【LeetCode 刷题】寻找环形链表的入口节点：快慢指针 + 数学推导（O (1) 空间）
在上一篇「判断链表是否有环」的基础上，本题是进阶考点 ------不仅要判断链表是否存在环，还要找到环的第一个入口节点。常规解法（哈希表存储节点）会占用 O (n) 空间，而本文分享的「快慢指针 + 数学推导」解法，能在 O (n) 时间、O (1) 空间内精准找到环入口，是面试中最亮眼的最优解。
一、题目描述
环形链表 II 给定一个链表的头节点 head，返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环，则返回 null。
核心要求
- 不允许修改给定的链表；
- 空间复杂度要求 O (1)（禁止使用哈希表等额外存储）；
- 环的定义：链表中某个节点的
next指针指向链表中之前出现过的节点，形成环形结构。
链表节点定义
/**
* Definition for singly-linked list.
* class ListNode {
* int val;
* ListNode next;
* ListNode(int x) {
* val = x;
* next = null;
* }
* }
*/二、解题思路：快慢指针 + 数学推导（核心）
1. 两步核心逻辑
本题解法分为两个关键阶段，缺一不可：
阶段 1：快慢指针找「相遇点」
先用「快指针（步长 2）、慢指针（步长 1）」遍历链表：
- 若链表无环：快指针会先走到末尾（
null），直接返回null； - 若链表有环：快慢指针会在环内某个节点相遇（这是找到入口的前提）。
阶段 2：双指针找「环入口」
在快慢指针相遇后，新增两个指针：
index1：从链表头节点出发，每次走 1 步；index2：从快慢指针相遇点出发，每次走 1 步；两个指针相遇时，指向的节点就是环的入口节点（数学推导证明这一结论）。
2. 关键数学推导（面试高频考点）
要理解「为什么双指针能找到入口」，必须掌握以下推导（通俗版）：
定义变量
a：链表头节点 → 环入口节点的距离；b：环入口节点 → 快慢指针相遇点的距离；c：相遇点 → 环入口节点的距离；L：环的总长度，L = b + c；n：快指针在环内绕的圈数（n ≥ 1）。
推导过程
- 慢指针走的总路程：
a + b（未绕环，只走了链表头到相遇点）； - 快指针走的总路程：
a + b + n×L（走了 a+b 后，绕环 n 圈才和慢指针相遇）； - 因为快指针速度是慢指针的 2 倍，所以：
2×(a + b) = a + b + n×L化简得：a = n×L - b又因为L = b + c，代入得：a = (n-1)×L + c。
结论
a = (n-1)×L + c 的核心含义：
- 从「链表头到环入口」的距离
a，等于从「相遇点绕环 (n-1) 圈后再走 c 的距离」； - 因此，
index1（走 a）和index2（走 (n-1)×L + c）最终会在环入口相遇（(n-1)×L 是绕环整数圈，不影响相遇结果）。
3. 思路可视化（以 a=2, b=1, c=2, L=3 为例）
plaintext
链表结构：1 -> 2（入口）-> 3 -> 4 -> 2（环）
- a=2：头节点1 → 入口2的距离；
- b=1：入口2 → 相遇点3的距离；
- c=2：相遇点3 → 入口2的距离；
- L=3：环（2→3→4→2）的长度。
阶段1：快慢指针相遇
- 慢指针：1→2→3（路程a+b=3）；
- 快指针：1→2→3→4→2→3（路程a+b+1×L=3+3=6，是慢指针2倍）；
- 相遇点为3。
阶段2：双指针找入口
- index1：1→2（走a=2步）；
- index2：3→4→2（走c=2步，绕环0圈）；
- 相遇点为2（环入口）。三、完整代码实现
public class Solution {
public ListNode detectCycle(ListNode head) {
// 初始化快慢指针，均指向链表头节点
ListNode fast = head;
ListNode slow = head;
// 阶段1：快慢指针找相遇点（无环则直接返回null）
while (fast != null && fast.next != null) {
// 快指针走2步，慢指针走1步
fast = fast.next.next;
slow = slow.next;
// 快慢指针相遇，进入阶段2：找环入口
if (fast == slow) {
// index1从链表头出发，index2从相遇点出发
ListNode index1 = head;
ListNode index2 = fast;
// 双指针每次走1步，相遇时即为环入口
while (index1 != index2) {
index1 = index1.next;
index2 = index2.next;
}
// 返回环入口节点
return index1;
}
}
// 循环结束（快指针到末尾），说明无环
return null;
}
}