csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【贪心与二分判定】：数列分段 Section II
题目描述
对于给定的一个长度为 N N N 的正整数数列 A 1 ∼ N A_{1\sim N} A1∼N，现要将其分成 M M M（ M ≤ N M\leq N M≤N）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。
关于最大值最小：
例如一数列 4 2 4 5 1 4\ 2\ 4\ 5\ 1 4 2 4 5 1 要分成 3 3 3 段。
将其如下分段：
4 2 \] \[ 4 5 \] \[ 1 \] \[4\\ 2\]\[4\\ 5\]\[1\] \[4 2\]\[4 5\]\[1
第一段和为 6 6 6，第 2 2 2 段和为 9 9 9，第 3 3 3 段和为 1 1 1，和最大值为 9 9 9。
将其如下分段：
4 \] \[ 2 4 \] \[ 5 1 \] \[4\]\[2\\ 4\]\[5\\ 1\] \[4\]\[2 4\]\[5 1
第一段和为 4 4 4，第 2 2 2 段和为 6 6 6，第 3 3 3 段和为 6 6 6，和最大值为 6 6 6。
并且无论如何分段，最大值不会小于 6 6 6。
所以可以得到要将数列 4 2 4 5 1 4\ 2\ 4\ 5\ 1 4 2 4 5 1 要分成 3 3 3 段，每段和的最大值最小为 6 6 6。
输入格式
第 1 1 1 行包含两个正整数 N , M N,M N,M。
第 2 2 2 行包含 N N N 个空格隔开的非负整数 A i A_i Ai，含义如题目所述。
输出格式
一个正整数，即每段和最大值最小为多少。
输入输出样例 #1
输入 #1
5 3
4 2 4 5 1输出 #1
6说明/提示
对于 20 % 20\% 20% 的数据， N ≤ 10 N\leq 10 N≤10。
对于 40 % 40\% 40% 的数据， N ≤ 1000 N\leq 1000 N≤1000。
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ N ≤ 10 5 1\leq N\leq 10^5 1≤N≤105， M ≤ N M\leq N M≤N， A i < 10 8 A_i < 10^8 Ai<108， 答案不超过 10 9 10^9 109。
思路分析
本题要求将长度为 N N N 的正整数数列分成连续的 M M M 段，使得各段和的最大值最小 。这是一个典型的"最大值最小化"问题，通常使用二分答案 + 贪心判断解决。
二分答案
- 假设我们猜测一个值
x，表示当前允许的最大段和。 - 如果能用不超过 M M M 段实现每段和都 ≤
x，则 x 可行（可能还可以更小）。 - 否则 `x$ 太小，需要增大。
贪心判断（可行性函数 chk(x)）
- 从左到右遍历数列，维护当前段的和
s。 - 如果
s + a[i] > x，说明a[i]不能放入当前段，必须新开一段（段数c++，s = a[i]）。 - 否则
s += a[i]。 - 遍历完成后，若
c ≤ M，则 `x$ 可行。
二分边界
- 下界
l：数列中的最大值max(A)（因为每段至少包含一个数，段和不可能小于单个最大值）。 - 上界
r：题目保证答案不超过 10 9 10^9 109，因此直接取 10 9 10^9 109 作为上界，无需计算总和。 - 答案在
[l, 1e9]内，使用二分查找最小的可行值。
复杂度
- 判断函数
chk为 O ( N ) O(N) O(N)。 - 二分次数约为 log 2 ( 10 9 ) ≈ 30 \log_2(10^9) \approx 30 log2(109)≈30，总时间复杂度 O ( 30 N ) O(30N) O(30N)，空间复杂度 O ( N ) O(N) O(N)。
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[100010]; //n数列长度,m目标段数,a数列
bool chk(int x){ //判断最大段和x是否可行
int c=1; //当前段数(至少1段)
int s=0; //当前段的和
for(int i=1;i<=n;++i){
if(s+a[i]>x){ //加上a[i]会超过限制,则新开一段
++c; //段数加1
s=a[i]; //新段从a[i]开始
}else{
s+=a[i]; //继续累加
}
}
return c<=m; //段数不超过m则可行
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
int l=0,r=1000000000;//l下界(最大值),r上界(题目保证答案≤1e9)
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&a[i]);
if(a[i]>l) l=a[i]; //更新下界为最大值
}
int ans=r;//初始化答案为上界
while(l<=r){ //二分查找最小可行值
int mid=l+(r-l)/2; //中间值,防止溢出
if(chk(mid)){ //mid可行
ans=mid; //记录答案
r=mid-1; //尝试更小值
}else{
l=mid+1; //不可行,增大下界
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}功能分析
- 输入处理 ：读取 N , M N,M N,M 和数列 A A A，同时计算二分下界
max(A)，上界直接设为 10 9 10^9 109（题目保证答案在此范围内）。 - 二分搜索 ：在
[maxA, 1e9]范围内二分查找，每次取中点mid并调用chk(mid)判断可行性。当可行时记录ans=mid并缩小右边界；不可行时增大左边界。循环条件为l <= r，确保所有可能值都被检查。 - 贪心判断 ：
chk模拟分段过程，若当前段和加上下一个数会超过mid，则必须新开一段；否则继续累加。最后比较实际段数与 M M M。 - 输出结果 ：最终
ans即为最小的最大段和，输出即可。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
}