一、问题背景
秦始皇统一六国后，为防止匈奴入侵，命蒙恬率数十万军民历时两年多修建了一项超大型军事交通运输工程，北起九原郡(今内蒙古包头市)，南抵云阳甘泉宫(今陕西咸阳市淳化县)，全长约700余公里，史称"秦直道"，是中国古代历史上第一条"高速公路"。秦直道的修建打破了中原与西北边陲地区的交通壁垒，推动了沿线地区人员、文化的交流和商贸的发展。秦直道的路线规划与成功修建，充分体现了古代劳动人民的勤劳和智慧。
图1是秦直道陕甘段的路线图，请根据秦直道陕甘段的多源数据集，建立数学模型，定量分析秦直道的地形特征，分析挖掘秦直道的路线规划原则;并以此为依据，根据秦直道陕甘地区现在的地形地貌情况重新规划秦直道的路线。
二、解决问题
问题1 基于附件1中陕甘八县的高程数据和附件2中秦直道的路线数据，建立数学模型，分析挖掘与秦直道路线规划相关的地形特征，并给出相应特征度量的计算结果。将完整结果存放到result1.xlsx中(格式见表1，模板文件在附件4中)，同时在论文中给出表2中各位置的相应结果(格式见表1)。
1. 问题模型建立与求解
1.1. 问题一：
为定量分析秦直道陕甘段的地形特征，并挖掘其路线规划与地形之间的关系，本文基于附件1中的高程栅格数据与附件2中的秦直道路线、河网、分水岭以及相关遗迹数据，构建"栅格地形特征提取---路线点特征映射---空间邻近关系刻画"的综合分析模型。模型的核心目标是：对秦直道沿线每一个路线点计算一组能够反映地形起伏、坡面形态、地貌位置及周边空间环境的定量指标，并形成完整结果表，为后续路线规划原则分析提供数据支撑。
1.1.1. 数据表达与坐标统一
附件1中的高程数据本质上是规则网格上的数字高程模型（DEM）。设研究区域的平面坐标为
对应的高程值为
这样即可将研究区域表示为二维离散高程场。代码中 CSV 文件第一列为纵坐标y，表头各列为横坐标x，单元格数值为对应高程z。
附件2中"秦直道"工作表给出了路线离散点集合
"河网""一级分水岭""二级分水岭""烽火台、关隘及相关遗存"等工作表分别构成若干空间点集。由于这些数据采用同一平面坐标系，因此可直接进行空间叠加分析与距离计算。
为提高运算效率，代码先根据路线、河网、分水岭及表2所给关键点的最小外接矩形提取研究子区域，并在四周增加一定缓冲带。该步骤并不改变数据本质，只是将无关区域裁剪掉，从而减少后续梯度、滤波与三维绘图的计算量。
1.1.2. DEM预处理与缺失值修补
由于栅格高程数据在少数位置可能存在空值，若直接求梯度或曲率会导致数值不稳定，因此本文先对 DEM 进行缺失值修补。设原始高程场为Z，其缺失位置集合为
。对于任一缺失点
，采用最近有效高程点进行替代，即
其中
为距离
最近且高程有效的栅格点。这样得到的
是完整连续的栅格高程场，能够保证后续地形导数与窗口统计量的稳定计算。
1.1.3. 基础地形特征的构建
3.1 坡度与坡向
地形坡度是描述路线可通行性的重要指标。设高程场为
，其在 x方向和 y方向的一阶偏导分别为
则坡度定义为
为了便于解释，本文将其转换为角度制：
坡度越大，说明地形越陡，工程修筑与行军运输成本通常越高。
坡向用于反映坡面朝向，定义为
并经变换归一化到
范围内。坡向虽然不是直接的高低起伏指标，但能够帮助分析道路是否顺应山体方向或沿梁脊布设。
3.2 曲率特征
为了进一步刻画坡面的凹凸形态，本文引入二阶导数构造剖面曲率与平面曲率。设
其中，剖面曲率用于衡量沿最大坡降方向的弯曲程度，平面曲率用于衡量等高线方向的弯曲程度。本文采用如下形式计算：
其中
为极小正数，用于避免分母为零。若曲率绝对值较大，则说明该位置地形弯曲明显，不利于路线平顺布设；若曲率接近零，则地表局部更趋于平缓。
1.1.4. 局部起伏与地貌位置特征
仅依靠坡度不能完全描述道路经过区域的复杂程度，因此本文进一步采用滑动窗口统计构造起伏度、粗糙度、地形位势与崎岖度。
4.1 起伏度
设以某栅格点为中心取 W×W邻域窗口，窗口内最大高程与最小高程分别为
则起伏度定义为
起伏度反映局部地形高差，值越大表明该区域坡谷与坡脊变化越剧烈。代码中采用 11×11的局部窗口进行计算。
4.2 粗糙度
粗糙度用窗口内高程标准差衡量。设局部窗口平均高程为
则粗糙度定义为
粗糙度越大，说明局部地表越破碎，修路过程中需要处理的微地形越复杂。
4.3 地形位势指数 TPI
地形位势指数（Topographic Position Index）描述某点相对周围地形的高低位置。设当前点高程为
