AtCoder Beginner Contest 450 G题题解

AtCoder Beginner Contest 450 - AtCoderhttps://atcoder.jp/contests/abc450

题意：

给你一个长度为n的集合，每次从中随机选出两个数x,y,删除他们，并将x-y加入集合

求集合最后一个元素x的平方的期望值

题解

1.转化

易得最后一个数可以表示为

使用表示的期望值，则

令,则

对于所有,都是相同的

不妨设，则

令

令,则

然后就是大型推公式环节了

2.推导

令表示的下一步，表示的下一步，

由于数一共有个，所以

因为是定值，所以

因为最初的定义为

所以我们可以得出

接下来只要求出就可以递推计算答案了

因为,所以只需要满足，就必定成立

因此，不妨取,得到

即可计算出答案的值

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,c[210000],a[210000],b[210000];
int qpow(int x,int y)
{
	x%=mod;
	if(y==0) return 1;
	int xx=qpow(x*x%mod,y>>1);
	if(y&1) return xx*x%mod;
	return xx;
}
signed main() 
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&c[i]);
	a[1]=1,b[1]=0;
	int S=0,Q=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		S=(S+c[i])%mod;
		Q=(Q+c[i]*c[i])%mod;
	}
	if(n==1)
	{
		printf("%lld",Q);
		return 0;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int jty=(i-1)*i%mod;
		a[i]=(((i-1)*(i-4)%mod*a[i-1]%mod-2*b[i-1])%mod+mod)%mod*qpow(jty,mod-2)%mod;
		b[i]=(4*(i-1)%mod*a[i-1]%mod+(i*(i-1)+2)%mod*b[i-1]%mod)%mod*qpow(jty,mod-2)%mod;
	}
	int ans=(a[n]*S%mod*S%mod+b[n]*Q%mod)%mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}