LeetCode 3070. 元素和小于等于 k 的子矩阵数目

题目描述

给你一个大小为 m x n 的整数矩阵 grid 和一个整数 k。你需要找出 grid 中所有以左上角 (0,0) 为起始点的子矩阵，并统计这些子矩阵中元素和不超过 k 的个数。

注意：子矩阵必须包含 (0,0) 这个格子，即子矩阵的左上角固定为原点，右下角可以是任意坐标 (i,j)（0 <= i < m, 0 <= j < n）。

思路分析

本题的暴力做法是枚举所有可能的子矩阵，并计算其和，但时间复杂度会达到 O(m²n²)，不可取。由于子矩阵的左上角固定，我们可以利用二维前缀和 来快速得到任意从 (0,0) 到 (i,j) 的子矩阵的和。

二维前缀和

定义 s[i+1][j+1] 表示原矩阵中从 (0,0) 到 (i,j) 的子矩阵的元素和。这样 s[i][j] 就对应了以 (i-1,j-1) 为右下角的子矩阵的和（左上角为 (0,0)）。

前缀和的递推公式（容斥原理）：

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s[i+1][j+1] = s[i+1][j] + s[i][j+1] - s[i][j] + grid[i][j]

其中 s[0][*] 和 s[*][0] 均为 0，方便边界处理。

统计答案

构建完前缀和数组 s 后，我们只需要遍历所有可能的右下角坐标 (i,j)（i 从 1 到 m，j 从 1 到 n），检查 s[i][j] <= k 是否成立，如果成立则答案加一。

代码实现

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int countSubmatrices(vector<vector<int>>& grid, int k) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        // 二维前缀和数组，大小为 (m+1) x (n+1)
        vector<vector<int>> s(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        
        // 构建前缀和
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                s[i + 1][j + 1] = s[i + 1][j] + s[i][j + 1] - s[i][j] + grid[i][j];
            }
        }
        
        int ans = 0;
        // 枚举右下角
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (s[i][j] <= k) ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(m × n)。构建前缀和需要遍历所有格子，统计答案也需要遍历所有可能的右下角，因此总时间复杂度为 O(mn)。
空间复杂度：O(m × n)，用于存储二维前缀和数组。

总结

本题的核心是二维前缀和的应用。由于子矩阵的左上角固定为原点，前缀和数组可以直接对应每个可能子矩阵的和，从而将统计过程简化为一次遍历。掌握二维前缀和可以高效解决类似矩阵区域和的问题。