经典回溯算法解析

八皇后问题

要求在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得它们互不攻击（即任意两个皇后不在同一行、同一列或同一对角线上）。

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# 统计所有合法摆放方式的数量
def eight_queens():
    count = 0  # 统计合法解的数量
    # 初始化占用标记数组（索引1-8有效，0弃用）
    row_use = [False] * 9  # 行占用（实际按行递归，这个数组其实用不上，可删）
    col_use = [False] * 9  # 列占用
    zhu_use = [False] * 17  # 主对角线
    fu_use = [False] * 17  # 副对角线

    # 回溯函数：处理第row行的皇后放置（必须嵌套在eight_queens内，否则访问不到外部变量）
    def back(row):
        nonlocal count
        # 终止条件：8行全部放置完成，找到一个合法解
        if row > 8:
            count += 1
            return

        # 遍历当前行的所有列（1-8，col=扣）
        for col in range(1, 9):
            # 核心判断：列、主对角线、副对角线都未被占用
            if not col_use[col] and not zhu_use[row + col] and not fu_use[row - col + 8]:
                # 标记占用（放置皇后）
                col_use[col] = True
                zhu_use[row + col] = True
                fu_use[row - col + 8] = True

                # 递归处理下一行
                back(row + 1)

                # 回溯：取消标记（移除皇后）
                col_use[col] = False
                zhu_use[row + col] = False
                fu_use[row - col + 8] = False

    # 从第1行开始回溯（调用回溯函数，缩进必须在eight_queens内）
    back(1)
    # 返回最终统计结果
    return count


# 定义main函数，调用eight_queens并输出结果
def main():
    result = eight_queens()
    print(result)  # 输出：92


# 执行入口
if __name__ == "__main__":
    main()

数独填数问题

37. 解数独 - 力扣（LeetCode）

数独是一种逻辑游戏，需要在9x9的格子中填入数字1-9，满足以下条件：

每一行必须包含数字1-9且不重复。

每一列必须包含数字1-9且不重复。

每个3x3的小宫格（共9个）必须包含数字1-9且不重复。

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# 检查(x,y)位置填入num是否合法
def is_valid(board, x, y, num):
    # 检查行
    for i in range(9):
        if board[x][i] == num:
            return False
    # 检查列
    for i in range(9):
        if board[i][y] == num:
            return False
    # 检查3×3宫
    sx = x // 3 * 3
    sy = y // 3 * 3
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if board[sx+i][sy+j] == num:
                return False
    return True

# DFS回溯求解数独
def dfs(board):
    for i in range(9):
        for j in range(9):
            if board[i][j] == 0:
                for num in range(1, 10):
                    if is_valid(board, i, j, num):
                        board[i][j] = num
                        if dfs(board):
                            return True
                        board[i][j] = 0  # 回溯
                return False
    return True

# 主程序
if __name__ == "__main__":
    board = []
    # 读取9行空格分隔的数独输入（0表示空白）
    for _ in range(9):
        line = input().strip()
        row = list(map(int, line.split()))
        board.append(row)
    # 求解并按标准格式输出
    if dfs(board):
        for row in board:
            print(' '.join(map(str, row)))
    else:
        print("无解")

核心点	数独 / 皇后问题通用逻辑
回溯核心	「试填→验证→递归→回溯」：试选一个值→验证合法性→递归填下一个→错了就回退（恢复现场）
终止条件	所有位置填完（数独无 0 / 皇后放满 N 个）→返回 True；某位置无合法值→返回 False 触发回溯
核心价值	暴力枚举的优化：提前剪枝（非法值不递归），避免无效计算，适配蓝桥杯中等难度算法题