2026年3月GESP真题及题解（C++五级）：有限不循环小数
题目描述
若 1 a \frac{1}{a} a1 可化为一个有限的，不循环的小数，则称 a a a 为终止数。
请你求出在 L L L 到 R R R 中终止数的数量。
输入格式
输入一行，包含两个整数 L , R L,R L,R。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示 L L L 到 R R R 中终止数的数量。
输入输出样例 1
输入 1
2 11输出 1
5说明/提示
样例解释
在 [ 2 , 11 ] [2,11] [2,11] 终止数有 2 2 2、 4 4 4、 5 5 5、 8 8 8、 10 10 10。
数据范围
保证 1 ≤ L ≤ R ≤ 10 6 1 \le L \le R \le 10^6 1≤L≤R≤106。
思路分析
题目分析：
题目要求统计区间 [L, R] 内有多少个整数 a 使得 1 a \frac{1}{a} a1 是有限不循环小数。根据数学知识，一个最简分数化为有限小数的条件是分母的质因数只包含 2 和 5。由于 1 a \frac{1}{a} a1 已是最简形式，所以 a 必须能写成 2 i × 5 j 2^i \times 5^j 2i×5j 的形式，其中 (i, j) 是非负整数。
算法思路：
采用两层循环枚举所有可能的 2 i × 5 j 2^i \times 5^j 2i×5j 值，且保证不超过 R：
- 外层循环枚举 2 的幂 i（从 1 开始，每次乘 2），代表 2 i 2^i 2i。
- 内层循环枚举以当前 i 为基数，不断乘以 5，得到 i × 5 j i \times 5^j i×5j，即 2 i × 5 j 2^i \times 5^j 2i×5j。
- 每次生成一个数时，判断是否大于等于 L，若是则计数。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l, r, cnt = 0; // l, r为区间端点，cnt统计终止数的个数
int main() {
cin >> l >> r; // 输入区间
// 外层循环：枚举2的幂次，i = 2^0, 2^1, 2^2, ... 直到超过r
for (int i = 1; i <= r; i *= 2) {
// 内层循环：以当前i为基数，不断乘以5，得到 i*5^0, i*5^1, ... 直到超过r
for (int j = i; j <= r; j *= 5) {
if (j >= l) { // 如果该数在区间内，则计数
cnt++;
}
}
}
cout << cnt; // 输出结果
return 0;
}功能分析
样例分析：
以样例输入 2 11 为例，程序生成的数依次为：
- (i=1): 1 (小于 L 不计数), 5 (计数), 25 (大于 R 停止)
- (i=2): 2 (计数), 10 (计数), 50 (停止)
- (i=4): 4 (计数), 20 (停止)
- (i=8): 8 (计数), 40 (停止)
- (i=16): 大于 R，外层循环结束
最终计数得到 {5,2,10,4,8} 共 5 个数，输出 5，与题目样例一致。
时间复杂度：
- 时间复杂度约为 O ( log 2 R ⋅ log 5 R ) O(\log_2 R \cdot \log_5 R) O(log2R⋅log5R)，对于 R ≤ 10 6 R \leq 10^6 R≤106 完全可行（循环次数极少）
各种学习资料，助力大家一站式学习和提升！！！
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"########## 一站式掌握信奥赛知识! ##########";
cout<<"############# 冲刺信奥赛拿奖! #############";
cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
}【秘籍汇总】（完整csp信奥赛C++学习资料）：
1、csp/信奥赛C++，完整信奥赛系列课程（永久学习）：
https://edu.csdn.net/lecturer/7901 点击跳转
2、CSP信奥赛C++竞赛拿奖视频课：
https://edu.csdn.net/course/detail/40437 点击跳转
3、csp信奥赛高频考点知识详解及案例实践：
CSP信奥赛C++动态规划：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13096895.html点击跳转
CSP信奥赛C++标准模板库STL：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13108077.html 点击跳转
信奥赛C++提高组csp-s知识详解及案例实践：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13113932.html 点击跳转
4、csp信奥赛冲刺一等奖有效刷题题解：
CSP信奥赛C++初赛及复赛高频考点真题解析（持续更新）：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12808781.html 点击跳转
信奥赛C++提高组csp-s初赛&复赛真题题解（持续更新）：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13125089.html 点击跳转
5、GESP C++考级真题题解：
GESP(C++ 一级+二级+三级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12858102.html 点击跳转
GESP(C++ 四级+五级+六级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12869848.html 点击跳转
GESP(C++ 七级+八级)真题题解（持续更新）：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13117178.html 点击跳转
· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}