拓扑排序（Topological Sort）

定义

拓扑排序是对有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph） 中所有节点进行线性排序的算法，使得对于图中每条有向边 u → v，节点 u 在排序结果中都出现在节点 v 之前。

⚠️ 拓扑排序只适用于有向无环图，如果图中存在环，则无法进行拓扑排序。

直观理解

想象一组任务，某些任务必须在其他任务之前完成：

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穿袜子 → 穿鞋子
穿内衣 → 穿衬衫 → 穿外套
穿裤子 → 穿鞋子

拓扑排序就是找到一个合法的执行顺序，例如：
穿内衣 → 穿袜子 → 穿裤子 → 穿衬衫 → 穿外套 → 穿鞋子

两种经典算法

1. Kahn 算法（BFS 方式）

核心思想：不断移除入度为 0 的节点

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from collections import deque

def topological_sort_kahn(graph, in_degree):
    queue = deque()
    result = []

    # 将所有入度为 0 的节点加入队列
    for node in in_degree:
        if in_degree[node] == 0:
            queue.append(node)

    while queue:
        node = queue.popleft()
        result.append(node)

        for neighbor in graph[node]:
            in_degree[neighbor] -= 1
            if in_degree[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)

    # 如果结果长度不等于节点数，说明有环
    if len(result) != len(in_degree):
        return []  # 存在环
    return result

步骤：

计算所有节点的入度
将入度为 0 的节点入队
出队一个节点，将其邻居的入度 -1
若邻居入度变为 0，则入队
重复直到队列为空

2. DFS 算法（深度优先搜索）

核心思想：DFS 后序遍历，逆序即为拓扑序

python 复制代码

def topological_sort_dfs(graph):
    visited = set()
    stack = []

    def dfs(node):
        visited.add(node)
        for neighbor in graph.get(node, []):
            if neighbor not in visited:
                dfs(neighbor)
        stack.append(node)  # 后序加入

    for node in graph:
        if node not in visited:
            dfs(node)

    return stack[::-1]  # 逆序输出

两种算法对比

特性	Kahn（BFS）	DFS
实现方式	迭代	递归
环检测	✅ 天然支持	需额外标记
时间复杂度	O(V + E)	O(V + E)
空间复杂度	O(V)	O(V)
结果唯一性	不唯一	不唯一

应用场景

场景	说明
📦 包管理器	npm、pip 解析依赖安装顺序
🏗️ 构建系统	Make、Gradle 确定编译顺序
📚 课程规划	先修课程问题
🔄 任务调度	确定任务执行顺序
🗃️ 数据库	外键约束的表创建顺序

总结

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拓扑排序 = 对 DAG 节点排序，保证所有边从前指向后
核心性质：有向 + 无环 → 才能拓扑排序
两种算法：Kahn（BFS入度法）/ DFS（后序逆置法）
时间复杂度：O(V + E)