动态规划求解 20 个通用模板

目标是做到：

看到题 → 直接匹配模板 → 改几行代码就能做

按 难度和面试频率排序。

一、线性 DP（最基础）

模板 1：爬楼梯型

最基础 DP。

特征：

每一步依赖前 1~2 个状态

python 复制代码

dp = [0] * (n+1)

dp[0] = 1
dp[1] = 1

for i in range(2, n+1):
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

return dp[n]

典型题：

爬楼梯
斐波那契
青蛙跳台阶

二、最大 / 最小值 DP

模板 2：最大子数组和

特征：

连续
以当前位置结尾

python 复制代码

dp[0] = nums[0]

for i in range(1, n):
    dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])

return max(dp)

经典题：

最大子数组和

三、打家劫舍模板

模板 3：选 / 不选

python 复制代码

dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])

for i in range(2, n):
    dp[i] = max(
        dp[i-1],
        dp[i-2] + nums[i]
    )

经典题：

打家劫舍
股票简化版

四、背包 DP 模板

模板 4：0-1 背包

python 复制代码

for i in range(n):
    for j in range(W, weight[i]-1, -1):

        dp[j] = max(
            dp[j],
            dp[j-weight[i]] + value[i]
        )

特点：

倒序遍历

经典题：

分割等和子集
目标和

模板 5：完全背包

python 复制代码

for i in range(n):
    for j in range(weight[i], W+1):

        dp[j] = max(
            dp[j],
            dp[j-weight[i]] + value[i]
        )

特点：

正序遍历

经典题：

零钱兑换
完全平方数

模板 6：背包求组合数

python 复制代码

dp[0] = 1

for coin in coins:
    for j in range(coin, amount+1):

        dp[j] += dp[j-coin]

经典题：

零钱兑换 II

五、子序列 DP

模板 7：最长递增子序列（O(n²)）

python 复制代码

dp = [1] * n

for i in range(n):
    for j in range(i):

        if nums[j] < nums[i]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

return max(dp)

模板 8：最长公共子序列

python 复制代码

for i in range(1, m+1):
    for j in range(1, n+1):

        if s1[i-1] == s2[j-1]:
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

        else:
            dp[i][j] = max(
                dp[i-1][j],
                dp[i][j-1]
            )

模板 9：最长回文子序列

python 复制代码

for i in reversed(range(n)):
    for j in range(i+1, n):

        if s[i] == s[j]:
            dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
        else:
            dp[i][j] = max(
                dp[i+1][j],
                dp[i][j-1]
            )

六、字符串编辑 DP

模板 10：编辑距离

python 复制代码

for i in range(1, m+1):
    for j in range(1, n+1):

        if word1[i-1] == word2[j-1]:
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

        else:
            dp[i][j] = 1 + min(
                dp[i-1][j],
                dp[i][j-1],
                dp[i-1][j-1]
            )

七、网格 DP

模板 11：路径数量

python 复制代码

for i in range(m):
    for j in range(n):

        dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

模板 12：最小路径和

python 复制代码

for i in range(m):
    for j in range(n):

        dp[i][j] = min(
            dp[i-1][j],
            dp[i][j-1]
        ) + grid[i][j]

八、状态机 DP

模板 13：股票问题

python 复制代码

for i in range(1, n):

    dp[i][0] = max(
        dp[i-1][0],
        dp[i-1][1] + price
    )

    dp[i][1] = max(
        dp[i-1][1],
        dp[i-1][0] - price
    )

九、区间 DP

模板 14：区间合并

python 复制代码

for length in range(2, n+1):

    for i in range(n-length+1):

        j = i + length - 1

        for k in range(i, j):

            dp[i][j] = min(
                dp[i][j],
                dp[i][k] + dp[k+1][j]
            )

经典题：

戳气球
合并石头

十、DP + 位运算（进阶）

模板 15：状态压缩 DP

python 复制代码

for mask in range(1<<n):

    for i in range(n):

        if mask & (1<<i):

            dp[mask] = min(
                dp[mask],
                dp[mask^(1<<i)] + cost
            )

经典题：

TSP
最短 Hamilton 路

十一、DP + 树

模板 16：树形 DP

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def dfs(node):

    for child in node.children:

        dfs(child)

    dp[node] = combine(children)

经典题：

树上打家劫舍

十二、DP + 前缀

模板 17：分割 DP

python 复制代码

for i in range(1, n+1):

    for j in range(i):

        dp[i] = min(
            dp[i],
            dp[j] + cost(j, i)
        )

经典题：

单词拆分
回文分割

十三、DP + 数学

模板 18：Catalan 数

python 复制代码

for i in range(2, n+1):

    for j in range(i):

        dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j]

经典题：

不同二叉搜索树

十四、DP + 双序列

模板 19：最长公共子串（连续）

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if s1[i] == s2[j]:
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
    dp[i][j] = 0

十五、DP + 环

模板 20：环形 DP

python 复制代码

# 拆成两个线性问题

case1 = rob(nums[:-1])
case2 = rob(nums[1:])

return max(case1, case2)

经典题：

打家劫舍 II

最重要的 DP 判断口诀

看到题先问 4 个问题：

1️⃣ 连续吗？

连续 → 子数组

2️⃣ 选不选？

选 / 不选 → 背包

3️⃣ 两个字符串？

字符串 DP

4️⃣ 区间操作？

区间 DP

最推荐掌握的 10 个 DP（面试命中率最高）

1 爬楼梯

2 打家劫舍

3 最大子数组和

4 分割等和子集

5 零钱兑换

6 最长递增子序列

7 最长公共子序列

8 编辑距离

9 最小路径和

10 戳气球