假设点 DDD 和 EEE 分别为 △ABC\triangle ABC△ABC 的边 ABABAB, ACACAC 上的点, BDBDBD, CECECE 的中垂线交于点 PPP, △ADE\triangle ADE△ADE 的外接圆上有一点 GGG, GGG 不在 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆上. AGAGAG 的延长线和 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆交于点 HHH. 求证: PG=PHPG=PHPG=PH. (2023年韩国数学奥林匹克决赛)
证明:
设 BDBDBD, CECECE, GHGHGH 的中点分别为 JJJ, KKK, LLL. 设 (ADE)(ADE)(ADE) 交 (ABC)(ABC)(ABC) 于点 AAA 和 TTT.
易知 △TDB∼△TEC△TGH\triangle TDB \sim \triangle TEC \triangle TGH△TDB∼△TEC△TGH, JJJ, KKK, LLL 为对应点.
所以 △TJB∼△TKC△TLH\triangle TJB \sim \triangle TKC \triangle TLH△TJB∼△TKC△TLH.
所以 TTT, LLL, KKK, JJJ, AAA 五点共圆.
显然 PPP 也在这一圆上.
证毕.