，邻域平均高程为
，则
当
时，该点更接近脊部或高地；当 TPI<0\text{TPI}<0TPI<0 时，该点更接近谷地或洼地。若秦直道在较多区段满足 TPI>0\text{TPI}>0TPI>0，则说明其可能具有沿梁脊或高处分布的规划倾向。
4.4 崎岖度 TRI
为了综合衡量当前位置与周边八邻域之间的微地形差异，本文采用地形崎岖度指数 TRI（Terrain Ruggedness Index）：
其中
为中心点高程，
为八邻域高程。TRI 越大，表示该点周边地形越崎岖。
1.1.5. 路线点地形值的插值映射
DEM 特征是在规则网格上计算得到的，而秦直道路线点通常不恰好落在栅格节点上，因此需要将栅格特征映射到任意坐标位置。本文采用双线性插值方法。设某路线点坐标为(x,y)，位于相邻四个栅格节点
所围成的网格中，则对应特征值 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 可表示为
其中
为四个角点上的特征值。借助这一方法，即可为每一个秦直道离散点赋予高程、坡度、曲率、起伏度等全部地形属性。
1.1.6. 空间邻近关系特征
除地形形态外，秦直道的选线还可能受河网、分水岭及遗迹分布的影响。因此本文进一步构造"最近邻距离"特征。设某路线点为
，某类空间对象点集为
则该路线点到该类对象的最近距离定义为
本文分别计算路线点到河网、一级分水岭、二级分水岭及相关遗迹的最近距离。若路线点普遍更接近一级分水岭，而远离河网或深切沟谷，则可推断秦直道具有"沿分水岭、避低洼与避绕河谷"的选线偏好。
1.1.7. 求解结果与分析
根据附件数据计算，本文在当前研究范围内共提取秦直道路线点 8847 个，对应路线长度约为 71.21 km。由结果汇总表可知，该路段高程均值为 1400.17 m，中位数为 1415.82 m，高程范围为 493.77 m，说明秦直道陕甘段并非穿行于绝对平原，而是整体位于中高海拔、起伏较明显的黄土丘陵---梁峁地带。从高程分布看，路线主要活动于 1125.00～1618.77 m 区间，其中 95% 的路线点高程不超过 1560.81 m，这表明道路虽然经过较高区域，但总体仍控制在一个相对稳定的高程带内，并未频繁跌入深沟谷后再大幅爬升，体现出明显的"控高差、保连续"特征。
|---|
| |
问题2 在问题1的基础上，分析挖掘秦直道的路线规划原则，并结合附件2中烽火台、关隘等遗迹信息，给出相应的设置原则。
在问题一中，本文已经完成了秦直道沿线点的高程、坡度、TRI、TPI、起伏度、粗糙度、距河网距离以及距一级分水岭距离等地形特征提取。问题二的核心任务是在此基础上，进一步回答两个问题：其一，秦直道在现有地形条件下究竟遵循了怎样的路线规划原则；其二，结合烽火台、关隘等遗迹分布，应如何概括这些军事节点的设置原则。为此，本文构建"路线---背景对比识别模型 + 遗迹协同布局分析模型"的综合框架，通过对比学习识别路线偏好，通过空间链程分析提炼节点配置规律。
1.2.1. 路线规划原则识别的总体思想
如果仅统计秦直道沿线点本身的特征分布，只能知道"这条路经过了什么样的地形"，却无法判断"这些地形是否优于周边可供选线的地形"。因此，本文引入"路线点---背景点"对比思想：将真实秦直道上的点视为正样本，将路线附近一定范围内、理论上可作为替代走廊但未被实际采用的地形点视为背景样本，通过二分类模型识别哪些特征最能区分"被选中的地形"与"未被选中的地形"。
设秦直道路线点集合为
其中特征向量记为
本文取
即高程、坡度、TRI、TPI、起伏度、粗糙度、距河网距离、距一级分水岭距离八个指标。
为了构造背景样本，本文在研究区域内随机生成若干候选点，并计算其到秦直道的最近距离。为避免"距离路线过近"的点与实际路线高度重合，也避免选取"距离路线过远"的点而丧失同区域可比性，定义背景样本集合为
其中
这样得到的背景样本本质上表示"路线附近可供通行但未被采用的备选地形"。
1.2.2. 特征标准化与对比识别模型
由于各地形特征的量纲差异较大，例如高程以米计、坡度以角度计、距离特征以千米量级计，若直接建模将导致系数不可比。因此，本文先对各特征做标准化处理。设第
个特征原始值为
，其样本均值和标准差分别为
、
，则标准化值为
在此基础上，构建逻辑回归二分类模型，将真实路线点记为 y=1，背景点记为 y=0。对任意样本点，其被识别为"更符合秦直道选线偏好"的概率记为
其中，
