   └── [2,3]
└── [3]

---

如果数组长度为 n，子集总数 = 2ⁿ

理论最优：O(n × 2ⁿ)

简单写法（位运算法）

每个元素可以选或不选，可以用二进制表示：

class Solution:
    def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
        res = [] 
        n = len(nums)

        # 数组长度为 n，子集总数 = 2ⁿ，则一共有2ⁿ种mask模板，2ⁿ=(1 << n)  （左移）
        for mask in range(1 << n):
            subset = []  # 这个mask产生的子集
            # 对每种mask，数组的n位
            for i in range(n):    # 对nums[0], nums[1], nums[2]...
                if mask & (1 << i):  # 判断该位是否为 1
                    subset.append(nums[i])  # 数字加入子集

            res.append(subset)  # 子集加入答案

        return res

时间复杂度

外层循环：2ⁿ

内层循环：n

方法	时间复杂度	额外空间
二进制位图	O(n·2ⁿ)	O(n)
回溯	O(n·2ⁿ)	O(n)