力扣第84题：完全平方数

还不秃顶的计科生2026-03-24 9:12

第一部分：问题描述

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量** 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

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输入：n = 12

输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

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输入：n = 13

输出：2
解释：13 = 4 + 9

第二部分：代码实现

（1）核心思想

①定义 dp[i]：表示和为 i 的完全平方数的最少数量。

②状态转移：要得到 i，可以从 i - k² 加一个完全平方数 k² 得到，所以：

因为 k 可以取很多值（1, 2, 3...），每种取值都会得到一个方案数：

选 1²：dp[12-1] + 1 = dp[11] + 1

选 2²：dp[12-4] + 1 = dp[8] + 1

选 3²：dp[12-9] + 1 = dp[3] + 1

我们要从这些方案中选出数量最少 的那个，所以外面套了一个 min()。

③边界条件：dp[0] = 0（和为 0 需要 0 个平方数）。

（2）完整提交代码

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class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        #初始化dp数组，dp[i]初始化为最坏情况（全用1的平方，总共i个）
        dp=[i for i in range(n+1)]#写到n+1是因为一会要用到dp[n]
        for i in range(1,n+1):
            #遍历所有小于等于i的平方数
            for k in range(1,int(math.sqrt(i)+1)):#sqrt是根号的意思
                square=k*k
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-square]+1)
        return dp[n]

代码解析：

初始化 ：dp = [i for i in range(n + 1)]
- 最坏情况：每个数都由 i 个 1² 组成，所以 dp[i] = i。
外层循环 ：遍历 1 到 n，计算每个数的最小平方数数量。
内层循环 ：遍历所有小于等于 i 的平方数 k²，更新 dp[i]：
- dp[i] = min(dp[i], dp[i - square] + 1)：比较当前值和「用 k² 加上 i - square 的最小数量」哪个更小。
返回结果 ：dp[n] 就是和为 n 的最少完全平方数数量。