为截距项，
为第
个标准化特征的回归系数。模型参数通过极大似然估计获得，即最大化
等价地，可最小化其负对数似然函数：
该模型的优点在于：一方面，
的符号可以直接反映偏好方向；另一方面，由于输入变量经过标准化，
的大小可以直接反映该特征对路线识别的重要程度。若
，说明该特征越大越接近真实秦直道的选线偏好；若
，说明该特征越小越符合实际选线规律。
1.2.3. 路线规划定量规则的构造
仅给出模型系数还不足以形成论文所需的"规划原则表达"，因此本文进一步把模型结果转化为可解释的定量规则。对每一项特征 fkf_kfk，分别计算路线样本的 10% 分位数、中位数和 90% 分位数：
同时计算背景样本的中位数
若
，则说明该特征在路线样本中更倾向于取较大值，故可表述为"该指标宜不低于背景中位数，典型控制范围为
"；若
，则可表述为"该指标宜不高于背景中位数，典型控制范围为
"。
这样，模型输出就从单纯的统计结果转化为可直接服务于路线再规划的定量约束或经验区间。
1.2.4. 遗迹设置原则的空间分析模型
在识别道路整体规划原则后，本文进一步分析烽火台、关隘等遗迹与路线的空间协同关系。设遗迹点集合为
对每个遗迹点分别计算其到秦直道、一级分水岭和河网的最近距离：
其中
为一级分水岭点集，
为河网点集。
为了将遗迹与道路的纵向分布联系起来，本文引入路线链程参数。设路线点按顺序排列，累计链程定义为
对任一遗迹点
，找出其最近路线点
，并以该点对应的累计链程
表示该遗迹在道路纵向上的投影位置。这样即可构造"链程---距路线距离"布局图，从而识别烽火台与关隘在沿线的协同分布格局。
1.2.5. 烽火台协同等级与间距规则
对于烽火台，本文不仅考察其距路线距离，还考察相邻烽火台在路线链程上的间隔。设按链程升序排列后的烽火台为
，则相邻烽火台的链程间距定义为
该量可反映烽火台在道路上的布防疏密程度。
根据烽火台与路线的协同关系，本文将其划分为三类：
其中，直接协同点主要承担贴近主通道的观察、传递与局部防护作用；近程协同点承担次级支撑作用；外围控制点则更强调对周边山梁、谷口和远端方向的监视与防御。
1.2.6. 关隘设置的强约束识别
对关隘而言，其功能更偏向"控制通道"而非"连续瞭望"，因此本文采用最近路线点的地形代理特征来评估关隘所处位置的控制强度。设某关隘最近的路线点特征值为 vvv，则可在路线总体特征分布中计算其百分位：
若某关隘所对应的坡度、TRI、起伏度百分位较高，则说明其更可能设置在地形突变、通道收束、便于阻控的关键位置。
综上，问题二的模型本质上是：先通过"路线与背景"的对比学习识别秦直道的总体选线偏好，再通过"遗迹到路线的链程投影与空间邻近关系"识别烽火台和关隘的设置规律。前者回答"路为什么这样走"，后者回答"军事节点为什么这样布"。
1.2.7. 求解结果与分析
表 2-1 秦直道路线规划原则核心指标表
|------------|--------|------|--------------------|---------|
| 特征 | 标准化系数 | 偏好方向 | 路线典型区间（P10~P90） | 背景中位数 |
| 距一级分水岭/m | -14.19 | 偏好较小 | 8.36 ~ 107.28 | 3565.24 |
| 起伏度/m | 0.23 | 偏好较大 | 71.09 ~ 125.09 | 95.52 |
| 距河网/m | 0.17 | 偏好较大 | 3385.61 ~ 5431.59 | 3125.79 |
| 高程/m | 0.15 | 偏好较大 | 1242.45 ~ 1532.24 | 1370.55 |
| TRI | 0.11 | 偏好较大 | 5.03 ~ 14.35 | 8.96 |
| 粗糙度(std)/m | -0.09 | 偏好较小 | 16.99 ~ 33.72 | 24.15 |
| 坡度/deg | -0.05 | 偏好较小 | 9.20 ~ 30.49 | 18.96 |
| TPI | -0.02 | 偏好较小 | -19.55 ~ 18.14 | 0.34 |
表 2-2 烽火台与关隘设置的核心统计表
|-----------------------|---------|
| 指标 | 数值 |
| 烽火台数量 | 11 |
| 直接协同烽火台数量（≤500m） | 5 |
| 近程协同烽火台数量（500~3000m） | 1 |
| 外围控制烽火台数量（>3000m） | 5 |
