LeetCode 50. Pow(x, n)（快速幂详解 | C语言实现）

一、题目描述

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的整数 n 次幂函数。

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double myPow(double x, int n);

示例：

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示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2^-2 = 1/2^2 = 1/4 = 0.25

提示：

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-100.0 < x < 100.0
-2^31 <= n <= 2^31 - 1

二、解题思路

如果直接循环计算：

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x * x * x * x ... (n次)

时间复杂度是：

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O(n)

当 n 很大时效率会非常低。

因此需要使用 快速幂（Binary Exponentiation）。

核心思想：

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x^10
10 的二进制 = 1010

x^10 = x^8 * x^2

计算时不断：

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底数平方
指数除2

例如：

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x^10

10 = 1010

x^10
= x^8 * x^2

通过二进制拆分，可以把复杂度降到：

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O(log n)

三、注意的坑

1 指数可能为负数

例如：

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x^-2 = 1 / x^2

因此需要先处理：

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if(n < 0)
{
    x = 1/x;
    n = -n;
}

2 INT_MIN 溢出问题

当：

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n = -2147483648

执行：

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-n

会溢出。

解决方法：

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使用 long long

四、方法一：快速幂（迭代实现）

算法步骤

循环过程中：

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如果当前二进制位为1 -> 乘入结果
底数平方
指数右移

例如：

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n = 10
二进制：1010

计算过程：

n	result	x
10	1	2
5	1	4
2	4	16
1	4	256
0	1024	65536

C语言代码

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double myPow(double x, int n) 
{
    long long N = n;

    if(N < 0)
    {
        x = 1 / x;
        N = -N;
    }

    double result = 1.0;

    while(N > 0)
    {
        if(N & 1)
        {
            result *= x;
        }

        x *= x;
        N >>= 1;
    }

    return result;
}

五、方法二：递归快速幂

利用递归思想：

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x^n = (x^(n/2))^2

如果 n 为奇数：

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x^n = (x^(n/2))^2 * x

C语言实现

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double fastPow(double x, long long n)
{
    if(n == 0)
        return 1;

    double half = fastPow(x, n / 2);

    if(n % 2 == 0)
        return half * half;
    else
        return half * half * x;
}

double myPow(double x, int n)
{
    long long N = n;

    if(N < 0)
        return 1 / fastPow(x, -N);

    return fastPow(x, N);
}

六、复杂度分析

时间复杂度：

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O(log n)

因为每次指数都：

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n / 2

空间复杂度：

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迭代：O(1)
递归：O(log n)

七、总结

本题核心是 快速幂算法，关键点有三个：

1️⃣ 指数转二进制计算

2️⃣ 处理负指数

3️⃣ 防止 INT_MIN 溢出

快速幂在很多题目中都会出现，例如：

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50. Pow(x,n)
191. 位1的个数
190. 颠倒二进制位
231. 2的幂
342. 4的幂

是 算法面试高频技巧之一。