算法题中的 mid 中点问题

目录

• [mid 中点问题](#mid 中点问题)
• • [偏左 mid vs 偏右 mid 的本质区别](#偏左 mid vs 偏右 mid 的本质区别)
  • 在二分模板中
  • 二分模板总结
  • [LeetCode 高频场景对照表](#LeetCode 高频场景对照表)
  • [为什么分治一般用偏左 mid？](#为什么分治一般用偏左 mid？)
  • 相关面试问题
  • 终极口诀

mid 中点问题

两个 mid 写法

1️⃣ 1，标准中点（向下取整）

// 标准中点（向下取整）
int mid = l + (r - l) / 2;
// 等价于
mid = floor((l + r) / 2);
// 偏左中点（left middle）

2️⃣ 2，偏右中点（向上取整）

// 偏右中点（向上取整）
int mid = l + (r - l) / 2 + 1;
// 等价于
mid = ceil((l + r) / 2);
// 偏右中点（right middle）

为什么不用 (l + r) / 2？

(l + r) / 2 ❌可能整数溢出

当 l,r 接近 Integer.MAX_VALUE：

l + r 会溢出变负数

所以统一写：

l + (r - l) / 2

偏左 mid vs 偏右 mid 的本质区别

👉 区间只有两个元素时：
偏左中点是left
偏右中点是right

在二分模板中

// 模板 A：找左边界（更新 r）
while (l < r) {
    int mid = l + (r - l) / 2;   // 偏左
    if (check(mid)) r = mid;
    else l = mid + 1;
}
// 因为这里是 r = mid   → mid 必须偏左，否则 r 不动，会死循环


// 模板 B：找右边界（更新 l）
while (l < r) {
    int mid = l + (r - l) / 2 + 1; // 偏右
    if (check(mid)) l = mid;
    else r = mid - 1;
}
// 因为这里是 l = mid → mid 必须偏右，否则 l 不动，会死循环

二分模板总结

模板 1：找第一个满足条件的位置（lower bound）

👉 左边界

while (l < r) {
    int mid = l + (r - l) / 2;
    if (check(mid)) r = mid;
    else l = mid + 1;
}

模板 2：找最后一个满足条件的位置（upper bound）

👉 右边界

while (l < r) {
    int mid = l + (r - l) / 2 + 1;
    if (check(mid)) l = mid;
    else r = mid - 1;
}

LeetCode 高频场景对照表

题型 mid 写法

找最小满足 偏左 mid

找最大满足 偏右 mid

普通二分 偏左 mid

分治 merge sort 偏左 mid

快速选择 偏左 mid

为什么分治一般用偏左 mid？

比如 merge sort：

mid = (l + r) / 2

left = [l, mid]

right = [mid+1, r]

必须保证区间不重叠、不丢元素。

相关面试问题

❓ 为什么要 +1？

👉 防止 l 不移动导致死循环

👉 用于找"右边界"

❓ 偏左 vs 偏右什么时候用？

👉 取决于你更新的是 l 还是 r

终极口诀

找左边界 → 偏左 mid

找右边界 → 偏右 mid

防死循环 → l = mid 时必须 +1