| 关隘数量 | 1 |
| 关隘距路线/m | 201.15 |
| 关隘距一级分水岭/m | 226.28 |
| 关隘距河网/m | 4390.08 |
问题3 经过2200余年，秦直道区域的地形地貌可能发生了变化，现在来看这条秦直道，可能存在与问题2中的规划原则不相符之处。请根据秦直道的历史作用，并结合附件给出的陕甘八县现在的地理信息和问题2的规划原则，重新规划秦直道的路线。
1.3. 问题三
表 3-1 原路线与重规划路线关键指标对比表
|----------------|----------|----------|
| 指标 | 原路线 | 重规划路线 |
| 长度/km | 71.21 | 61.52 |
| 适宜性均值 | 0.990748 | 0.990678 |
| 距一级分水岭中位数/m | 45.06 | 52.26 |
| 距河网中位数/m | 4192.81 | 4226.23 |
| 坡度中位数/deg | 20.27 | 20.37 |
| 起伏度中位数/m | 98.74 | 99.96 |
| 高程中位数/m | 1415.82 | 1406.97 |
| 协同烽火台数量（≤500m） | 5 | 5 |
| 距关隘/m | 201.15 | 50.79 |
表 3-2 典型遗迹对原路线与重规划路线的支撑关系比较
|------------|-------|----------|----------|--------------|
| 文物名称 | 类型 | 原路线距遗迹/m | 新路线距遗迹/m | 变化特征 |
| 午亭子中寨烽火台 | 沿线烽火台 | 61.19 | 216.70 | 距离略增，但仍为直接协同 |
| 午亭子东寨烽火台 | 沿线烽火台 | 172.59 | 55.64 | 协同增强 |
| 梨树湾烽火台 | 沿线烽火台 | 147.86 | 68.16 | 协同增强 |
| 涧水坡岭烽火台 | 沿线烽火台 | 80.12 | 169.41 | 距离略增，但仍为直接协同 |
| 关隘（涧水坡岭关隘） | 沿线关隘 | 201.15 | 50.79 | 明显增强 |
问题4 结合古代烽火台、关隘等设施的作用，在问题3的基础上，重新规划烽火台、关隘等设施的数量和位置。
表 4-1 问题4重规划设施总体指标表
|--------------------|---------|
| 指标 | 数值 |
| 规划烽火台数量 | 8 |
| 规划关隘数量 | 2 |
| 烽火台覆盖率（±4.5 km 链程） | 99.57% |
| 关隘控制率（±3 km 链程） | 18.45% |
| 规划烽火台平均距路线/m | 216.94 |
| 规划烽火台平均距一级分水岭/m | 70.83 |
| 规划烽火台平均距河网/m | 4416.81 |
| 规划关隘平均坡度/deg | 30.45 |
| 规划关隘平均 TRI | 16.24 |
| 规划关隘平均起伏度/m | 119.44 |
表 4-2 规划烽火台与关隘链程位置表
|------|------|---------|
| 设施类型 | 位置编号 | 链程位置/km |
| 烽火台 | B1 | 3.08 |
| 烽火台 | B2 | 8.35 |
| 烽火台 | B3 | 16.83 |
| 烽火台 | B4 | 23.22 |
| 烽火台 | B5 | 32.31 |
| 烽火台 | B6 | 41.45 |
| 烽火台 | B7 | 50.40 |
| 烽火台 | B8 | 58.41 |
| 关隘 | P1 | 38.17 |
| 关隘 | P2 | 58.73 |
表 4-3 旧设施与规划设施核心指标对比表
|---------------|--------|---------|
| 指标 | 旧设施 | 规划设施 |
| 烽火台数量 | 11 | 8 |
| 关隘数量 | 1 | 2 |
| 平均距路线/m（烽火台） | 约 3450 | 216.94 |
| 平均距分水岭/m（烽火台） | 约 3360 | 70.83 |
| 平均距河网/m（烽火台） | 约 3420 | 4416.81 |
基于数字高程模型、空间对比学习与最小代价路径的秦直道路线重规划及军事设施布局研究
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